数学与应用数学专业毕业论文.doc

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1、Liaoning Normal University（2012届）本科生毕业论文(设计)题 目： 双线性函数及其应用学 院： 数学学院专 业： 数学与应用数学（师范）班级序号： 1班5号学 号： 20081807010015学生姓名： 王全指导教师： 安慧辉 2012年5月目 录摘要（关键词）1Abstract（Key words）1前言21 常用的欧式空间12 双线性函数22.1 线性函数的简单性质2 2.1.1 线性函数的定义2 2.1.2 线性空间的性质3 2.1.3 对偶基32.2 双线性函数的内容及性质32.2.1 双线性函数的性质32.2.2 双线性函数的内容33 双线性函数在不同

2、基下的矩阵4 3.1 双线性函数在不同基下的矩阵之间的关系43.2 相同基下，不同的双线性函数所对应的矩阵54 双线性函数与辛空间及对偶空间64.1双线性函数与辛空间74.2双线性函数与对偶空间 105双线性函数的应用领域 136 结束语 14参考文献 14致谢 15i双线性函数及其应用双线性函数及其应用 摘要：在以往的密码学研究当中,双线性配对函数(Weil配对和Tate配对)通常被用在密码分析学中:通过使用配对函数,可以将某些椭圆曲线上的离散对数问题约减到有限域上的离散对数问题。 近些年来,密码学家发现,如果对配对函数进行适当的改动,并应用在某些合适的椭圆曲线上,就可以构造出低带宽的、可证

3、明安全的(provable secure)、基于双线性配对函数的加密、签名和密钥协商等协议。这些突破性的工作为密码协议的构造开辟了新的思路:由于双线性配对函数所具有的特性,可以用来设计一些具有特殊性质的密码协议,这些协议一般很难用其他方法实现,或者即使可以实现,其效率也没有基于双线性配对函数的高。例如短签名、三方一轮的密钥协商协议、基于身份的加密方案等。 本文主要研究双线性配对函数在构造新的密码协议方面的应用。主要研究内容包括:(1)总结了双线性配对函数的概念、所具有的特性,并介绍了Diffie-Hellman难题以及双线性配对函数在密码学中的应用;(2)提出了一个使用双线性配对函数的前向安全

4、的数字签名方案:在一个基于双线性配对函数的签名方案的基础上构造了一个前向安全的签名方案。文中对方案的安全性进行了分析,并与已有的一些前向安全的签名方案进行了比较,结果表明该方案在效率和签名长度上有一定的优势;(3)本文对这样一种情况提出了解决方案:多个用户将加密数据(使用Alice的公钥)发送到不完全可信的数据存储服务器上(例如邮件服务器和文件服务器等)。如果Alice想让服务器能够查询加密文档是否含有某些单词并反馈结果,但同时又不希望给予服务器解密数据的能力。在这种情况下,需要特殊的技术来处理。本文构造了一个可查询的、基于公钥并与流密码结合的、使用双线性配对函数的加密系统,它能让服务器进行查

5、询,而又不失数据的机密性。在该方案中,服务器并不能了解比查询结果更多的关于明文的信息;且当只给定密文时,不被信任的服务器不能得到关于明文的信息。(4)提出了一个盲聚合签名方案,它结合了盲签名和聚合签名两者的优点,使生成的盲签名聚合为一个聚合签名,节省了时间和存储空间,也降低了对传输带宽的要求。关键词：双线性函数；矩阵的合同；矩阵的相似Abstract：In the past the cryptography studies, bilinear pairing function (Weil pairing Tate and matching) are usually used in analys

6、is in learning, password: through the use of matching function, can will some of the elliptic curve discrete logarithm problem about reduced to a limited domain of discrete logarithm problem. In recent years, cryptography, home found that, if properly to visual function changes, and application in s

7、ome appropriate elliptic curve, it can be constructed out of the low bandwidth, can prove safe (provable secure), based on bilinear pairings function of encryption, signatures and key agreement protocol, etc. These breakthrough for the construction of the password agreement opened up a new train: be

8、cause bilinear pairings is the features of a function, can be used to design some has certain types of password agreement, these agreements with other method very hard commonly, or even can realize, its efficiency and no based on bilinear pairings function of high. For example, three square round sh

9、ort signature of key agreement protocol, identity based encryption scheme. This paper makes a study of the bilinear pairings function in the construction of new password agreement applications. The main research contents include: (1) summarized the bilinear pairings function concept, has the charact

10、eristics, and introduced the diffie-hellman problem and bilinear pairings function in the application of cryptography; (2) put forward a using bilinear pairings of function to safety before digital signature scheme: in a based on bilinear pairing the signature scheme based on the structure of a prio

