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1、第四章 互换的定价,冯建芬 博学楼913 64495048 Danxin_,主要内容,利率互换与其他衍生工具的等价关系 利率互换的定价计算方法 货币互换的定价 互换定价中的违约风险问题,与债券组合的等价关系： 利率互换可以看成一个债券组合： 对于固定利率支付方，等同于发行一个支付固定利率的债券，同时把发债收入投资到具有同样到期日和利息支付日的浮动利率债券上。,第一节 利率互换与其他金融工具 的等价关系,例1. 一年支付一次利息的4年期利率互换。,固定利率支付方,发行付息频率为1的一个4年期固定利率债券,发债收入投资一个4年期的浮动利率债券,1. 与债券组合的等价关系,2. 与FRA的等价关系,
2、利率互换也可看成一系列的远期利率协议的组合： 固定利率支付方等同于购买了多个远期利率协议。不同的是远期利率协议在贷款初期支付利息差，而利率互换在贷款期结束支付利息差。 对于例1中的利率互换，可以看成有4个一年期的远期利率协议组成，其中第一合约的延展期是0。,这样，第一次支付的浮动利率已知，而未来几次的浮动利率支付根据无套利定价原理，通过FRA市场的相应期限的协议利率即远期利率可以获得。如例1中：,a.利率互换,5.00,?,?,?,5.00,5.25,5.5,5.75,b.四个远期利率协议,2. 与FRA的等价关系,假设互换不存在违约风险 （一）运用债券组合给利率互换定价 考虑一个2003年9
3、月1日生效的三年期的利率互换，名义本金是1亿美元。B公司同意支付给A公司年利率为5的利息，同时A公司同意支付给B公司6个月期LIBOR的利息，利息每半年支付一次。 LIBOR 5%,A公司,B公司,第二节. 利率互换定价的计算方法,表4.1 利率互换中B公司的现金流量表（百万美元）,利率互换的分解,上述利率互换可以看成是两个债券头寸的组合，分解成： 1、B公司按6个月LIBOR的利率借给A公司1亿美元。 2、A公司按5%的年利率借给B公司1亿美元。 换个角度看，就是B公司向A公司购买了一份1亿美元的浮动利率（LIBOR）债券，同时向A公司出售了一份1亿美元的固定利率（5的年利率，每半年付息一次
4、）债券。,（一）运用债券组合定价,1. 浮动利率债券的价值： 复习1. 未来发生的任何一个现金流其合理的折现利率应该是即期利率，根据即期利率与远期利率的关系，每年记一次利息的4年后的1元钱应该相当于现在的：,其中Ri是i年期即期利率,复习2. 根据无套利定价原理，远期利率协议的协议利率应该使得合约的初始价值为0,即协议利率应该等于未来浮动利率的期望值，故，我们可以将协议利率看做未来浮动利率的预期，即将未来支付的浮动利息用协议利率乘以本金来代替。而这个协议利率就是远期利率。,因此，对于例1中的4年期浮动利率债券，假设面值为1元，其未来利息支付依次是：,设每年的折现因子为：,由此，浮动利率债券当前
5、的价值为：,因此，在任何利息支付日支付利息后，浮动利率债券的价值为1,故浮动利率债券一般按面值发行。,（一）运用债券组合定价,定义 :互换合约中分解出的固定利率债券的价值。 :互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。 那么，对B公司而言，这个互换的价值就是： （4.1）,为了说明公式（4.1）的运用，定义 ：距第i次现金流交换的时间（1i n）。 L：利率互换合约中的名义本金额。 ：到期日为ti的零息票债券利率 ：支付日支付的固定利息额。 那么，固定利率债券的价值为,（一）运用债券组合定价,接着考虑浮动利率债券的价值。根据浮动利率债券的性质，在紧接浮动利率债券支付利息的那一刻，浮动利率债券的价值
6、为其本金L。假设利息下一支付日应支付的浮动利息额为 （这是已知的），那么在下一次利息支付前的一刻，浮动利率债券的价值为 。在我们的定义中，距下一次利息支付日还有的时间 ，那么今天浮动利率债券的价值应该为： 根据公式（4.1），我们就可以得到互换的价值,（一）运用债券组合定价,例4.1,假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR，同时收取8的年利率（半年计一次复利），名义本金为1亿美元。互换还有1.25年的期限。3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分别为10、10.5和11。上一次利息支付日的6个月LIBOR为10.2（半年计一次复利）。 在这个例子中 万， 万，因
7、此,因此，利率互换的价值为： 98.87102.51$427万 利率互换中固定利率一般选择使互换初始价值为0的那个利率，在利率互换的有效期内，它的价值有可能是负的，也有可能是正的。这和远期合约十分相似，因此利率互换也可以看成远期合约的组合。,（一）运用债券组合定价,（二）运用远期利率协议定价,远期利率协议（FRA）是这样一笔合约，合约里事先确定将来某一时间一笔借款的利率。不过在FRA执行的时候，支付的只是市场利率与合约协定利率的利差。 只要知道利率的期限结构，我们就可以计算出FRA对应的远期利率和FRA的价值，具体步骤如下： 1.计算远期利率。 2.确定现金流。 3.将现金流贴现。,例4.2,
