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1、一、偏导数的定义,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。,只要把 x 之外的其他自变量暂时看成,常量，对 x 求导数即可。,只要把 y 之外的其他自变量暂时看成,常量，对 y 求导数即可。,其它情况类似。,解,把 y 看成常量,把 x 看成常量,解,把 y 看成常量,把 x 看成常量,解：,偏导数存在与连续的关系,但函数在该点处并不连续.,一元函数中在某点可导,多元函数中在某点偏导数存在,连续。,连续。,？,偏导数的几何意义,如图,几何意义:,二、全微分的定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,全增量的概念,全微分的定义,事实上,即,
2、证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在,多元函数的各偏导数存在,例如，,？,微分存在,全微分存在,则,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。,证,同理,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,解,(2, 1) 处的全微分,它们均连续。因此，函数可微分。,例5.,解：,解,所求全微分,证 （1）,令,总结：,练习,多元函数连续、可导、可微的关系,三、高阶偏导数与高阶全微分,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,解,解,问题:,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,定理3,证明：,作辅助函数,于是有,证毕。,解,