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1、四条腿的家俱问题,椅子能在不平的地面上放稳吗？,四条腿的家俱，如椅子、桌子等，往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地。 试建立数学模型加以解释。,模型假设,1.椅子四条腿一样长； 2.椅脚与地面接触处视为一点； 3.四脚的连线呈长方形; 4.地面光滑，即地面高度是连续变化的，可视为数学上的光滑曲面。 5.地面相对平坦，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。,问1：选择什么量来表示长方形椅子位置的改变？ 用长方形绕它的对称中心O旋转代表椅子位置的改变。 问2：这种改变如何量化？ 以对角线AC为x轴，中心O为原点，建立直角坐标系。 长方形ABCD绕O逆
2、时针旋转角后，转至A1B1C1D1的位置，则AC与x轴正半轴的夹角表示了椅子位置的改变。,问3：椅子在某一位置是否着地如何量化？,一只椅脚着地，则它到地面的竖直距离为0，否则大于0。,A,B，C，D到地面的距离分别是关于的连续函数，且对于任意，其函数值至少有三个为0。,记A,B 与C，D两脚到地面距离之和分别为f() 与g(), 它们都是连续函数。,注意：对任意，f()g()=0,已知f()和g()是的连续函数，且g(0)=0，f(0)0，那么一定存在，使f()= g()=0。 注意f()=g(0)=0，g()=f(0)0 令h()=f()-g(), 则h()是关于的连续函数， 且h(0)=f
3、(0)-g(0)0, h()=f()-g()0， 于是存在，使h()=0 即 f()= g()。f()=g()=0。,进一步思考,思考1：是否有另外的函数模型？ 取对角线顶点到地面的距离之和。 思考2：四脚连线还可以是什么图形时，结论依然成立？ 如：中心对称图形,双煎饼问题,桌面上放着若干块不重叠的任意形状的均匀煎饼，问能否一刀将这些煎饼同时平分？ 抽象为数学问题是： 在平面放置着若干个任意形状的不重叠的封闭图形，问能否用一直线将它们的面积同时平分？,问题探索设计,1.确定多少个图形才有可能用一条直线将它们同时平分？ 三角形，四边形，圆形等等。 结论1：一个或两个。 2.考察平面上只有一个封闭
4、图形的情形 可以平分，且方式多样。 3.双煎饼问题 平面放置着两个任意形状的封闭图形Q和P，证明一定能找到一条直线将它们同时平分。,向高维推广,对于空间的任意位置放置着的三个任意形状的封闭图形Q、P和R，一定可以找到一个平面将它们的体积同时平分。 该推广被数学家戏称为“三明治问题”。 意指必有一刀切下去，能把一个火腿三明治的火腿及上、下底面的两块面包各分为一半。,在平面上，图形Q与P之间取定一点O,过O画水平数轴OX0。将射线OX0绕O逆时针旋转至OX,OX0到OX的角为（001800）。,可找到平分P、Q且与OX垂直的直线lP,lQ，垂足分别为BP与BQ，则BP与BQ的坐标是关于的函数，分别设为P()与Q()，可知P()与Q()均为连续函数。且P(1800)=-P(00)，Q(1800)=-Q(00).问题转化为，找到0,使得P(0)=Q(0)。,令R()=P()-Q()，则它是关于的连续函数。,R(00)=P(00)-Q(00)=-P(1800)+Q(1800)=-P(1800)-Q(1800)=-R(1800),即R(00)R(1800)0，所以必定存在000,1800，使R(0)=0，即P(0)=Q(0)。此时图形P的平分线与Q的平分线合一，该直线将图形Q和P同时平分。,