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1、华侨大学2010届本科毕业设计论文 摘要：随着计算机技术的发展，求解麦克斯韦方程的数值解方法也越来越多。自1966年Yee首次提出时域有限差分(FDTD)方法后，这一方法得到迅速发展及广泛应用。本文简要回顾了FDTD的发展历史及其基本要点与应用，并以一维麦克斯韦方程为例进行求解。在此过程中，本文先对麦克斯韦方程进行差分、归一化处理，并对由此得出的迭代方程建立空间模型。最后用matlab进行仿真，得到其相关波形图与系数，并与理论计算值进行比较。仿真结果与理论计算值较为符合，这也验证了这一方法的正确性与实际可操作性。关键词： FDTD PML 时域ABSTRACT With the develop
2、ment of computer technology,there is more numerical solution method to solve Maxwells equations .Since 1966 Yee proposed FDTD method ,this method has been developed rapidly.This paper briefly reviews the development history and application of FDTD.And solved it with on e-dimensional maxwell equation
3、 .During this progress,this paper first to put maxwell equations normalized and to differentiation, so that build the iterative equation to space model. At last simulate via Matlab to get relevant waveform and coefficient,and compared with the theoretical value.Simulation results aimost match the th
4、eoretical calculation, this also proved that this method is correct and practical operability.Key words: FDTD PML Time Domain目 录引言4第一章 FDTD的发展和应用51.1 FDTD的历史回顾51.2 FDTD的意义61.3 FDTD的应用7第二章 一维时域有限差分方法82.1 麦克斯韦方程的差分与归一化处理82.2 时间离散间隔的稳定性要求112.3 Courant稳定性条件122.4 差分与麦克斯韦方程归一化结合14第三章 一维时域有限差分方法应用仿真153.1 测
5、试PML153.2 应用举例17第四章 结语24致谢25参考文献：26英文参考资料原文及翻译：27引 言自1873年麦克斯韦建立电磁场基本方程以来，电磁波理论和应用的发展已经有一百多年的历史。1966年Yee首次提出时域有限差分（FDTD）方法后，利用这一方法求解麦克斯韦方程的数值解方法得到了广泛的应用与发展。众所周知，如1987年Kasher和Yee提出亚网格技术、1992年Maloney和Smith提出将阻抗边界条件应用于FDTD、1994年Berenger提出构成完全匹配层理论这一切，使得这一方法更加的完善。同时，FDTD在电磁研究的多个领域中有广泛应用，如在辐射天线的分析，周期结构分析
6、、微光学元器件中光的传播和衍射特性等中均有重要作用。近年来计算机技术的迅猛发展，更是给这一方法的运用带来了无限的潜力和发展空间。本文首先简要回顾了FDTD的发展历史，并介绍了其在相关领域的运用。然后，对麦克斯韦方程进行、差分归一化处理，从而得到迭代方程。根据空间色散和时间色散的方程得出了运用到算法中的时、空步长。最后建立了一维的算例模型，由matlab进行仿真，得到相关波形和数据，并与理论值进行分析比较，从中体现该方法的准确性。第一章 FDTD的发展和应用1.1 FDTD的历史回顾FDTD方法是求解Maxwell微分方程的直接时域方法，经过四十多年的发展已成为一种成熟的数值方法，应用范围也越来
7、越广，近十几年来，每年发表的论文几乎按指数增长。下面简单回顾FDTD的发展：Yee1966年首先提出麦克斯韦方程的差分离散方式，并用来处理电磁脉冲的传播和反射问题。Taylor等于1969年用FDTD分析非均匀介质提的电磁散射，提出用吸收边界来吸收外向行波，吸收边界采用的是简单插值方法。Merewether1971年用FDTD计算旋转体上由入射脉冲所引起的感生电流，采用了辐射边界条件。Taflove等于1975年用FDTD计算非均匀介质在正弦波入射时的时谐场（稳态）电磁散射，讨论了时谐场情况的近远场外推，以及数值稳定性条件。Holland1977年和Kunz1978年用FDTD计算F117飞机
