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1、2.4 量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度 l 的量纲记 L=l,质量 m的量纲记 M=m,时间 t 的量纲记 T=t,动力学中基本量纲 L, M, T,速度 v 的量纲 v=LT-1,导出量纲,加速度 a 的量纲 a=LT-2,力 f 的量纲 f=LMT-2,引力常数 k 的量纲 k,对无量纲量，=1(=L0M0T0),2.4.1 量纲齐次原则,=fl2m-2=L3M-1T-2,数 学 模 型,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,例：单摆运动,求摆动周期 t 的表达式,设物理量 t, m, l, g 之间有关系式,1, 2, 3 为待定系数，为
2、无量纲量,(1)的量纲表达式,对比,数 学 模 型,对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ),为什么假设这种形式,设p= f(x,y,z),x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍,数 学 模 型,单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式,数 学 模 型,设 f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-r,F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定,Pi定理 (Bucki
3、ngham),是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为,量纲矩阵记作,数 学 模 型,g = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。,m=6, n=3,数 学 模 型,Ay=0 有m-r=3个基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r个基本解,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-r,数 学
4、模 型,F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,v,s,f) = 0 等价,为得到阻力 f 的显式表达式,F=0, 未定,F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价,数 学 模 型,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性, () = 0中包括哪些物理量是至关重要的,基本量纲个数n; 选哪些基本量纲,有目的地构造 Ay=0 的基本解,方法的普适性,函数F和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,数 学 模 型,2.4.2 量纲分析在物理模拟中的应用,例: 航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参
5、数(均已知),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数 (f1未知，其他已知),注意：二者的相同,【问题】,数 学 模 型,按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 物理模拟,【模型构成】,数 学 模 型,2.4.3 无量纲化,例：火箭发射,研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律,t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2,牛顿第二定律，万有引力定律,3个独立参数,数学模型,用无量纲化方法减少独立参数个数,用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc, tc （特征尺度）,无量纲变量,如,令,数 学 模 型,xc, tc的不同构造,1）令,为无量纲量,数 学 模 型,3）令,2）令,数学模型,重要差别,考察无量纲量,在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？,1),无解,数学模型,2),3),数学模型,原问题,是原问题的近似解,数 学 模 型,为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1) 2)不能?,3）令,火箭到达最高点时间为v/g, 高度为v2/2g,大体上具有单位尺度,林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学,数 学 模 型,