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1、一、 f(x)在点x0 的连续 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性 第二章 二、 间断点的类型 三、 f(x)在区间上的连续 一 f(x)在点x0 的连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在点 的某邻域有定义，若 ，则称 在点 处连续。 若 在点 处不连续，则 在点 处间断，称 为 的间断点。 2 条件 .根据连续的定义， 在点 处连续，必须满足： （1） 在点 处有定义，即 有意义； （2） 存在，即 = （3） 极限值等于函数值，即 = 1 定义 .f(x)在点x0 的连续 二、间断点的类型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 按 在点 处的左、右极限是否
2、存在，可以 将间断点分为第一类间断点和第二类间断点。 1.第一类间断点：左极限 、右极限都存在 如果说左极限 右极限，则称 为跳跃间断点； 如果左极限 = 右极限，则称 为可去间断点； 可去间断点又可以分为两种： 第一种，左极限 = 右极限，但是 在点 处没有定义； 第二种，左极限 = 右极限函数值。 2。第二类间断点： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 左极限、右极限至少有一个不存在。 第二类间断点又可以分：无穷间断点、振荡间断点等 。 例如 x = 0是 的可去间断点 。 x= 0 也是 = 的可去间断点. 只要在x = 0处重新定义函数值，使得 函数值 = 左极限 = 右极限 = 2
3、， 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 就是一个连续函数。 例如：x=1 是 = 的无穷间断点。 如图所示 又如 x = 0是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = 的振荡间断点 如图所示 三、f (x)在区间上的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 区间上的连续函数 如果函数 在某区间上的每一点都连续，则 为该区间上的连续函数， 该区间称为函称 的连续区间。 定理1 初等函数在其定义区间上的每一点都连续，即 数 初等函数是其定义区间上的连续函数 这个定理是求初等函数极限的重要依据，我们在前面 计算极限时已经用到了这个定理。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 判断函数连续性
4、的方法 ： （1）寻找使函数 没有定义的点 ，如果有没有 定义的点 ，则 一定为间断点； （2）寻找使 不存在的点 ，分段函数间断 点通常发生于分段点处； （3）寻找使 的点 例1 当a取什么值时，函数 = 连续？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 当 时， = 是初等函数，故在 上， = 是连续函数； 当x 0时， = a + x 是初等到函数，故在 上， = a + x 是连续函数 在点 x = 0 处， ， 因此，当 a = 1 时， 故 在点 x = 0 连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 判断函数 在x=0处的连续性。 解 因为左极限、右极限不相等，所以 在点 x
5、= 0 处间断。 2 .f(x)在区间上连续的几何意义 第九节 目录 上页 下页 返回 结束 如果f (x)在某区间上连续，则在该区间上函数 f (x) 的曲线是一条不间断连续曲线。 3闭区间上连续函数的性质 性质1 有界性定理 若函数f (x)在a，b连续，则在a，b上有界 。 这个定理的几何意义是： f (x)的图形位于与x轴 平行的两直线y = N 和 y = -N之间。 ( 注意，闭区间换成开区间，结论不一定成立。) 性质2 最大值和最小值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数f (x)在闭区间a，b上连续， 则函数f (x)在 a，b上必能取得最大值M和最小值m，也就是 说
6、，对一切x a，b ，成立m f (x) M。 对最大值最小值定理应注意以下两点： ( 1 )如果函数不是在闭区间而是在开区间上连续，定 理的结论不一定正确。例如，考虑在开区间（a，b） 上 ，它在（a，b）上，既无最大值，也无最 小值； ( 2 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果函数在闭区间上有间断点，定理的的结论 不一定正确，例如，函数 定义在闭区间0，2上，x=1是它的间断点，该函 数在0，2上既取不到最大值，也取不到最小值。 性质 3 中间值定理（介值定理） 若函数f (x)在闭区间a，b上连续，则它在a，b 上一定能取到最大值M和最小值m 之间的任何一 C，即存在 ，使 个中间值 性质4 零点存在定理（根的存在定理 ） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数f (x)在闭区间a，b上连续，且 则一定存在 f (x)的零点 ，使 因为f (x)在区间a，b端点x = a和x = b 的值异号， 曲线上对应于区间端点的值A、B分布在x轴的 上、下两侧，由中间值定理，必有 ，使 内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 函数f (x)在点x0连续的定义及满足的 条件； 2. 第一类间断点和第二类间断点的区 分和应用； 3. 判断函数连续性的方法； 4. 闭区间上连续函数的四个性质； 作业 P37 2，4