8、这种复杂目标的电磁脉冲散射。Mur1981年提出在计算区域截断边界处的一阶和二阶吸收边界条件及其在FDTD的离散形式。这事FDTD得一种十分有效的吸收边界条件，获得广泛应用。Umashankar和Taflove1982年用FDTD计算目标雷达散射截面(RCS)，提出将FDTD区划分成总场区和散射场区，并提出链接边界条件，是散射计算中入射波设置的一种简便有效方法。Umashankar和Taflove等于1987、1988年用FDTD分析了自由空间及腔体中导线上的感应电流，讨论了FDTD中细导线的处理方法。Choi和Hoefer1986年用FDTD分析了波导腔体的谐振问题，计算其谐振频率。Kash
9、er和Yee1987年年提出亚网格技术，Mei等1984年提出共形网格技术。Zhang和Mei1988nian ,Liang等1989年，Gwarek1988年，Sheen和Kong等1990年用FDTD分析计算了波导、同轴线、微带天线及微带不连续性问题，得到相应的阻抗、传播常数及S参数。Malongey等1990年用圆柱坐标下FDTD分析了柱状和锥状天线位于理想道题平面上的辐射，得到宽带天线的输入阻抗及瞬态辐射场的直观可视化显示。Sullivan1990年用FDTD计算6070MHz电磁波照射下投射到人体内部的电磁场，研究了生物电磁学问题。Britt1989年首次给出时域远场结果，但论文未给
10、出外推具体方法；随后Luebbers等1992年提出二维FDTD时域近远场外推方法。Larson1989年，Perlik和Taflove等1989年提出研究适用于FDTD的专用计算机，以便计算电磁波与电大尺寸物体的相互作用。Lubbers和Hunsberger等1990年研究了色散介质在FDTD中的处理方法。Maloney和Smith1992年提出将阻抗边界条件应用于FDTD。Sui等1992年提出用二维FDTD计算有集中参数元件的数字和微波电路模型，包括、电阻、电容、电感、二极管、晶体管等元件。Berenger1994,1996年提出将麦克斯韦方程扩展为场分量分裂形式，并构成完全匹配层（PM
11、L），这是一种全新的吸收边界；Sacks等1995年和Gedney1996年提出各向异性介质的PML，其支配方程式各向异性介质麦克斯韦方程；在FDTD计算中这两种PML作为吸收边界已得到广泛应用。Prather和Shi1999年分析轴对称衍射透镜，给出波长为1微米平面波和高斯波入射时，直径102.47微米衍射透镜的广播传播特性。1.2 FDTD的意义自1873年麦克斯韦建立电磁场基本方程以来，电磁波理论和应用的发展已经有一百多年的历史。目前，电磁波的研究已深入到各个领域，应用广泛。电磁波在实际环境中的传播过程十分复杂，例如各种复杂目标的散射，复杂结构天线的辐射，在波导和微带结构中的传播，实际通
12、信中城市环境、复杂地形及海面对电磁波传播的影响，等等。具体实际地研究电磁波的特性有着十分重要的意义。实验和理论分析计算是相辅相成的重要手段。分析计算途径需要结合实际环境电磁参数求解麦克斯韦方程边值问题，通常只有一些经典问题又解析解。应当说，解析解具有重要指导性意义。然而，由于实际环境的复杂性，往往需要通过数值解得到具体环境下的电磁波特性。随着计算机技术的发展，已经提出求解麦克斯韦方程的许多有意义的数值解方法。如矩量法MoM、有限元发FEM、边界元法BEM以及时域有限差分方法FDTD等。FDTD方法求解麦克斯韦微分方程的直接时域方法。在计算中将空间某一样本点的电场（或磁场）与周围格点的磁场（或电
13、场）直接相关联，且介质参数已赋值给空间每一个元胞，因此这一方法可以处理复杂形状目标和非均匀直接物体的电磁散射、辐射等问题。同时，FDTD的随时间推进可以方便地给出电磁场的时间演化过程，在计算机上以伪彩色方式显示，这种电磁场可视化结果清楚地显示了屋里过程，便于分析和设计。1.3 FDTD的应用FDTD在电磁研究的多个领域获得广泛应用，其中有：辐射天线的分析，例如柱状和锥状天线，接地导体附近的天线，喇叭天线，微带天线，手机天线，缝隙天线，螺旋天线以及天线列阵等。微波器件和导行波结构的研究，例如波导，介质波导，微带传输，波导中的孔缝耦合，铁氧体器件，加载谐振腔等。散射和雷达截面计算，例如导体、介质物
14、体和具体有复杂结构及形状物体（导弹，飞机）的雷达截面RCS，导弹导引头的电磁波透入分布，人体对电磁波的吸收，地下物体散射等。周期结构分析，例如频率选择表面、光栅传输特性、周期阵列天线，以及随机粗糙表面等。电子封装，电磁兼容分析，例如多线传输及高密度封装时的数字信号传输，分析环境和结构对元器件和系统电磁参数及性能的影响。核电磁脉冲的传播和散射，在地面的反射及对电缆传输的干扰。微光学元器件中光的传播和衍射特性。在公开刊物上提及的若干FDTD程序有：FDTDA（1993年）：在文献中给出的三维散射通用程序，源程序用FORTRAN语言编写。XFDTD（1996年）：具有多种功能，包含有瞬态近远场外推，
