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1、应用多元统计分析,第八章习题解答,2,第八章 因子分析,3,第八章 因子分析,4,第八章 因子分析,特殊因子(1, 2,p)的协差阵D为：,5,第八章 因子分析,6,第八章 因子分析,7,第八章 因子分析,8,第八章 因子分析,9,第八章 因子分析,10,第八章 因子分析,(3) 试求误差平方和Q(m)0.1的主成分解. 因Q(2)=0.073310.1，故m=2的主成分解满足要求.,或者利用习题8-4的结果:,11,第八章 因子分析,8-3 验证下列矩阵关系式(A为pm阵),解：利用分块矩阵求逆公式求以下分块矩阵的逆：,利用附录中分块求逆的二个公式(4.1)和(4.2)有：,12,第八章 因
2、子分析,由逆矩阵的对应块相等，即得：,13,第八章 因子分析,把B221和B112式代入以上各式，可得：,由第三式和第二式即得,14,第八章 因子分析,8-4 证明公因子个数为m的主成分解，其误差平方和Q(m)满足以下不等式,其中ES-(AA+D)=(ij),A,D是因子模型的主成分估计.,解：设样本协差阵S有以下谱分解式：,为S的特征值，li为相应的标准特征向量。,15,第八章 因子分析,设A,D是因子模型的主成分估计,即,若记,则,16,第八章 因子分析,所以,因,17,第八章 因子分析,8-5 试比较主成分分析和因子分析的相同之处与不同点. 因子分析与主成分分析的不同点有: (1) 主成
3、分分析不能作为一个模型来描述,它只是通常的变量变换,而因子分析需要构造因子模型; (2) 主成分分析中主成分的个数和变量个数p相同,它是将一组具有相关关系的变量变换为一组互不相关的变量(注意应用主成分分析解决实际问题时,一般只选取前m(mp)个主成分),而因子分析的目的是要用尽可能少的公共因子,以便构造一个结构简单的因子模型;,18,第八章 因子分析,(3) 主成分分析是将主成分表示为原变量的线性组合,而因子分析是将原始变量表示为公因子和特殊因子的线性组合,用假设的公因子来“解释”相关阵的内部依赖关系. 这两种分析方法又有一定的联系.当估计方法采用主成分法,因子载荷阵A与主成分的系数相差一个倍数;因子得分与主成分得分也仅相差一个常数.这种情况下可把因子分析看成主成分分析的推广和发展. 这两种方法都是降维的统计方法,它们都可用来对样品或变量进行分类.,