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1、Hlder不等式的几种不同形式及其证明和应用Several Hlder inequalities and theirproofs and applications专 业: 数学与应用数学作 者:曾运梅指导老师: 张映辉湖南理工学院数学学院二一一年五月 岳阳湖南理工学院 本科毕业论文摘 要在初步掌握了Hlder不等式的基础上，我们进一步对Hlder不等式的几种不同的形式给出了证明. 通过证明, 进一步掌握好Hlder不等式, 并为其在各个领域的应用打下好的基础. 关键词: Hlder不等式; Young 不等式; Hlder不等式的几种形式; 证明方法; 推广及应用AbstractAfter m
2、astering several inequalities, we further give their proofs. By this, we further master the Hlder inequality and its applications.Keywords: Hlder inequality; Young inequality; several Hlder inequalities; the method of proof; extension and application II 目 录摘 要IABSTRACTII0 引言11预备知识12 Hlder不等式的几种不同形式及
3、其证法52.1 Hlder不等式的离散形式及其证法52.2 Hlder不等式的积分形式及其证法72.3 Hlder不等式的概率形式及其证法93 Hlder不等式的推广及应用103.1 Hlder不等式的推广 103.2 Hlder不等式的应用 11参考文献140 引言Hlder不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科的研究中发挥了重要作用, 使用的技巧灵活多样, 得到的结果极为深刻. 然而在数学知识体系中Hlder不等式的证明出现较晚, 限制了它的早期传播和使用.于是, 首先我们给出了几条常用的定理以及某些定理的证明, 根据这些重要定理与初等数学之间的联系以得到Hlder不等式的
4、几种不同形式的证明; 其次, Hlder不等式又经常以另外两种形式出现. 一种是离散量的形式, 另一种是连续量的形式. 本文中通过借助三个引理, 在给定条件下, 先后证明了离散形式的Hlder不等式及积分形式的Hlder不等式; 再次, 由于随机不等式是不等式领域的重要组成部分, 这种类型的不等式在许多方面都有着重要的应用, 特别是在概率论与数理统计领域中的作用突出. 因此, 我也给出了Hlder不等式的概率形式的证明.Hlder不等式的不同形式的证明及其推广, 可使此不等式就能在初等数学阶段中给予介绍, 有利于传播和使用, 并能揭示相关结果的本质, 再充分发掘利用此结果, 能使许多问题得到新
5、的简单而又直接的解决, 体现数学的威力, 训练使用这些知识的技巧和能力, 能为以后的发展奠定基础.总之, 著名的Hlder不等式在分析学中起着非常重要的作用, 它的证法与推广能解决很多实际问题. 在已有结论的基础上对Hlder不等式进行证明, 推广及应用做了一些初探, 探求多种简洁的证明方法、推广形式, 通过对其不同形式的证明, 探索出了一些不等式证明的途径和相关技巧, 并通过对其在不同程度的推广, 加强了对Hlder不等式的应用.1 预备知识为了方便证明, 本文先给出一些必要的引理1.1（引理1）设不全相等且，则即1.2(引理2) 1.3(引理3)设 那么对于 有（时，等号成立）.证明:考察
6、函数我们发现又由于 当时，函数在上是减函数.所以，因此，当时不等式成立.当时，函数在上是增函数.所以，因此对一切不等式成立.由此引理得证.1.4 (引理4)（基础关系式）设 则 (1)证明：若中有一个0, 则（1）式显然成立.设均不为零, 将（1）式两边同时处以, 得 令则上式变为 （2）所以, 我们只需证明（2）式成立就可以了.令，则令得对再求导, 得以代入的表达式中, 得则是的极大值点.故是函数在上的最大值. 所以，当时成立, 从而（1）式成立. 证毕.设由引理4的不等式可以得到这个不等式对任何都成立, 同时这个不等式是引理1的二元形式.1.5 (引理5)（Young不等式）设且则以下不等
7、式成立：当且仅当等号成立.证法一：当时, 以上不等式显然成立.当时, 令则其次, 对于上式两端同时乘以 有由可得所以 证毕.证法二：考察函数显然是凸函数.因此，1、当时， 上式不等号是由于凸函数的性质.2、当 时，显然有 由上述1和2, 引理5得证.1.6 (引理6)若在上连续, 将等分 (分点包括两端点)，有 记等分的每个小区间长度为而 则有：证明：由得又由在上连续，在上存在定积分，而是在上的“积分和”的一种特殊情况.故有证毕. 1.7 (引理7)设是中给定的可测集, 是定义在上的可测函数., 若可积, 称是幂可积的函数构成一个类，记成或简称为, 称为空间，即对于空间的元, 称为的范数.2.