15、亚网格技术，介质可以是有耗介质、磁化铁氧体；可用以分析生物体对电磁波吸收特性SAR，螺旋机微带天线，天线阻抗的频率特性，移动电话场强分布，细导线及复杂物体电磁散射和RCS计算。EMA3D（1997年）：分析核电磁脉冲(NEMP)及雷电耦合，高功率微波，宽带RCS，天线，屏蔽特性，印刷电路板的电磁兼容；软件具有多种边界条件，亚网格剖析，适用于有耗介质，平面波源及电压电流源。AutoMESH(1999nian ):可以自动产生三维非均匀正交网格以描写复杂结构物体，并给出二维分层显示；应用Visual BASIC语言，结合FDTD可以计算微带滤波器，微带天线传输及辐射特性等。A Conformal
16、FDTD Software Package(2000年)：用来模拟射频天线，微带电路元件；应用非均匀及共形网格，PML吸收边界，近远场变换，可处理曲面和有边缘物体；使用Visual BASIC和C+语言。第二章 一维时域有限差分方法2.1 麦克斯韦方程的差分与归一化处理 2.1.1 一维麦克斯韦方程由麦克斯韦旋度方程： (2-1) (2-2)其中,为电场强度，单位为伏特/;为电通量密度，单位为库仑/；为磁场强度，单位为安培/米；为磁通量密度，单位韦伯/;为电流密度，单位为安培/;为磁流密度，单位为伏特/。在各项同性线性介质中的本构关系为:, ， ， 。 （2-3）其中表示介质介电系数，单位为F
17、/m；表示磁导系数，单位为H/m；表示电导率，单位为S/m；表示磁导率，单位为。和分别为介质的电损耗和磁损耗。真空中，二者皆为0。同时有：故而在直角坐标系中，式（2-1）、（2-2）可写为： （2-4） （2-5）假设电场极化方向为x，磁场极化方向为y，波传播方向为z。所有物理量在x、y平面不变，而仅仅为z的函数，故而方程（2-4）、（2-5）可化为： （2-6） （2-7）2.1.2 时间和空间的离散核心思想：将计算区域的空间和时间进行离散。空间：例如：三维空间划分为立方块，二维空间划分为正方柱，一维空间划分为平面板。划分的区域非常小，以至于可以认为场量在该区域是不变的。时间：将电磁波的与目
18、标的作用时间划分为很多时间小段，可以认为场量在该时间段内是不变的。时空的标定：空假设间的划分长度为s，一维情况下用ks表示每个场点的空间位置，并简记为k。例如:E (k)=E (ks)表示k位置的电场时间的划分长度为t，即，利用nt表示某个时刻，并简记为n。(书写时写在上标位置): 表示A的x分量在(n+0.5)t时刻、(k+0.5)s位置的值2.1.3 一维FDTD方法中的离散原则空间序列：时间序列：如图所示：电场：空间位置位于整空间步长，时间位于整时间步长。磁场：空间位置位于半空间步长，时间位于半时间步长。故综合表示，电场和磁场分别可表示型如：、2.1.4 方程的差分差分：微分的近似计算但
19、是作为计算机计算，由于无法做到 这一理想条件，故：大体来看，这三种差分区别不大。但实际上，前面两个的误差为一阶小量，而第三个为二阶小量，实际应用中，采用第三种差分方法(中心差分)。上述结论可用Taloy定理证明。2.2 时间离散间隔的稳定性要求首先考察场随时间变化时离散对时间间隔的要求。上述麦克斯韦方程是场量对于时间一阶导数的方程组。考虑时谐场的情形，即： （2-8）这一稳态解是下面一阶微分方程的解： （2-9） 用差分近似代替上市左端的一阶导数，上面的方程可变为： （2-10）式中，为时间间隔。当足够小时，定义数字增长因子q为： （2-11）代入式（2-10）得： （2-12）上式的解为：
20、（2-13）另一方面，如果差分方程（2-10）的解趋于解析解（2-13），则，于是数值增长因子q应为： （2-14）弱介质为有耗，（2-8）式中频率将成为复数。上式表明数值稳定性要求在时间步足够小时，增长因子。根据（2-14）式，满足的充分条件为： （2-15）由于，T为周期，上式又可以写成： （2-16）实际上这不是很苛刻的要求。在以下的讨论中将用到这一关系。2.3 Courant稳定性条件从麦克斯韦方程可导出电磁场任意直角分量均应满足其次方程： （2-17）考虑平面波的解，即： （2-18）采用有限差分近似，即（2-17）式中的二阶导数近似为： （2-19）将（2-18）代入上式得： （2
