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1、（1）邻域,一、多元函数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（2）区域,例如，,即为开集,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有界闭区域；,无界开区域,例如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（3）聚点, 内点一定是聚点；,说明：, 边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,机动 目录 上页 下页 返回
2、结束,（4）n维空间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（5）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 求 的定义域,（6） 二元函数 的图形,（如下页图）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二元函数的图形通常是一张曲面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数的极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,机动 目录 上页 下页 返回
3、 结束,例2 求证,证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 求极限,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 证明 不存在,证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,确定极限不存在的方法：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、多元函数的连续性,定义3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（3）一致连续性定理,在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,