四章机率概论.ppt

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1、1,第四章 機率概論,陳順宇 教授 成功大學統計系,2,量測某件事情會發生的機會稱之為機率 機率的觀念是整個統計決策理論的基礎，利用機率才可以討論不確定性，,3,4.1 事件與機率,統計上所謂實驗(亦稱為試驗，) 是一種活動， 它的實驗結果在未實驗前 不知道那一種會發生，因此是不確定的。,4,統計的實驗並不一定要像在實驗室內的化學實驗或醫學實驗， 可能只是簡單的擲兩個骰子， 看其出現的點數。 通常實驗完後就能得到一組資料，,5,而一個“事件”(Event)是實驗的 一個或多個可能結果所組成， 習慣上以英文大寫字母表示。,6,樣本空間,做一實驗 所有可能結果所成的集合稱為樣本空間， 我們以U表示

2、,7,例4.1、,擲一個骰子實驗，觀察出現的點數， 請寫出此實驗的樣本空間,8,9,例4.2、,擲一個硬幣兩次， 觀察每次是正面或反面， 請寫出其樣本空間,10,11,例4.3、,一袋子內有紅球3個，白球2個，黃球1個 某人任意從袋中取出一球觀察其顏色， 試寫出其樣本空間,12,13,註：,從袋中取球，取到紅球、白球、黃球的機會並不相等,14,例4.4、,擲一個骰子兩次， 觀察每次出現點數， 寫出此實驗的樣本空間,15,16,註1：若令 S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ，則 U = S S， 樣本空間也可寫成,17,同時擲兩個骰子,註2：若在例4.4，擲一個骰子兩次改為 同時擲兩個骰

3、子，觀察出現的點數 (a)當此兩個骰子看成不同 (例如塗上不同顏色)， 則兩種實驗的樣本空間與例4.4是相同的；,18,(b)但如將兩個骰子看成相同，則其樣本空間可表成,19,註3：,如果我們關心的是擲二個骰子的點數和，則樣本空間也可以表示成 U = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ,20,事件是樣本空間的部分集,21,常用的機率定義法有,(1)古典機率 (2)相對次數機率 (3)主觀機率,22,(1)古典機率,23,例4.5、(例4.4續) 擲二個骰子的實驗,令A表示出現點數和為6的事件， B表示兩個骰子同點數的事件， (1) 寫出事件A事件B的集合；

4、(2) 求兩個骰子和為6的事件A之機率？ (3) 求兩個骰子同點數事件B的機率？,24,擲二個骰子的實驗,令A表示出現點數和為6的事件 A=(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 令B表示兩個骰子同點數的事件， B=(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6),25,26,P(A)=事件A發生的機率,P(A) 的數值永遠是介於0與1之間,27,擲兩個骰子共有36種可能結果,28,(1)點數和為6的事件A在上述排列中 有5種，故事件A的機率為 P(A) = 5/36 (2)兩個骰子同點數的事件共有6種， 故事件B的機率為 P(B)

5、=6/36,29,注意：,(1)不能以兩個骰子的點數和可能情形有 2,3,4,.,11,12共有11種結果， 以P(A)=1/11來計算，這種做法不正確， 理由是各種點數和出現的機率不一樣。,30,例4.7、(例4.6續),一袋中有3個紅球，1個白球， 由袋中取球兩次，每次取一球， 觀其顏色後放回袋中,31,(1)寫出樣本空間U； (2)寫出第一次取到紅球的事件A1， 並求P(A1) =？ (3)寫出第二次取到紅球的事件A2， 並求P(A2) =？ (4)寫出A1 A2 的事件， 並求P(A1 A2) =？,32,樣本空間,33,第一次取到紅球的事件,34,第一次取到紅球的機率,35,第二次取

6、到紅球的事件,36,第二次取到紅球的機率,37,第一次與第二次都取到紅球的事件為A1 A2,38,第一次與第二次都取到 紅球的機率,39,例4.8、(例4.7續),一袋中有3個紅球，1個白球， 由袋中取球兩次，每次取一球， 觀其顏色後不放回袋中，,40,(1)寫出樣本空間U； (2)寫出第一次取到紅球的事件A1， 並求P(A1) =？ (3)寫出第二次取到紅球的事件A2， 並求P(A2) =？ (4)寫出A1 A2 的事件， 並求P(A1 A2) =？,41,樣本空間,42,第一次取到紅球的事件,43,第一次取到紅球的機率,44,第二次取到紅球的事件,45,第二次取到紅球的機率,46,第一次與