21、-20）（2-17）式中其余两项二阶导数的差分近似有类似形式，因而波动方程（2-18）的离散式为： （2-21）其中为介质中的光速。这一等式给出波动方程离散后平面波（2-17）式中波矢量与频率w之间应满足关系式，即色散关系，上式又可以写为： （2-22）上式中的最后不等式关系应用了（3-1-8）式。上式对任何均成立的充分条件是： （2-23）亦即: (2-23)上式给出了空间和时间离散间隔之间应当满足的关系，又称为Courant稳定条件。以下是几个特殊情况下Courant条件的具体形式;(1) 三维情况的立方体元胞，即取时，（2-23）式有更简单的形式：、 （2-24）（2）对二维情况，（3-
22、2-8）式变为: (2-25)若，上式化为: (2-26)(2-26)和 (2-27)式表明时间间隔必须小于波以光速通过Yee元胞对角线长度的1/3(情况)或1/2（二维情况）。通常取 ，这样可以保证对于一维、二维、三维情况都适用。2.4 差分与麦克斯韦方程归一化结合原则上说，空间步长和时间步长越小越好。实际上，太小的步长会导致计算速度过慢，内存占用较多。常用的设定为：其中：为计算区域中的最小波长由于在非铁磁媒质中，。令：， 方程场量的迭代量级不同(电场/磁场=120)，迭代过程容易产生误差，为此进行归一化处理，即将H作为整体进行迭代： 故而，在上述条件限制下，方程（2-6）、（2-7）可化为
23、： （2-27） （2-28）其中， ，。且在无电损耗时：第三章 一维时域有限差分方法应用仿真3.1 测试PML空间模型如上图所示。在自由空间两端设置PML(perfectl matched layer)层，然后取一点为入射点，在a1点提取时域波形。然后去掉PML层，延长传播空间，以防止反射波干扰，在a2=a1点提取时域波形。这样可以提取到反射波形，从而得知PML的吸收效果。因此，设置空间计算区域为0-1600，运行时间为2000，空间步长时间步长。由于计算频段为宽频段，故应该采用时域波形(不能采用时谐波)。这里可采用Gauss脉冲：其中w为脉冲宽度，w=40, 为波的空间入射位置。=875。
24、在空间两端各设置8层的PML层。在空间1150位置提取波形。其结果如下： （1）入射波和反射波的叠加(2)入射波(3)反射波 （1）图为两端添加PML层后，提取1150点的波形图。该波形图为入射波和从PML层反射回来的波形叠加而成。(2)图是空间两端未添加PML层，提取的1150的波形图。(3)图为PML层反射回来的波形图，有此关系：反射波=入射波与反射波叠加-入射波。通过(3)图可以看出，反射波非常小，其峰值只有，因此可以判定PML层具有良好的吸收效果。3.2 应用举例为了进一步验证PML层的吸收效果和计算相关条件下的反射和透射系数，本文以加入介质板和指定部分空间区域电导率为1进行应用举例。
25、3.2.1 加入介质板为了进一步验证PML层的吸收效果，分析相关系数，因此在空间上加入介质板进行仿真。其空间模型如上图所示。介质板设立于空间位置1200-1259之间，共60层，9cm，其中er=4。同样，除在点1150提取波形，在点1400进行透射波形的提取。相关仿真结果如下：（4）反射波及其频谱(5)透射波及其频谱（6）入射波及其频谱由： 反射系数=反射波频谱/入射波； 透射系数=透射波频谱/入射波；（7）反射、透射系数仿真结果对于反射系数，如图（7）随着频率的增加，误差也会增大。因为当频率增加，波长就会减小，对于波来说，相比之前的网格便“变粗”了，故而反射系数增大。而反射系数增大，透射系
26、数便随之减小的。这种变化趋势可以由图（7)直观的看出来。同时，本文也计算了其理论值，其结果如下所示：（8）反射、透射系数理论值 由图（8)可知，反射系数理论值在0-0.6之间上下波动，最大值为0.6。而透射系数理论值在0.8-1.0之间上下波动，最大值为1.0。因此，将仿真值与理论值进行比较可以发现，仿真结果与计算结果是较为符合的。且其图形变化趋势也是较为符合实际情况。为了有一个更直观的感受，本文截取了波在传播时的部分空间快照（ds=0.003m）： （9）波在与介质板作用时的空间快照3.2.2 空间部分电导率为1在空间1200-1259之间取电导率为1，进行仿真，在1150出提取反射波。其结
27、果如下：（10）入射波及其频谱（11）反射波及其频谱 同样，本文也截取了波在传播到电导率为1的空间区域时的部分空间快照（ds=0.003m）： （12）波与电导率为1的空间区域相互作用空间快照 结语本文通过推导麦克斯韦一维方程，并建立模型，由matlab进行仿真测试。首先，在对PML层仿真的测试结果表明，PML层设定较为合理，吸收效果良好。其次，本文在空间以加入介质板和部分区域取电导率为1两个应用进行仿真验证。仿真后的波形图较好地体现了波的传播情况。同时，仿真所得到的透射系数和反射系数与理论值较为接近，很好地体现了FDTD方法的优越性与便捷性。 致 谢在毕业设计即将完成之际，我的心情无法平静。