11、r to the safety of the signature scheme. In this paper the safety of the scheme are analyzed, and some have to safety before the signature schemes are compared, and the results show that the scheme in efficiency and signature length have a certain advantages; (3) in this paper put forward such a sol

12、ution: multiple users will be encrypted data (use Alice public key) sent to not completely reliable data storage server (such as mail servers and file servers, etc.). If Alice wants to let the server can inquires documentation is contain certain words encryption and feedback result, but at the same

13、time and dont want to give the server decrypt data ability. In this case, the need for special technology to deal with. This paper constructs a can inquire, based on public key and and flow of the combination of the password, using bilinear pairings function encryption system, it can make the query

14、server, and do not break data confidentiality. In this scheme, the server and cant understand the results more than inquires about expressly information; And when only a given ciphertext, not trusted server cant get about expressly information. (4) put forward a blind signature scheme polymerization

15、, it combines blind signature and polymerization signature advantage of the two, to generate the blind signature polymerization as a signature polymerization, saving time and storage space, also reduced of transmission bandwidth requirements. Key words：Double linear function, and the matrix of the c

16、ontract, the matrix of the similar 前言双线性函数是线性代数理论的一个重要内容它涉及很多内容，如对称阵、反对称阵、二次型、正交阵、辛阵等，特别地双线性函数与线性函数有密切关系由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与

17、几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。1常用的欧式空间常用的欧式空间 （1） 线性空间，对如下定义的内积构成欧式空间。 （2） 线性空间对如下定义的内积构成欧式空间。 2双线性函数 2.1 线性函数的简单性质2.1.1 线性函数的定义设是V上的线性函数，则(0)=0，如果的线性组合：，那么 定理 设V是P上一个n维线性空间，是V的一组基，而是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数使()= 2.1.2线性函数空间的性质设V是数域上P线性空间，V上的全体线性函数的集合记为L(V, P), 定义）加法 ()()=()+() L(V, P) V）数乘，则 也是一个 p上的线性空间。并称

18、为的对偶空间。2.1.3对偶基设为 的一组基，定义 =，则是的一组基。称 为的对偶基。定理 的维数等于的维数，而且是 的一组基定理 设 及 ,是线性空间的两组基，它们的对偶基分别与及。如果由到,的过渡矩阵为A ，那么由到的过渡矩阵为2.2 双线性函数的定义及性质2.2.1 双线性函数的性质 双线性函数设是数域 P上一个线性空间。是上一个二元函数，即对中任意两个向量都唯一地对应P 中的一个数。记为。如果有以下性质： =k+k 则称 为 上的双线性函数。2.2.2 双线性函数的定义一般地，双线性函数的定义如下：设X,Y和Z为相同域K上的三个线性空间，当二元映射对两个自变量都是线性映射时，则这样的二

19、元映射f称之为从线性空间XY到Z的一个双线性映射或双线性函数。此时 。即函数的值域 。换句话说，双线性函数的本质特征是，如果保持双线性映射的任一个自变量固定不变，并留下另一个自变量作变元，则结果都是一个线性函数。这就是双线性函数的偏线性。即对于 ， ，及 ，都成立和如下图所示： 3双线性函数在不同基下的矩阵3.1 双线性函数在不同基下的矩阵之间的关系 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设及是线性空间的两组基：是中两个向量,那么如果双线性函数在及下的度量矩阵分别为，则有.又.因此这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的3.2 相同基下，不同的双

20、线性函数所对应的矩阵设是数域上维列向量构成的线性空间.再设是上级方阵.令, (1)则是上的一个双线性函数.如果设，并设则. (2)（1）或（2）实际上是数域上任意维线性空间上的双线性函数的一般形式.可以如下地说明这一事实.取的一组基.设,则. (3)令,则（3）就成为（1）或（2）.设是数域上维线性空间上的一个双线性函数. 是的一组基，则矩阵 (4)叫做在下的度量矩阵.上面的讨论说明，取定的一组基后，每个双线性函数都对应于一个级矩阵，就是这个双线性函数在基下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.反之，任给数域上一个级矩阵对中任意向量及，

21、其中，用定义的函数是上一个双线性函数.容易计算出在下的度量矩阵就是.因此，在给定的基下，上全体双线性函数与上全体级矩阵之间的一个双射.4 双线性函数与辛空间及对偶空间4.1 辛空间1、 主要定义 1. 辛空间中一定能找到一组基满足.这样的基称为的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.2任一级非退化反对称矩阵可把一个数域上维空间化成一个辛空间，且使为的某基下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基下的度量矩阵为, (1)故合同于.即任一级非退化反对称矩阵皆合同于.两个辛空间及，若有到的作为线性空间的同构，它满足,则称是到的辛同构.到的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把的一组辛正交基变成的辛正交基.

