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1、第四章 群论在固体物理中的应用,在固体物理中，对晶体的研究占据了相当大的比重。 晶体：“三维空间中的一种规则排列无限重复的原子、分子、离子或原子集团的集合”。 晶体具有高度的对称性，从而形成了一系列对称群、对称群对晶体的能级分裂，能带形成等起主导作用。,4.1 点群,晶体的对称性可以用三种形式的几何变换或操作描述：,其中，反演+（真）转动 非真转动（转反轴）,例： n重旋转轴 ，n为某些整数 n=4,对称性的阶等于4=h （即对称群的阶）,对称面,h=2,对称中心,旋转反演轴（转反轴） 旋转和反演的复合操作,A是A的转反像,以上四种对称要素相应的操作中，空间中至少有一个点保持不动。,对称中心,
2、O,A,B,A,定义：由真转动和非真转动的各种组合都可保持一个点（原点）的位置不动，称之点群操作，它们的集合称为点群。 定义：由平移操作和点群操作的各种组合叫作空间群操作，它们的集合称为空间群。 注意：严格讲：空间群操作，空间每一点都要动，因此，空间对称操作只有对无限延伸的物体才能进行。 一般采用周期性边界条件解决此类问题。,4.1.1 晶体点群的对称操作,晶体具有平移对称性，因此，晶体中的点群操作受到严格限制。 晶体中的真转动是绕某一轴正向（逆时针）转动某一角度。 即 =360，180，120，90，60以及它们的组合： 240，270，300。,证明 n =1,2,3,4,6 A和B是 （
3、晶格常数）方向上的两点阵 设绕A点转动角，则B点转到B点 设绕B点转动角，则A点转到A点,转动后原子点阵应重合，故 是一点阵矢量 即： ，m整数 由图可知： ，n=1,2,3,4,6 在非真转动中的角度转动部分也是如此。,4.1.2 立方晶系的群（Cubic Crystal System）,1、O群（Octahedron Group) 正八面体群,对称元素： 3个四度轴：x,y,z轴 4个三度轴：oA1，oA2，oA3，oA4轴 6个二度轴：oa，ob，oc，od，oe，of 不变操作,总操作数为: 33（四度轴有三个操作）=9 42（三度轴有二个操作）=8 61（二度轴有一个操作）=6 不变
4、操作 =1 共有24个真转动操作。,1C1，不动，群元E,6C 2，绕对边中点连线转动180o（2-度对称）,8C3，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称）,6C4，绕xyz轴转动90o （4-度对称）,3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）,O群有5类，24个群元，有5个不可约表示,O群有两个1-维表示，一个2-维表示，两个3-维表示。,上述表示是O群的个3-维表示,2、Oh群 8个全同原子位于立方体的8个顶点,O群的24个真转动，加上中心反演，又有24个非真转动，因此共有48个操作。共分为10个类。,1C1，不动，群元E,6C2，绕对边中点连线转动180o（2-度对称）,
5、8C3，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称）,6C4，绕xyz轴转动90o （4-度对称）,3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）,i，关于中心反演,6iC2，绕对边中点连线转动180o，接着中心反演,8iC3，绕对角线转动120o 和240o，接着中心反演,6iC4，绕xyz轴转动90o，接着中心反演,3iC 2，绕xyz轴转动180o，接着中心反演,3、T群（Tetrahedton Group，正四面体群),与O群比，少6C4， 6C 2两种对称性,1C1，不动，群元E,4C3，绕对角线转动120o （3-度对称）,3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）,4C2
6、3，绕对角线转动240o （3-度对称）,T群有4类，12个群元，有4个不可约表示,T群有三个1-维表示，一个3-维表示。,4、Th群,T群的12个真转动，加上中心反演，又有12个非真转动，因此共有24个操作。共分为8个类。,1C1，不动，群元E,4C3，绕对角线转动120o （3-度对称）,3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）,4C23，绕对角线转动240o （3-度对称）,i，关于中心反演,4iC3，绕对角线转动120o ，接着中心反演,3iC2，绕xyz轴转动180o ，接着中心反演,4iC23，绕对角线转动240o ，接着中心反演,Th群有6个1-维表示，2个3-维表示。,4
7、、Td群 (两种原子组成的四方晶体),除T群的12个操作外。还有12个操作： 6iC2和6iC4。共24个操作，分为5个类。,1C1，不动，群元E,8C3，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称） T群中4C3和4C23合并成一类,3C 2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）,6iC 2，绕对边中点连线转动180o ，接着中心反演 将T群中4C3和4C23合并成一类,6iC4，绕对角线转动90o和270o ，接着中心反演,Td群有2个1-维表示， 1个2-维表示， 2个3-维表示。,5个立方体群的相互关系,4.1.3 点群的符号和图示,点群的符号有两种： IS制（也叫Hermann
8、-Mauguin）符号：简写IS符号，H.M符号 Schoenflies（熊夫利斯符号）符号，简写Sch符号,注意：四度反轴 不等于四度轴加反演中心,晶体具有的对称操作： Cn：绕晶体主轴作 角度的转动，n1，2，3，4，6 Dn ：具有Cn的对称晶体，同时存在n根与主轴垂直的2-度轴， n2，3，4，6 Cnh：具有Cn的对称晶体，同时具有一个与主轴垂直的水平面作为反射镜面，n1，2，3，4，6，n为偶数时， Cnh还具有反演操作 Cnv：具有Cn的对称晶体，同时具有包含主轴的竖直平面作为反射镜面，n2，3，4，6 Sn ：具有n重非正当转动的对称晶体， n2，3，6 n3时， S3 C3h
9、,晶体具有的对称操作： Dnh：具有Dn的对称晶体，同时具有一个水平面反射镜面， n2，3，4，6 Cnv：具有Dn的对称晶体，同时具有包含主轴的竖直平面作为反射镜面， n2，3 立方晶系5种点群：T，Td，Th，O，Oh,立方系晶体和六方系晶体等可能具有的最多操作可以查表。 一般，对称性较低的晶体具有的对称操作要少一些。 晶体可能具有的点群操作可构成一个群晶体的点群，它决定晶体的宏观对称性。,可以证明：独立的点操作对称要素有： （IS）1，2，3，4，6，I，m， 这8个点对称要素共有32种组合（见书）。相应地，每种组合的操作构成一个点群，因此，共有32个点群。,例如：不可能有垂直于三重轴或
10、六重轴的四垂轴（因为垂直于四重轴的三重轴或六重轴都将“破坏”四重轴的对称性）,32个晶体点群,32个晶体点群不可约表示的特征标表,三斜晶系：,单斜晶系：,正交晶系：,四角晶系：,六角晶系：,立方晶系：,4.1.4 晶格对称性对固体性质的影响,各向同性物体中：物理性质与空间方向无关，可用一标量来描述，如电导率，介电常数，极化系数等,晶体中：物理性质量通常是各向异性的，一般用二阶张量来描述，如电导率张量,不同固体的电导率相差很大，其原因是与晶格的对称性有关。,a,b,c,长方晶体：,以x，y，z为基矢的表示矩阵为,电导率张量在对称操作的作用下，有关系式：,对称操作,对称操作,其他操作作用无改变,长方晶体电导率的一般形式，表明长方晶体电导率在x，y，z三个方向上数值是不相等的。,如晶体为四方晶体:,四方晶体的物理性张量只有两个独立量，一个代表横向的，另一个代表纵向的。,如晶体为立方晶体:,立方晶体的物理性质量可用一个标量来表示。,