28、因为毕业设计的完成，也便意味着四年的大学生活即将结束，激动之中不乏感伤。特别是毕业设计，一路走来有喜有悲，可谓风风雨雨，在这其中我有太多的人需要感谢！我要感谢的第一个人，便是我的指导老师汤炜博士。汤老师治学严谨，学识渊博，工作认真负责。从一开始的选题、搜集材料，到推导公式、编写程序，再到撰写论文，汤老师对我的指导可以说是严谨而不乏亲切。特别是我的编程基础较为薄弱，虽然自己反反复复在同一个问题上绕了很久，而汤老师仍然是以一个十分平和态度对我进行相关指导，没有丝毫的怨言，这点令我既对自己知识基础薄弱而悔恨，又为汤老师诲人不倦的精神所感动。同时，他也让我感受到了学习的重要性，为我今后的不断学习添加了
29、新的动力。可以说在毕业设计的整个过程中，每一个环节，我无不得到汤老师的悉心指导和帮助。在此，我要再一次的对汤老师表示由衷的感谢！同时，我也要感谢我的同班同学，在我遇到困难和不解之时，他们总是能给我无私的帮助和指导。如今面临分别之际，这种感激之情更是无法言表。最后，我要感谢我的家人，四年来他们为我一直在默默地奉献着。如果没有他们的支持，我不可能有面对困难勇气。在毕业设计遇到困难，心中烦闷时，家人的鼓励给了我新的勇气和力量，是他们的支持才有了我的成功！再一次感谢所有一直在关心、支持我的老师、朋友、家人！参 考 文 献1葛德彪,闫玉波.电磁波时域有限差分方法M.西安：电子科技大学出版社，2001.2
30、廖承恩.微波技术基础M. 西安：电子科技大学出版社，2007.3谢处方，饶克勤.电磁场与电磁波M.北京：高等教育出版社,2005.4高西全，丁玉美.数字信号处理M.西安：电子科技大学出版社,2009.5张亮，寇晓艳.FDTD算法的Matlab语言实现J. 延安大学学报(自然科学版),2009(02).6赵嘉.基于MATLAB的FDTD算法编程J.广西工学院学报，2006（04）.7郑木生.基于Matlab语言实现电磁场中的FDTD算法编程J.现代电子技术，2005（08）.8郭春波.时域有限差分法的Matlab 仿真J.现代电子技术，2003（11）.9田甜. 用Matlab语言实现电磁场中F
31、DTD法编程J.电磁场与微波，2008（06）.10刘益成，孙祥娥.数字信号处理M.北京：电子工业出版社，2004.11冯林，杨显清，王园.电磁场与电磁波.北京：机械工业出版社，2004.12高本庆.时域有限差分方法M.北京：国防工业出版社，1995.英文参考资料原文及翻译：An Interactive Demonstration of ElectromagneticWave Propagation Using Time-Domain FiniteDifkrencesAbstract：The finite difference time-domain (FDTD) method is one
32、of the most widely used computational methods in electromagnetics.Using FDTD, Maxwells equations are solved directly in the time domain via finite differences and time stepping. The basic approach is relatively easy to understand and is an alternative to the more usual frequency-domain approaches. I
33、n order to take advantage of this, an interactive personal computer program based on FDTD has been developed. The program directly solves Maxwells equations via finite differences. The solution is for one dimension, corresponding to normal incidence propagation through a planar stratified medium. Th
34、e program displays an electromagnetic pulse as it propagates through the medium. Most textbooks devote very little space to time-domain solutions, but instead emphasize a complex time-harmonic approach. While there are good reasons for this, a timedomain demonstration provides a much more intuitive
