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1、本 科 毕 业 论 文题 目 矩阵的QR分解及应用 系 别 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 刘 熠 评阅教师 班 级 2008级3班 姓 名 杨 秀 忠 学 号 20080241162 2011年 5月 16 日目 录摘要IAbstractI引言12 利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解13 利用Householder变换求矩阵的QR分解44 利用Givens变换求矩阵的QR分解75 利用初等变换求矩阵的QR分解106矩阵QR分解的应用12参考文献13结束语13致谢14摘要：矩阵是数学研究中一类重要的工具之一，有着非常广泛的应用，矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展
2、起了关键作用矩阵的QR分解可以利用Schmidt正交化、Householder矩阵变换、Givens矩阵变换以及矩阵的初等变换等方法进行本文给出了这几种方法的证明及简单的应用关键词：QR分解;Schmidt正交化、Householder矩阵变换、Givens矩阵变换、初等变换Abstract：The matrix is a important tool in class of mathematical research, and it has a very wide range of applications plays a key role in matrix theory and deve
3、lopment of modern computational mathematics. The methods of matrix QR decompose have such as Schmidt orthogonalization method, Householder matrix transformation, Givens matrix transformation and elementary transformation to matrix. in this paper , the proof of these methods and simple applications.K
4、ey words： QR decompose;Schmidt orthogonalization;Householder matrix transformation;Givens matrix transformation;elementary transformation1引言如果实非奇异矩阵A能够化成正交矩阵Q与实非奇异上三角矩阵R的乘积，即A=QR (1) 则称（1）为A的QR分解矩阵的QR分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要的作用，而且得到他们的精确解非常重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解
5、时，故在工程技术上，用QR分解可以得到其在某一精度水平上的近似解QR分解也是特征值算法及QR算法的基础下面给出4种求求矩阵QR分解的方法及一个简单的应用，以加强对QR分解思想及方法的深刻理解2利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解定理11设，则可以唯一地分解为 其中是正交矩阵，是实非奇异上三角矩阵证明设，则，是线性无关的用Schmidt方法将，正交化，得 ， ， 其中 ，将上式改写为 ， ， 记 ， ，则上述各式可以写成 ， ， 于是 显然，是正交矩阵，是实非奇异上三角矩阵接下来证明这种分解的唯一性设有两个分解式：，则 所以，既是正交举证有是实非奇异上三角矩阵，又易知：既是正交举证有是实非奇
6、异上三角矩阵只能是单位矩阵，即有 于是，根据逆矩阵的唯一性知 ，注由上述证明过程可得 ，其中，例1试求矩阵的分解解令 ，经过Schmidt正交化，得 ， ， ，令，由注得： 则 利用相同的证明思路，定理1可以推广位为列满秩矩阵的情形定理12设，则可以唯一的分解为其中是实矩阵，满足，是实非奇异上三角阵，容易看出3利用Householder变换求矩阵的QR分解定义21设且，称为Householder矩阵，由Householder所确定的变换称为Householder变换Householder矩阵有如下性质：（1） （对称矩阵）（2） （正交矩阵） （3） （对合矩阵）（4） （自逆矩阵）（5）是阶
