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1、（1）平面应变情况 变形协调方程式中有5个自动满足，仅剩关于面内分量的第一协调方程 （2）平面应力情况 第二、第三和第六协调方程不能自动满足，它们分别简化成：,平面问题的协调方程,z=Ax+By+C （A、B、C为常数）,x+y=ax+by+c （a、b、c为常数）,线性条件,对于厚度很小的薄板，即使是线性条件不能满足，也可 近似地按平面应力状态来处理,应力表示的变形协调方程,2(x+y)=0,使用平衡微分方程,体积力为常数时,变形协调条件为,在应变表示的变形协调方程中使用平衡微分方程,2(x+y)=0,（2）边界条件 静力边界条件：平面问题侧面力边界条件，由于边界法线与z轴垂直n=0，且 0
2、，显然，边界条件式的第三式自然满足，而其它两个式子变成 xl+yxm xyl+ym 位移边界条件：,使用应力解法求解平面问题 （1）方程,特解,通解,+,选取特解为,x Xx y = Yy xy = 0 或者 x 0，y =0，xy = Xy Yx,求平衡微分方程的通解,剪应力双生互等定理,称为应力函数,求齐次方程通解,平面问题求解问题归结为 220 + 边界条件,或 220,变形协调方程变为,逆解法： 根据具体问题的边界条件和受力特点，通过分析，凑出一部分应力分量 的函数形式或者是应力函数的形式，它们中包含有待定的函数或常数。 然后通过满足应力函数表示的协调方程和所有的边界条件，确定这些待
3、定的函数或常数。若不满足，则修改原来所设的函数形式，直到它们满足,例4-1 用应力函数=dxy3+bxy 求解悬臂梁一端受集中力作用下问题 的应力解（不考虑体积力）。,解： （1）满足变形协调方程 （2）满足静力边界条件,由应力函数求应力分量 边界条件： 在,在x=0的边界（l = 1，m = 0）上，力边界条件要求,应用圣维南原理近似满足,y = 0,例4-2 图示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的 应力函数求解,设应力函数为 =ax3+bx2y+cxy2+dy3,满足协调方程,求应力,满足边界条件 在y=0上， y=0 xy=0 在斜面 y = xtan，l = sin
4、，m = cos x(sin)+ xycos = 0 xy(sin)+ ycos = 0 代入边界条件得常数a、b、c和d分别是 a=0，b=0， c = gctan， d = g ctan2 将上面的常数代入应力分量的表达式，得应力解。,例4-3图示挡水墙，其容重p=g（为墙的密度），厚度为h，水容重 为，试求应力分量。,求应力函数 设 y=xf(y) 代入协调方程 得,经积分得： f(y)=Ay3 + By2 + Cy + D f2(y)=Ey3 + Fy 2+ Gy + H,求应力分量,利用边界条件求待定常数,在x=0的面上，边界条件要求xy=0，x=0，但都不能精确满足，因此，需应用圣维南原理求近似满足,