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1、2.3 麦克斯韦速率分布律 （Maxwells law of distribution of speeds）,一 . 速率分布函数,深入研究气体的性质，不能只研究一些平均值，,还应该进一步弄清分子按速率、,能量的分布情况。,用分立数据描写： v1， v2 N1，N2 ,这种描写繁琐，规律性不强。,用连续的分布函数来描述：,设：dNv为速率v v +dv 区间内的分子数，,率区间内分子数占,N 为总分子数，,则：,令,即：, 在v 附近，单位速,总分子数的比例,对一个分子而言，f(v)dv就是指它处在上述速度间隔中的概率。,称速率分布函数,归一化条件,f(v) 概率密度,麦克斯韦,James C
2、lerk Maxwell (1831-1879),1859年麦克斯韦导出了理想气体在无外场的平衡态（T）下分子的速率分布函数.,二. 麦克斯韦速度分布律 （Maxwells law of distribution of velocities）,令,内的分子数为：,的意义：,单位速度空间内的,分子数占总分子数的比例。,在平衡态，容器内各处分子的平均数密度是均匀的。依据这一事实，麦克斯韦提出：分子向任何方向运动的概率相等（各向同性）。按照这一假设，,应只决定于速度的大小，与其方向无关。即：它实际上是速率的函数，可以写成,麦克斯韦还假定，在任选的三个正交的方向上，三个分速度是独立的，三个分速度在各自
3、的坐标轴上的概率密度，只决定于这个分速度的大小，与其他分速度无关。因速度分布是各向同性的，三个分速度的概率密度必有相同的函数形式，可以写成,只能是指数函数。,按照概率论，同时事件的概率应该是各独立事件概率的乘积。,如果取A为正数，则当速度增大时，分子数随之增大，这样，分子总数将为无穷大。所以A应为负数，并令,是关于vx的一维概率密度，应满足归一化条件。,利用,根据求统计平均值的计算方法,即,由压强微观公式和理想气体状态方程曾得到,故,的函数形式相同,麦克斯韦速度分布函数,三 . 麦斯韦速率分布函数,速率在(v, v+dv)中这一事件，等价于速度（矢头）在两球面所夹区域中。在该区域中，速度有均匀
4、的概率密度,该区域的体积为4v2dv。因此分子的速率在(v, v+dv)的概率为,(1),(2),由(1)、(2)可得f(v)。,vp最概然速率 (most probable speed),对同种气体（m 一定）,（自己画出）。,麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性。,碰撞使得个别分子的速率变化是随机的，,概率,的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到 v 很小,和v 很大的概率都必然很小。, 麦克斯韦速率分布函数的另一种表示：,令,则有：,例1 O2，,取,即：速率为790800m/s的分子数占总分子,数的比例为万分之2.58 。,四. 平均速率（average speed）,分立：,连续：,v
5、i v，Ni dNv=N f (v)dv，,对麦氏速率分布有：,高斯积分,具有下列形式的定积分称为高斯积分:,(a0, n=1, 2, 3, ),?,误差函数,高斯积分是上下限固定的定积分，在概率论和统计物理中常需要计算任意积分限的数值，人们建立了误差函数(error function)的概念，其定义为,因不能用常规的积分运算得到erf(x)的表示 式，只能在给定x数值后，通过数值计算得到erf(x)的数值。,例2 对于一个经典气体系统，证明速率小于最概然速率的分子数占总分子数的比率与温度无关，并计算这一比率。,解： 依题意，系统中分子的速率分布可以表示为,因为最概然速率,则上述速率分布又可以表示为,令t=v/vp，则速率v附近区间dv内的分子数可以表示为,速率小于一确定值v0的分子数为,对于,，,速率小于最概然速率的分子数占为总分子数的比率,与温度无关。,例3 试求在标准状况下氮分子速度的x分量在0800 m/s的分子数占全部分子数的百分比。,解： 首先求出273K时氮气分子的最概然速率,令,，则,查表得erf(2)=0.9953，故这种分子所占百分比为,