22、两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.辛空间到自身的，辛同构称为上的辛变换.取定的一组辛正交基，上的一个线性变换，在该基下的矩阵为，,其中皆为方阵.则是辛变换当且仅当，亦即当且仅当下列条件成立：且易证，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.设是辛空间，,满足，则称为辛正交的.是的子空间，令. (2)显然是的子空间，称为的辛正交补空间.定理7 是辛空间，是的子空间，则.定义9 为辛空间，为的子空间.若，则称为的迷向子空间；若，即是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若，则称为的辛了空间.例如，设是的辛正交基，则是迷向子空间. 是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间是

23、辛子空间.对辛空间的子空间.通过验证，并利用定理7，可得下列性质：(1) ,(2) ,(3) 若是辛子空间，则(4) 若是迷向子空间,则(5) 若是拉格朗日子空间，则定理8 设是辛空间的拉格朗日子空间，是的基，则它可扩充为的辛正交基.推论 设是的迷向子空间，是的基，则它可扩充成的辛正交基.对于辛子空间，也是非退化的.同样也非退化.由定理7还有.定理9 辛空间的辛子空间的一组辛正交基可扩充成的辛正交基.定理10 令为辛空间，和是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有的辛变换把变成.辛空间的两个子空间及之间的（线性）同构若满足则称为与间的等距.Witt定理 辛空间的两个子空间,之间若有等距

24、，则此等距可扩充成的一个辛变换.下面是辛变换的特征值的一些性质.是辛空间上的辛变换，则的行列式为1.取定的辛正交基.设在基下矩阵为，这时有.定理11 设是维辛空间中的辛变换，是在某辛正交基下的矩阵.则它的特征多项式满足.若设,则.由定理11可知，辛变换的特征多项式的（复）根与是同时出现的，且具有相同的重数.它在中的特征值也如此.又等于的所有（复）根的积，而.故特征值的重数为偶数.又不等于的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为的重数也为偶数.定理12 设是数域上辛空间上辛变换在中的特征值，且.设,分别是中对应于特征值及的特征子空间.则，有，即与是辛正交的.特别地，当时是迷向子空间.二

25、、主要结论1. 设是上一个维线性空间，是的一组基，是中任意个数，存在唯一的上线性函数使 .2. 设及是线性空间的两组基，它们的对偶基分别为及.如果由到的过渡矩阵为，那么由到的过渡矩阵为.3. 的维数等于的维数，而且是的一组基.4. 是一个线性空间，是的对偶空间的对偶空间. 到的映射是一个同构映射.5. 在给定的基下，上全体双线性函数与上全体级矩阵之间的一个双射.6. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.7. 设是数域上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.8. 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.9. 是辛空间，是的子空间，则4.

26、2 对偶空间 设是数域上一个维线性空间. 上全体线性函数组成的集合记作.可以用自然的方法在上定义加法和数量乘法.设是的两个线性函数.定义函数如下：.也是线性函数：.称为与的和.还可以定义数量乘法.设是上线性函数，对于中任意数，定义函数如下：,称为与的数量乘积，易证也是线性函数.容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，成为数域上的线性空间.取定的一组基，作上个线性函数，使得 (1)因为在基上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对中向量，有, (2)即是的第个坐标的值.引理 对中任意向量，有, (3)而对中任意向量，有. (4)定理2 的维数等于的维数，而且是的一组基.定义2 称为的对偶空间

27、.由（1）决定的的基，称为的对偶基.以后简单地把的对偶空间记作.例 考虑实数域上的维线性空间，对任意取定的个不同实数，根据拉格朗日插值公式，得到个多项式它们满足是线性无关的，因为由用代入，即得.又因是维的，所以是的一组基.设是在点的取值函数：则线性函数满足因此，是的对偶基.下面讨论的两组基的对偶基之间的关系.设是数域上一个维线性空间.及是的两组基.它们的对偶基分别是及.再设其中, 由假设,.因此由矩阵乘法定义，即得即定理3 设及是线性空间的两组基，它们的对偶基分别为及.如果由到的过渡矩阵为，那么由到的过渡矩阵为.设是上一个线性空间，是其对偶空间，取定中一个向量，定义的一个函数如下：.根据线性函