7、第二次都取到紅球的事件為A1 A2,47,第一次與第二次都取到 紅球的機率,48,2.相對次數機率,以n次實驗後，事件A發生了k次，則其相對次數是k/n，因此定義事件A的機率為k/n，即 P(A)=k/n 以這種定義法時，實驗次數n通常要很大。,49,例如，觀察過去1000天，台南地區下雨的天數有120天，則我們就說台南地區每天下雨的機率是120/1000=0.12。,50,3.主觀的機率,是由決策者本身認為某事件 發生的機會是多少來定其機率， 華德(Wald)所提決策理論就是 利用主觀機率與客觀的資料合併做決策。,51,例如，某氣象播報員說台南市 明天下雨的機率是0.2， 或是在賽馬中，張三

8、認為某匹馬 會贏第一的機會是30%等， 這都是主觀的機率的例子,52,事件機率必需滿足基本假設,(1)非負數： 對任何事件A，0 P(A) 1。,53,(2) 標準化：,必然發生事件的機率為1， P(U) = 1 其中U為樣本空間,54,(3)加法性：,(3)事件A,B互斥(即當A B = )，則 P(A B)=P(A)+P(B)。,55,註：,P(Ac)=1-P(A)， 其中Ac是A的補集， 即事件A不發生的機率與事件A發生的 機率和為1。,56,若兩事件A,B滿足 P(AB)=P(A)P(B) 稱事件A,B是獨立， 否則稱事件A,B是相依(不獨立),57,例4.9(例4.7續)、,一袋中有

9、3個紅球，1個白球， 由袋中取球兩次，每次取一球， 觀其顏色後放回袋中， 第一次取到紅球的事件A1， 第二次取到紅球的事件A2， 事件A1與A2是否獨立,58,59,例4.10(例4.8續)、,一袋中有3個紅球，1個白球， 由袋中取球兩次，每次取一球， 觀其顏色後不放回袋中， 第一次取到紅球的事件A1， 第二次取到紅球的事件A2， 事件A1與A2是否獨立？,60,61,串聯,62,排容原理,P(AB) = P(A)+P(B)-P(AB),63,並聯,64,4.2 基本機率觀念,實際應用上我們常面臨的不是單一事件，而是關心兩事件(或更多)發生的狀況， 分成四種情形討論,65,1.事件A, B都發

10、生的機率,A,B兩事件是獨立 P(AB) = P(A) P(B),66,例4.3、(例4.2續),A表擲兩個骰子的點數和為6的事件， B表擲兩個骰子點數相等的事件， 試問A,B兩事件是否獨立？,67,【解】,P(AB) = 1/36 P(A) = 5/36 P(B) = 6/36 P(AB) P(A) P(B) 因此A,B兩事件不獨立。,68,2.事件A,B中至少有一發生的機率,A,B兩事件中，至少有一事件發生的機率寫成 P(AB),69,我們已要求當A , B事件互斥時 (即AB=)，則 P(AB) = P(A)+P(B) 但若A,B不互斥的話，則有下列一般等式： P(AB) = P(A)+

11、P(B)-P(AB),70,AB=(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (1,1), (2,2), (4,4), (5,5), (6,6) P(AB)=10/36,71,P(A)+P(B)-P(AB) = 5/36+6/36 1/36 =10/36 = P(AB),72,聯合機率,聯合機率是討論兩個不同性質分類後， 問各分類有某種特性的機率。,73,員工性別與抽菸與否交叉列表,74,性別與抽菸與否的聯合機率,75,邊際機率,如果令M表示男員工的事件，F表示女員工的事件，S表示抽菸員工的事件，N表示不抽菸員工的事件，則由提供的資料知 P(M) = 2000/300

12、0 = 2/3 P(F) = 1000/3000 = 1/3 P(S) = 650/3000 = 13/60 P(N) = 2350/3000 = 47/60 P(M), P(F)稱為性別屬性的邊際機率 P(S), P(N)稱為抽煙與否屬性的邊際機率,76,員工性別與抽菸聯合機率,77,如果年終公司摸彩,第一特獎有一位，則 第一特獎抽到的是女員工機會是P(F)=1/3。而抽到第一特獎的是會抽菸的女員工之機率就是 P(FS) = 50/3000=1/60,78,條件機率,條件機率對學習統計是必要的， 因為統計是由提供訊息做決策， 它會因提供的資料不同， 而算出不同的機率，導出不同的決策。,79,

