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1、2019/7/31,集美大学理学院,1,第4章 矩阵的特征值 和特征向量,4.1 矩阵的特征值和特征向量 4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件 4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,2019/7/31,集美大学理学院,2,1. 特征值与特征向量定义,2. 相关概念,4.特征值与特征向量求法,3.两个有用公式,(特征方程根与系数的关系),5.特征值与特征向量的性质,4.1 矩阵的特征值 和特征向量,2019/7/31,集美大学理学院,3,1. 特征值与特征向量定义,例：设,即,2019/7/31,集美大学理学院,4,2、相关概念(定义4.2),称,因为 即n元齐次线性方程组 有非零解，,等价于,
2、2019/7/31,集美大学理学院,5,设A为n阶矩阵，则0是A的特征值， 是A的属于0的特征向量的充要条件是 0为特征方程det(E-A)=0的根，是齐次线性方程组(E-A)X=0的非零解。,推论1、2（P159） 若1，2是A属于0的特征向量，则c11+ c22也是A属于0的特征向量。,定理4.1,2019/7/31,集美大学理学院,6,3.两个有用公式(特征方程根与系数的关系),4.求法,即为,的迹.,这里,记为tr(A),2019/7/31,集美大学理学院,7,解,得特征值,当,时,解方程,由,2019/7/31,集美大学理学院,8,得基础解系,全部特征向量为,2019/7/31,集美
3、大学理学院,9,2019/7/31,集美大学理学院,10,注意在例1与例2中,特征方程的 重根所对应的线性无关特征向量的个数.,2019/7/31,集美大学理学院,11,例3,2019/7/31,集美大学理学院,12,练习：,2019/7/31,集美大学理学院,13,5.特征值与特征向量的性质,定理4.2 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。,证： 要使A和AT有相同的特征值，只要 |E- AT|= |E- A|成立。 事实上， |E- AT|= |(E- A)T|= |E- A|,定理4.3 n阶矩阵A可逆的充要条件是它的任一特征 值不等于0。,证 必要性：A可逆，则|A|0,所以
4、|0E-A|=|-A|=(-1)n|A| 0,即0不是A的特征值。 充分性(反证法)：设A不可逆，即|A|=0,从而,2019/7/31,集美大学理学院,14,|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0,即0是A的特征值，矛盾。,定理4.4 不同特征值对应的特征向量是线性无关的.,定理4.5 1,2,m是A的m个不同的特征值，A的属 于i的线性无关的特征向量为i1,i2,isi(i=1,2,m)， 则向量组11,12,1s1,21,22,2s2,m1,m2,msm, 线性无关。,即1, 2, m是A的m个不同的特征值，1, 2, m分别是A的属于1, 2, m的特征向量，则1, 2, m线性
5、无关。,2019/7/31,集美大学理学院,15,2019/7/31,集美大学理学院,16,练习,2019/7/31,集美大学理学院,17,4.2 相似矩阵与矩阵 可对角化的条件,1. 相似矩阵概念,2. 相似矩阵基本性质,3. 方阵的对角化含义,4. 矩阵可对角化的条件,2019/7/31,集美大学理学院,18,1.相似矩阵概念,这时,也是,的相似矩阵:,相似,等价.,定义4.3 设A、B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使 P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵,或说A与B相似.记作 A B 称P为把A变成B的相似变换矩阵.,2019/7/31,集美大学理学院,19,2.相似矩阵基本性质,201
6、9/7/31,集美大学理学院,20,证明,(1),设矩阵A与B相似,即有P -1 AP=B,(2) 显然.,(3),(4) 由(3)即得.,(5) 由(4)及迹的定义即得.,2019/7/31,集美大学理学院,21,根据特征方程根与系数的关系,2019/7/31,集美大学理学院,22,课堂练习,2019/7/31,集美大学理学院,23,3.方阵的对角化含义,4.,矩阵可对角化的条件,2019/7/31,集美大学理学院,24,证明,设,2019/7/31,集美大学理学院,25,逆不成立,即与对角阵相似的矩阵,特征 值不一定互不相等.,2019/7/31,集美大学理学院,26,2019/7/31,
7、集美大学理学院,27,2019/7/31,集美大学理学院,28,2019/7/31,集美大学理学院,29,课堂练习,2019/7/31,集美大学理学院,30,1. 实对称矩阵特征值的性质 2. 实对称矩阵对角化方法,4.3 实对称矩阵的 特征值和特征向量,2019/7/31,集美大学理学院,31,1.实对称矩阵特征值的性质,结论,2019/7/31,集美大学理学院,32,2.实对称矩阵的对角化,主要结论,2019/7/31,集美大学理学院,33,解,(1),求特征值:,特征值为,2019/7/31,集美大学理学院,34,2019/7/31,集美大学理学院,35,(4),写出所求正交矩阵:,2019/7/31,集美大学理学院,36,要特别注意本题的解题方法和步骤.在下面的用正交变换化二次型为标准形中还要用到类似的方法.,2019/7/31,集美大学理学院,37,课堂练习,