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1、曲边梯形的面积,一,学习目标: 1、掌握曲边梯形面积的求法. 2、深刻理解化曲为直的思想. 3、初步认识定积分的概念. 二,重点: 1、曲边梯形的面积 2、化曲为直的思想 3、定积分的概念 三,难点: 化曲为直的思想及定积分概念,这些图形的面积该怎样计算？,引入：,1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。,O,x,y,y=f (x),一. 求曲边梯形的面积,x=a,x=b,y = f(x),用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得,思考：,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得,A A1+ A2+ A3+ A4
2、,用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得,A A1+ A2 + + An,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为, 以直代曲,无限逼近,例1求曲线y=x2与直线x=1，y=0所围成的区域的面积。,解：将区间0，1等分成n个小区间，,每个小区间的长度为,(i=1、2、3n),解：将区间0，1等分成n个小区间，,每个小区间的长度为,过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，再分别用小区间 左端点的纵坐标 为高，x= 为底作小矩形，,于是图中曲线之下小矩形面积依次为,所有这些小矩形的面积的和为,由此得到S=,从图形上看
3、，当n越来越大时，划分的越来越细，阴影部分面积与曲边梯形的面积相差越来越小，当n+时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将极限值 视为此曲边三角形的面积。,思考：,如果取小矩形的高为小区间右端点 的纵坐标，所有这些小矩形的面积 和是否趋向于曲边三角形的面积 呢？,例2弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。,解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x,则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，,将0，b n等分，记x= ，,分点依次为x0=0，x1= ，x2= ,，xn1= ，xn=
4、b，,当n很大时，在分段xi，xi+1所用的力约为kxi，所做的功Wkxix=,则从0到b所做的总功W近似地等于,当n+时，上式右端趋近于,于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为,以上两个实际问题，一个是求曲边梯形的面积，一个是求变力所做的功，虽然实际意义不同，但解决问题的方法和步骤是完全相同的，都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题.,思考、如果在分段,取所用的力为xi+1所做的功是多少？,1. 曲边三角形或梯形的面积 S=,2.克服弹簧拉力的变力所做的功 W=,类似地问题还很多，它们都可以归结为求这种和式的极限，牛顿等数学家经过苦心研究，得到了解决这类问题的一般方法。求函数的定积
5、分。,一般函数定积分的定义,设函数f(x)是定义在区间a，b上的一个函数，在闭区间a，b上任取n1个分点,把a，b分成 n个小闭区间，其长度依次为x=xi+1xi，i=0，1，2，n1，记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个小区间内各取一点，,作和式In=,当0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，,记作,其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，a，b称为积分区间，a, b分别称为积分的上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时称f(x)在区间a，b上可积。,利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为,
6、于是例1的结果可以写作,例2中克服弹簧拉力的变力所做的功,如果函数y=f(x)在区间a，b上是一条连续的曲线，它与直线y=0，x=a，x=b所围成的曲边梯形的面积客观存在，则f(x)在a，b一定是可积的。,求区间 函数f(x)的定积分的步骤:,1、分割：将区间,分成n个闭区间,2、近似替代:（取点）在每个闭区间,上任取点，,例题分析：,例 1：利用定义计算定积分,巩固练习、求,例2、利用定积分的几何意义求,巩固练习、 利用定积分的几何意义求下列定积分：,例3、利用定积分的定义证明：如果f(x)、g(x)同在区间,思考：如何理解,小结 ： 1、曲边梯形的面积 2、化曲为直的数学思想 3、定积分的定义,课后巩固练习：,课本39页A组、B组：1,作业：练习B：2、3,谢谢,每天前进一小步，最后就是一大步！,