8、我们再看例4.1中的情形。3个月后要交换的现金流是已知的，金融机构是用10.2的年利率换入8年利率。所以这笔交换对金融机构的价值是： 为了计算9个月后那笔现金流交换的价值，我们必须先计算从现在开始3个月到9个月的远期利率。根据远期利率的计算公式3个月到9个月的远期利率为,10.75的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为 所以，9个月后那笔现金流交换的价值为： 同样，为了计算15个月后那笔现金流交换的价值，我们必须先计算从现在开始9个月到15个月的远期利率。,11.75的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为 所以，15个月后那笔现金流交换的价值为 那么，作为远期利率协议的组合，这笔利率互换的
9、价值为 -107-141-179=-427万美元 这个结果与运用债券组合定出的利率互换价值一致。,启示,任意时刻互换的定价需要用到利率期限结构，浮动利率债券的定价同样也要用到利率期限结构，因此利率期限结构建模在固定收益证券定价和利率衍生品定价中至关重要。 而利率互换市场的发展可以为利率期限结构建模提供市场化数据。,第三节、货币互换的定价,（一）运用债券组合给货币互换定价 在没有违约风险的条件下，货币互换一样也可以分解成债券的组合，不过不是浮动利率债券和固定利率债券的组合，而是一份外币债券和一份本币债券的组合。 假设A公司和B公司在2003年10月1日签订了一份5年期的货币互换协议。,如图4.5
10、所示，合约规定A公司每年向B公司支付11的英镑利息并向B公司收取8的美元利息。本金分别是1500万美元和1000万英镑。A公司的现金流如表4.4所示。A公司持有的互换头寸可以看成是一份年利率为8的美元债券多头头寸和一份年利率为11的英镑债券空头头寸的组合。 11%的英镑利息 8%的美元利息 图4.5 A公司和B公司的货币互换流程图,A公司,B公司,表4.4 货币互换中A公司的现金流量表（百万）,如果我们定义 为货币互换的价值，那么对收入本币、付出外币的那一方： 其中 是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的价值； 是从互换中分解出来的本币债券的价值； 是即期汇率（直接标价法）。 对付出本币、
11、收入外币的那一方：,例4.3,假设在美国和日本LIBOR利率的期限结构是平的，在日本是4而在美国是9（都是连续复利），某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元，利率为5，同时付出美元，利率为9。两种货币的本金分别为1000万美元和120000万日元。这笔互换还有3年的期限，即期汇率为1美元110日元。,如果以美元为本币，那么 货币互换的价值为 ： 如果该金融机构是支付日元收入美元，则货币互换对它的价值为129.17万美元。,（二）运用远期组合给货币互换定价,货币互换还可以分解成一系列远期合约的组合，货币互换中的每一次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代替。因此只要能够计算货币互换中分解出来
12、的每笔远期外汇协议的价值，就可以知道对应的货币互换的价值。,我们看例4.3，即期汇率为1美元110日元，或者是1日元0.009091美元。因为美元和日元的年利差为5，根据 ，一年期、两年期和三年期的远期汇率分别为,与货币互换等价的三份远期合约的价值分别为： 与最终的本金交换等价的远期合约的价值为 所以这笔互换的的价值为， 和运用债券组合定价的结果一致。,第四节、互换的违约风险,上面的利率互换和货币互换中都没有考虑违约风险，因此其浮动利率为LIBOR，但更多的情况下，根据对方违约风险的大小，浮动利率为LIBOR加一定的基点。 也是由于违约风险，折现因子也不再是无风险的即期利率，并且由于利率支付方
13、不同，违约风险不同，双方的折现因子可能也不相同。 如何定价？,对于浮动利率支付方，其对应的浮动利率债券在任何付息日的价值仍然为面值，因为其折现因子和浮动利息中的信用利差是相同的。 对于固定利率支付方，其固定利率的折现因子需要根据固定利率支付方的信用评级来评定，可能与浮动利率不一样，因此定价公式有所改变。,第四节、互换的违约风险,金融机构通常会通过签订两份相互抵消的互换合约来规避利率风险。但这种方式不能对冲互换的信用风险。 当互换合约对金融机构价值为正时，可能发生对手违约，金融机构会遭受损失。 当互换合约对金融机构价值为负时，不会发生对手违约（即使对方破产）。,第四节、互换的违约风险,互换价值,
14、风险敞口,互换中的信用风险敞口,第四节、互换的违约风险,作业：,1.一个10000万美元的利率互换距到期还有10个月。根据互换条款，这一协议将6个月期的LIBOR转换为12%的年利率（按半年计复利）。当前所有期限的互换与6个月期LIBOR交换的固定利率的买入价和卖出价的平均值均为按连续复利计的每年10%。两个月前的6个月期的LIBOR是9.6%。对于支付浮动利率利息的一方而言，当前的互换价值是多少？对于支付固定利率利息的一方而言，互换价值又是多少？ 2.一份货币互换协议距离到期还有15个月，它涉及按本金2000万英镑、利率14%计算的利息和按本金3000万美元，利率10%计算的利息之间的交换，交换每年进行一次。英国和美国的利率期限结构均为平坦的，如果现在签订互换协议，互换的美元利率为8%，英镑利率为11%。所有的利率均按年计复利。当前的汇率（美元/英镑）是1.6500。对于支付英镑的一方而言，互换的价值是多少，对于支付美元的一方而言，互换的价值又是多少？,