13、當已知事件B發生時， 問事件A會發生的機率， 寫成P(A|B)。,80,一袋中有 3個紅球，1個白球， 大明與 小華分別由袋中取球 1次， 大明先取，觀其顏色後不放回袋中， 輪由小華取球， 已知大明抽到紅球， 請問小華也抽到紅球的機會是多少,81,P(A|B)=2/3,82,條件機率,83,例4.13、(例4.12續),再以員工性別及抽菸為例， 如我們已經知道得第一特獎的是女員工， 問她會抽菸的機率是多少？,84,【解】,85,給事件B，求事件A發生的機率,86,例4.14、班上50位學生要抽 5位代表出公差,(1)第一位抽中出公差的機率是多少？ (2)若已知第一位抽中出公差， 試問第二位抽到

14、出公差的機會是多少？,87,(3)若已知第一位未抽中出公差， 試問第二位抽到出公差的機會是多少？ (4)若未提供第一位抽中出公差與否， 第二位抽中出公差的機率是多少？ (5) 以你觀點看，先抽者抽中出公差機率 大，或是後抽者抽中出公差的機率大？,88,89,當A,B兩事件獨立時 (即P(AB)=P(A)P(B)，則,(i) P(A|B) = P(A) (當P(B) 0) (即提供B的訊息對A發生的機率沒有影響) (ii) P(B|A) = P(B) (當P(A) 0) (即提供A的訊息對B發生的機率沒有影響),90,例4.15、,令A表某人在下期某張統一發票 中特獎的事件， B表此人擲10個骰

15、子， 每個骰子都出現點數1的事件,91,試問,(1).A、B兩事件何者的機率高？ (2).A、B兩事件是否獨立？ (3).A、B兩事件都發生的機率是多少？ (4).已知此人擲10個骰子都出現點數1 (表運氣很好)， 請問他這張發票會中統一發票特獎的 機率是多少？,92,【解】,93,4.5 貝氏公式,94,驗前機率,精華公司由甲、乙兩供應商分別提供70%與30%的映像管，映像管經組裝成電視機， 若由精華公司生產出的電視機中任意抽樣一件，則此電視機的映像管來自甲供應商的機率是0.7，來自乙供應商的機率是0.3， 此兩個機率稱為事前機率(或驗前機率 Prior)。,95,由過去的資料顯示：,甲供應

16、商提供的映像管有3%是不良品 乙供應商提供的映像管有6%是不良品 任意抽樣一件電視機的映像管是不良品， 請問此抽樣的不良品映像管 來自甲供應商的機率是否仍為0.7呢？,96,來自甲供應商的機率(事後機率),97,事前機率,新的資訊,貝氏定理,事後機率,98,例4.9、(例4.4續),已知大華公司員工3000人中 有2000位男員工， 而男員工中有30%抽煙， 女員工中有5%抽煙。 有一天傍晚，總經理在公司內看到遠處有一員工抽煙，但不知是男是女， 請問抽煙者是男生的機率是多少？,99,解法(1),由表4.1知全部員工中抽煙者有650位， 其中男生佔600位，故P(M|S)=600/650 即為答

17、案。,100,解法(2),101,102,103,104,105,表4.3 大華公司各部門 抽菸人數統計表,106,如果有一天傍晚，總經理在公司內看到遠處有一位員工在抽煙， 請問此員工是人事部門的機率是多少？,107,108,109,1.了解機率在統計扮演的角色,主要在統計推論(估計、檢定)，例如 (a)估計問題：信賴區間之信賴度。 (b)檢定問題：型I、型II誤差及值。 (c)抽樣分配：抽樣分配，及抽樣誤差,110,2.了解條件機率的重要性與統計上之關聯(統計常由於得到不同資訊而做不同決策),111,3.兩事件A,B獨立性的條件是 P(A | B) = P(A)(或P(A B) = P(A)P(B)， 以袋中取球為例，第一次取出為紅球的事件與第二次取出是紅球的事件 在放回時是獨立、不放回時則不獨立,112,4.了解貝氏公式的應用,知道驗前機率P(E1)與驗後機率P(E1 | S)之差別， 由此了解提供資訊S是否對事件E1有用？(所謂有用，即P(E1 | S) P(E1) 如有用則表示兩事件不獨立的， 否則兩事件是獨立的,