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1、第五章 三铰拱,本章提要,本章主要介绍了拱的概念、特点，三铰拱的支座反力及内力计算，三铰拱的合理轴线的概念等内容。通过本章的学习应掌握: 1.拱的概念、特点； 2.三铰拱的支座反力及内力计算； 3.了解三铰拱合理轴线的概念。,本章内容,5.1 拱的受力特点和分类； 5.2 三铰拱的支座反力； 5.3 三铰拱的内力计算。,5.1 拱的受力特点和分类,5.1.1 拱的概念 拱（拱式结构）是指杆轴为曲线，在竖向荷载作用下，支座处产生水平推力的结构。如图1(b)所示。,图1,而图（a）所示结构，轴线虽为曲线，但在竖向荷载作用下不产生水平反力，是一根曲梁。,拱式结构的顶点称为 拱顶，三铰拱的中间铰往 往
2、布置于拱顶，拱与基础 的联结处称为拱脚（拱趾 ）， 拱脚的水平距离l称 为拱的跨度，拱顶到拱脚 连线的竖直距离f叫拱高，拱高f与跨度l之比f/l叫高跨比。,5.1.2 拱的类型 拱的形式一般有无铰拱、两铰拱、三铰拱等几种，如图3所示。其中无铰拱、两铰拱为超静定结构，三铰拱为静定结构。,图3,5.1.3 拱的特点 拱与梁的区别主要不在于杆轴线的曲直，而是拱在竖向荷载作用下会产生水平推力。 正是由于推力的存在，拱的弯矩要比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，而且主要承受压力。所以拱结构可用抗压强度较高而抗拉强度较低的砖、石、混凝土等脆性材料来建造。 另一方面，由于推力的存在，对地基和支承结构的要求较高
3、。三铰拱式屋架常在两支座之间设置拉杆，以代替承受水平推力，从而消除了推力对支承结构的影响。如图3（d）所示。,5.2 三铰拱的支座反力,三铰拱有四个支座反力，如图示，计算时可取整体及半拱为对象，列平衡方程计算。 为了比较拱与梁的异同，通常将三铰拱与相应跨度、荷载的简支梁相对应求解。 简支梁： 三铰拱: VA0 =(P1.b1+P2.b2)/ l = VA VB0 =(P1.a1+P2.a2)/ l = VB 即：三较拱的竖向支座反力等于相应简支梁的竖向支座反力。 水平推力： H= HA = HB =MC0 / f,图4,可见： 支座水平推力与拱轴曲线形状无关，而只与荷载及三个铰的位置有关；当荷
4、载与跨度确定时，MC0为定值，水平推力与拱高成反比关系，f愈大，拱愈高，则推力愈小；f愈小，拱愈扁平，则推力愈大。,对于有拉杆的三铰拱（图3.d所示），同样可求得： VA=VA0 VB=VB0 但： H=0 而拉杆内力： N= MC0 / f,5.3 三铰拱的内力,5.3.1 三铰拱的内力及正负号规定 三铰拱截面的内力有轴力轴力、剪力、弯矩。 正负号规定： 弯矩-使拱曲杆内缘受拉为正； 剪力-使拱段顺时针转为正； 轴力-以拉力为正。,5.3.2 三铰拱的内力计算 三铰拱轴线为曲线，曲杆截面的倾角随位置而变化，内力亦随而变化。内力计算仍然将三铰拱与相应跨度、荷载的简支梁相对应求解。,任意一截面D
5、的内力： MD= M0D-H.yD QD= Q0DcosD-H. sinD ND=-Q0DsinD-H. cosD 截面的倾角由轴线方程y=f(x)求得（dy/dx=tan ），当X轴向右为正，Y轴向上为正时，左半拱取正，右半拱取负。,5.3.2 三铰拱的内力图绘制 将拱沿着跨度方向等分为若干等份，逐点求出内力值，将内力图的纵坐标垂直于杆轴线画出，然后连接各点成曲线。,例1. 某三铰拱及其荷载如图5所示，当坐标原点选在左支座时，拱轴方程为y=4f(l-x)x /l2，试作该三铰拱的内力图。 解: (1)求支座反力 VA =V0A=90kN VB =V0B=70kN H =HA=HB=M0C/f
6、 =1/2(904-503-2021) =85kN (2)确定并计算控制截面的内力 将拱沿跨度分成8等份，各等分点所对应的截面作为控制截面，按照下列各计算公式计算各截面内力： MD= M0D-H.yD QD= Q0DcosD-H. sinD ND=-Q0DsinD-H. cosD,（3） 绘制内力图,图5,5.3.3 三铰拱的合理拱轴 根据三铰拱内力分析知：三铰拱截面轴力较大，弯矩和剪力较小，为了充分发挥材料的作用，应设法减小弯矩引起的不均匀正应力。如果使截面弯矩为零，则截面正应力分布均匀，材料使用最经济。 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的相应拱轴线称为该荷载作用下的合理拱轴。,如：在某竖向荷载作用下，三铰拱任一截面的弯矩为： M=M0-H.y 令 M0-H.y=0 则：y=M0/H 由此可见:当拱上荷载为已知时，只要求出相应简支梁的弯矩方程，然后除以支座水平推力H，即可求得合理拱轴的轴线方程。,再 见,