7、Householder矩阵（6）定理22设为非零列向量，为单位列向量，则存在Householder矩阵，使得证明当时，取单位列向量满足，则有 当时，取 则有 这里利用了等式 定理23利用Householder变换证明任意都可以进行QR分解证明将进行列分块，即，由定理知，存在阶Householder矩阵，使得，则 式中 再将按列分块，即同理，有阶Householder矩阵，使得，其中则有阶Householder矩阵，使得 式中：同理，继续上述步骤，则在第步有 由于皆为Householder矩阵，则有，其中为正交矩阵，为上三角矩阵例2利用Householder变换求矩阵的分解解由的第一列，利用Ho
8、useholder变换公式得 ，则 再对的第一列做Householder变换，得 ,则 ,则为上三角矩阵，而.4利用Givens变换求矩阵的QR分解定义31设实数与满足，称 为Givens矩阵，有时也记为由Givens矩阵所确定的变换称为Givens变换，且当时，必有角度，使得，Givens矩阵有如下性质：(1)Givens矩阵是正交矩阵，且有(2)设，则有 上式表明，时，选取，就可使，定理32设，则存在有限个Givens矩阵的乘积，记做，使得，其中证明先考虑的情形，对构造Givens矩阵，其中，再对构造Givens矩阵;，重复上述步骤，最后对构造Givens矩阵：其中，令，则有若，考虑，的情
9、形此时，上面的步骤从开始进行即得定理结论定理33利用Givens变换证明任意都可以进行QR分解证明将进行列分块，即，由定理知存在Givens矩阵，使得 则 其中，同理，对于第二列，又存在阶Givens矩阵，使得从而其中，同理，继续上述过程，使有，其中为正交矩阵，R为实可逆上三角阵例3用Givens求矩阵的分解解由的第一列，利用Givens变换公式得，则由于第一列对角线以下元素已全部为，下面开始对的第二列进行计算有，进而有，则为上三角矩阵为正交矩阵5利用初等变换求矩阵的QR分解矩阵的初等变换共有三种，其中把数域上矩阵的某一行（列）的倍加到另一行（列），这种初等变换称为第种行（列）初等变换（其中是
10、中任意一个数）结论41设是一个实矩阵，若是列满秩矩阵，则对称正定，因而有唯一的三角分解式，其中：是单位下三角矩阵;是对角元全为正数的对角矩阵结论 42若是一个列满秩矩阵，则总可经过一对第种行和列的初等变换分解为的形式其中是一个列正交矩阵，是一个非奇异上三角矩阵步骤：1、首先求出正定对称矩阵;2、对同时进行相应的第种行和列初等变换，得到对角矩阵且主对角线上的元素全为正实数，又对矩阵施行行初等变换等价于用相应的初等矩阵左乘该矩阵，对矩阵施行行列初等变换等价于用相应的初等矩阵右乘该矩阵，故存在下三角矩阵和上三角矩阵（显然可逆），使得;3、设，则 其中为单位矩阵;4、令，是一个列正交矩阵，是一个非奇异
11、上三角矩阵，的出分解式例4用初等变换求矩阵的QR分解解，对只用第种初等变换得：有，则，因此，可得：，6 矩阵QR分解的应用例5设为实数域上的三阶矩阵，则参数方程 表示中的抛物线证因为为可逆矩阵，故存在三阶正交矩阵使 (2)为上三角矩阵，且因可逆，故令，则（1）式可写成 (3)因为正交矩阵，所以也是正交矩阵作空间的坐标变换这里，则由（3）式知即 （4）化此参数方程为一般方程得： （5）其中方程表示新坐标系下，平面上的抛物线结束语通过对矩阵QR分解的几种方法的介绍及简单的应用，掌握了对矩阵进行QR分解的过程，以及矩阵QR分解在实际中的应用至于矩阵的QR分解方法除了本文讨论的几种情况外，是否还有其他
12、的方法并没有进行讨论矩阵的QR分解作用很广泛，在不同的领域都发挥着其独特的作用，只要应用好，肯定可以使原有的问题简单而易于理解参考文献1 周海云，陈青东矩阵理论简明教程M北京：国防工业出版社，20112 张禾瑞，郝鈵新高等代数M北京：高等代数出版设，2007，第5版3 朱元国，饶玲矩阵分析与计算M北京：国防工业出版社，20104 时宝，盖明久矩阵分析引论及其应用M北京：国防工业出版社，20105 程云鹏，张凯院矩阵论M西安：西北工业大学出版社，2006，第5版6 李建东矩阵QR分解的三种方法J吕梁高等专科学校学报，2011，25(1)：16-197 马建荣，刘三阳线性代数选讲M北京：电子工业出版社，20118 王萼芳，石生明高等代数M高等教育出版社，2003，第5版9 喻方圆矩阵QR分解的一个简单应用J工科数学，1997，13(1)：139-140致谢历时两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了很多的困难和障碍，都在老师和同学的帮助下度过了在准备过程中，我学会了怎样在网上查找电子期刊，在写作过程中，我学会了怎样利用公式编辑器编辑需要的公式，怎样在word中加入页眉页脚、插入目录等等以前不知道的东西在此向帮助和指导过我的老师和同学表示最衷心的感谢！最后我还要感谢培养我长大含辛菇苦的父母，谢谢你们！14