8、 Hlder不等式的多种形式及证明方法2.1 Hlder不等式的离散形式及其证明离散形式：设以及 则 等号成立当且仅当与成比例.证法一 ：（应用引理5）因此成立.当且仅当时等号成立. 证法二：在引理4中, 取则式子变为将上式两边对求和, 便得令 代入上式, 即有 即所以 证法三：在引理5中我们取引理5式变为将上面两边对求和便得 所以2 .2 Hlder不等式的积分形式及其证明 积分形式：设在上可积, 其中且, 则有 证法一：令则利用引理5得两边关于在上积分有从而有得证.证法二:设为上的非负可积函数，则当或时, 上式显然成立. 令则由Hlder不等式的离散形式可知（1）在（1）两端同时乘以 ,
9、有 （2）（2）式右端于是，（2）式就转化为而 故 将代入上式, 得 （3）即（4）对（4）式两端取极限，当时, 并由引理6得 化简上式, 即得证毕.2.3 Hlder不等式的概率形式及证明概率形式：设为一个正随机变量, 为任意正实数且存在.则有证明：令则由且在上有最小值因此有取期望得而 所以即 3 Hlder不等式的推广及应用3.1 Hlder不等式的推广 定理 设满足且 则对任何可测函数有 证明：当时显然成立.（即Hlder不等式的积分形式） 假设当时成立, 即 （1） 这里满足下面验证当时结论是否成立.即验证当时是否成立. 令，则且 由Hlder不等式得 ， （2） 由假设得到 所以 代
10、入（2）式即得结论, 命题得证. 注：此结论形式上与Hlder不等式积分形式有细微差别, 但由于所以上述命题的结论也可以改成：从定理可以看出, 当时，不等式就是积分形式的Hlder不等式.因此，不等式（1）是积分形式的Hlder不等式的推广.3.2 Hlder不等式的应用1）卷积形式的Young不等式：设, 则 ;2）广义形式的Young不等式： 则有 且有证明：当时，就是通常的Young不等式. 当时，此时成立是显然的. 下面只考虑的情形，由得 ， ， ， 利用Hlder不等式得 . 对上式两端取次方，在上积分后，取次方，即得结果.3）积分形式的闵可夫斯基不等式：如果，对于，有，并且.证明：
11、当时，由绝对值的三角不等式关系，显然成立. 当时，我们应用Hlder不等式积分形式的技巧来证明. 当时， ， 因此，由（2.2）Hlder不等式的积分形式我们有 即 ， 即 . 证毕.注：当时，上述等号成立当且仅当存在两个不全为零的非负数，使得；这里, 应用积分形式的Hlder不等式证明了上述形式的不等式. 致谢 本文是在张映辉博士的指导和帮助下完成的, 在此对张老师表示衷心的感谢!参考文献1 王松桂，贾忠贞. 矩阵论中不等式M. 合肥：安徽教育出版社，1994.2 HARDY G H，LITTLEWOOD J E，POLYA G. InequalitiesM.zed. Londan:Camb
12、ridge Univ Press, 1952.3 杨虎. Kantorovieh不等式的延拓与均方误差比效率J. 应用数学, 1998,4:85-90.4 Wang Sonsgui，Yang HuKantorovichtpye inequalities and the measures of inefficiency of the GLSEJ.Acta Mathematicae Applicatae Sinica.1989,5:372-381.5 翟连林著名不等式M北京：中国物资出版社, 19946 胡克. 解析不等式的若干问题M（第二版），武汉大学出版社，2007.7 胡雁军，李育生，邓聚成.数学分析中的证题方法与难题选解M.河南大学出版社, 1985.8 D.S密特利诺维奇著. 张小萍，王龙译. 解析不等式M. 科学出版社, 1987.9 刘玉琏，杨奎元，吕凤编，数学分析讲义指导书M，高等教育出版社, 1985.10 沈變昌，邵品琮编著. 数学分析纵横谈M. 北京大学出版社, 1991.11 王声望，郑维行. 实变函数与泛函分析概要：第1册M.3版. 北京：高等教育出版社, 2005:213-215.12 薛昌兴. 实变函数与泛函分析：下册M. 北京：高等教育出版社，1993:19-25.第 14 页 共 14 页