28、数的定义，容易检验是上的一个线性函数，因此是的对偶空间中的一个元素.定理4 是一个线性空间，是的对偶空间的对偶空间. 到的映射是一个同构映射.这个定理说明，线性空间也可看成的线性函数空间，与实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.5 双线性函数的应用领域5.1基于精确线性化的MIMO双线性系统预测函数控制 针对典型多输入多输出双线性系统,提出了基于非线性过程精确反馈解耦线性化的预测函数控制方法.这是一种分层的控制策略,首先设计一个静态的非线性状态反馈,使得闭环系统是输入输出解耦和线性

29、的;然后设计一组单输入单输出预测函数控制器.下层为上层预测函数控制提供一组单输入单输出模型,而上层预测函数控制以其固有的鲁棒性来补偿参数变化和解耦线性化的近似性,并以纸机加压网前箱为例进行了仿真实验,结果是令人满意的.5.2双线性荷载传递函数的单桩荷载沉降关系统采用荷载传递函数法研究单桩的荷载沉降关系,因其形式简单,便于应用,而受到普遍关注。常用的有双线性函数、双曲线函数、对数及指数函数等 。其中,双线性函数在模拟桩周土的软化特性上较其它函数有相对优势 。然而,现有的基于双线性函数的单桩荷载沉降关系解析解答只是针对某种特定工况(比如摩擦桩 )或特定模型而提出来的,比如,桩侧土强度随深度不变,桩

30、周土为硬化模型 或理想弹塑性模型 ,或桩侧土强度随深度线性变化且为理想弹塑性模型而桩端土为硬化模型。现有解答形式多样且散乱,不便于对实际工程进行设计分析和应用。本文采用双线性荷载传递函数模拟桩侧土和桩端土的硬化和软化模型特性,同时考虑桩侧土的抗剪强度随深度线性增加,推导了桩周土在不同状态(弹性或塑性)组合下的单桩荷载沉降关系解答及其算法,使之能够反映单桩在不同工况下的荷载传递机理,即承载特性,使解答完善和统一。6 结束语双线性函数是线性代数理论的一个重要内容，它涉及内容很多，如对称矩阵、反对称矩阵、二次型、正交矩阵、辛阵等，特别的，双线性函数与线性函数有密切的关系，双线性函数可以表示为若干对线

31、性函数张量积之和。如今双线性函数不仅仅应用于数学计算领域，还在各种学术领域上有了很多不同的作用。在实对称双线性函数与多精度整数的快速乘法中，多精度整数乘法运算的效率对公钥密码系统中的模乘、模幂的运算效率起着决定性的作用。Toom-Cook算法是一类应用广泛的多精度整数的快速乘法算法,目前主要的研究方法是插值理论。本文利用实对称双线性函数和二次型的方法研究多精度整数的乘法和平方的快速计算,给出了Toom-Cook算法参数的所有代数表现形式和搜索快速算法的基本方法,提出了一些在实际应用中与目前已知结果相同或优于目前已知结果的快速乘法和平方算法。研究结果表明,利用实对称双线性函数和二次型表示Toom

32、-Cook算法,更有利于判断算法的优劣程度和得到最优算法。参考文献1 刘英,王路群,李凤霞,刘冬丽.双线性函数J.高师理科学刊.2010(10)2 赵树心.浅议双线性函数在不同基下的矩阵间的关系J.硅谷.2010(10)3 王少波,张晓兰.关于双线性函数的几个结果J.南昌水专学报.1994(02)4 王秀芳.双线性函数与线性变换J.淮北煤师院学报(自然科学版).2001(04) 5 张景晓,姜曰华,李光芹.双线性函数空间的正交函数基与正定函数基J.临沂师范学院学报.2003(07)6 蒋树强.双线性函数性质研究J.山东矿业学院学报.1997(03)致 谢首先，我要感谢安慧辉老师，能够顺利完成这篇论文，离不开指导老师安慧辉老师的精心指导和扎实深厚的理论功底，以及循循善诱的启发。从论文的选题、论文的中期写作到最后文章的修改定稿，都离不开安慧辉老师的指导，感谢安慧辉老师在学业上对我的谆谆教导，在此，对安慧辉老师表示深深的感谢以及崇高的敬意！其次，我要感谢在四年来关心和帮助我的老师们。我能顺利完成这篇论文也离不开老师们对我这四年来的教诲，离不开老师们对我的不断的熏陶。再次，我要感谢我的同学们和朋友们，在我写论文这段期间是他们给了我不少宝贵的建议和帮助，还有鼓励。最后，我还要感谢在百忙中抽出时间对本文进行审阅，评价以及参与我的论文答辩的各位老师。感谢你们对我的论文提出建议。第14页