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1、第五节 极限运算法则,一、无穷小的运算性质,证,定理1 在自变量的同一过程中,两个无穷小的和与差仍是无穷小.,(1),即证:,(2),即,定理2 在自变量的同一变化过程中,有界量乘以无穷小仍是无穷小.,证,即证:,(4),(3),即,推论,注意 无穷多个无穷小的和不一定是无穷小.,推论,有限个无穷小的和,差, 积仍是无穷小.,例:,(有界量乘以无穷小仍是无穷小),二、极限运算法则,定理3,3,证,由函数极限与无穷小的关系,得,(5),(6),由函数极限与无穷小的关系,得,1,由函数极限与无穷小的关系,得,类似可证：,2,即:,(无穷小的运算性质),3,从而有,推论,由函数极限与无穷小的关系,得
2、,(有界量乘无穷小),注,由定理3得,定理5,证,对于数列的极限也有类似的运算法则.见书上P45,定理4.,又由函数极限的性质得,解,例1 求,三、求极限的方法举例,例2,解,小结:,解,例3,(约去零因子),解,(分母有理化),例4,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例5,例6,解,解,例7,解,例8,（无穷小与无穷大的关系）,小结:,例9,解,例10,解,(有界量乘无穷小),又,解,先通分，再求极限,例11,例12,解,左右极限存在且相等,证,定理6(复合函数的极限运算法则),因而有,例13,注,在定理6的条件下有,解,注1,注2,四、小结,1.极限的运算法则,2.极限的求法：,(1). 用极限的运算法则; (2).用约去零因子法; (3).用分子有理化,分母有理化; (4).利用无穷小与无穷大的关系; (5).利用无穷小的性质; (6).利用左右极限求分段函数极限. (7).换元法,作业 P49 习题1-5， 1, 2, 3.,思考：,4，5,下次课讨论,