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1、一、主要内容 （一）向量代数 （二）空间解析几何 空间解析几何与向量代数 习 题 课 向量的 线性运算 向量的 表示法 向量积数量积 向量的积 向量概念 （一）向量代数 1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 自由向量、 相等向量、 负向量、 向径. 重要概念: 零向量、向量的模、单位向量、 平行向量、 (1) 加法： 2、向量的线性运算 (2) 减法： (3) 向量与数的乘法： 向量的分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标表示式： 向量的坐标： 3、向量的表示法 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式 4、数量积(点积
2、、内积) 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式 5、向量积(叉积、外积) 向量积的坐标表达式 / 直 线 曲面曲线 平 面 参数方程 旋转曲面 柱 面 二次曲面 一般方程 参数方程 一般方程 对称式方程 点法式方程一般方程 空间直角坐标系 （二）空间解析几何 横轴 纵轴 竖轴 定点 1、空间直角坐标系 空间的点 有序数组 空 间 直 角 坐 标 系 共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限. 它们距离为 两点间距离公式: 曲面方程的定义： 2、曲面 研究空间曲面的两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状. （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. 1 旋转曲面
3、定义：以一条平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周所成的曲面称之. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 方程特点: （2）圆锥面（1）球面（3）旋转双曲面 2 柱面 定义 ： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱 面的母线. 从柱面方程看柱面的特征： (1) 平面 (3) 抛物柱面 (4) 椭圆柱面 (2) 圆柱面 3 二次曲面 定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. （1）椭球面 （2）椭圆抛物面 （3）马鞍面（4）单叶双曲面 （5）圆锥面 3、空间曲线 1 空间曲线的一般方程 2 空间曲线的参数方程 如图空间曲线 一般方程为 参数方程为
4、 3 空间曲线在坐标面上的投影 消去变量z后得： 设空间曲线的一般方程： 曲线在 面上的投影曲线为 面上的投影曲线面上的投影曲线 如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线投影曲线投影柱面 4 空间立体或曲面在坐标面上的投影 空间立体 曲面 4、平面 1 平面的点法式方程 2 平面的一般方程 3 平面的截距式方程 4 平面的夹角 5 两平面位置特征： / 5、空间直线 1 空间直线的一般方程 3 空间直线的参数方程 2 空间直线的对称式方程 直线 直线 两直线的夹角公式 4 两直线的夹角 5 两直线的位置关系 ： / 6 直线与平面的夹角 直线与平面的夹角公式 7 直线与平面的位置关系 / 二、典型
5、例题 例1 解 由题设条件得 解得 例2 解过已知直线的平面束方程为 由题设知 由此解得 代回平面束方程为 例3 解将两已知直线方程化为参数方程为 即有 例4 解 所求投影直线方程为 例5 解 由于高度不变, 故所求旋转曲面方程为 例8、已知点A(1,2,5)，B(-2,0,-3), C(1,-3,0)，求点D(4,3,0) 关于平面ABC的对称点。 解 平面ABC: 2x+y-z+1=0 过D且垂直于平面的直线为 设对称点的坐标（4+2t,3+t,-t)，有距离公式 t=4(舍去0） 对称点为（-4，-2，4）。 例9、求证两直线 相交，并求出交点坐标及包含两直线的平面。 解：直线的标准式是
6、 令： 两直线的交点(1,2,-1)包含两直线的平面：x+3y+z-6=0。 向量 两直线相交。 例10.求直线在平面上的投影 直线l0的方程，并求l0绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程。 解法1 设经过l且垂直于的平面方程为 则由条件可知 由此解得于是1的方程为 从而l0的方程为：即 于是l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程为 ( A,B,Cs, n ) 解法2 由于直线l的方程可写为 所以过直线l的平面方程可设为 即 由它与平面垂直，得 于是经过直线l且垂直于的平面方程为 从而l0：（下同解法一） l 的方向向量为s=1,1, 1，的法线向量为n=1，1，2 经过 l 且垂直于的平面1的法线向量为 又因为1经过l ，1当然经过l上的点（1，0，1），所以 1 的方程为 即（下同解法一） 解法3 测 验 题