35、view of wave propagation. While the program can be used as a visual “bounce diagram” movie, it is much more versatile. Since Maxwells equations are solved directly, the reflected and transmitted pulse amplitudes demonstrate how the reflection and transmission coefficients determine reflected and tra
36、nsmitted wave amplitudes. Since lossy material layers can he included, frequency dispersion can be demonstrated. If the students background permits, an FFT can be used to transform the time domain results to the frequency domain to obtain, for example, complex reflection and transmission coefficient
37、s for a dielectric slab for comparison to results obtained via frequency domain transmission line techniques. At the graduate level, the program can be used to demonstrate the FDTD technique as a powerful tool for solving real-world electromagnetic scattering and coupling problems.I. INTRODUCTIONCL
38、ASSROOM demonstrations using personal com- puters (PCs) are considered to be very useful teaching tools. Even more useful are interactive PC programs which are controlled by the student and which illustrate the phenomena being considered. Programs which illustrate pulses traveling back and forth on
39、a transmission line, Manuscript received November 30, 1988; revised April 18, 1989. R. J. Luebbers and K. S. Kunz are with the Department of Electrical Engineering, Pennsylvania State University, University Park. PA 16802. K. A. Chamberlin is with the Department of Electrical and Computer Engineerin
40、g, University of New Hampshire, Durham, NH 03824. IEEE Log Number 8930378. “bounce diagram” movies, are easy to develop and readily available. However, this type of demonstration is quite limited. They assume pulses with zero rise time which nevertheless propagate without dispersion, definitely not
41、illustrating actual phenomena. The approach presented in this paper involves a PC demonstration program which is based on an actual solution of Maxwells equations. The calculations are performed via the finite difference time-domain (FDTD) technique 11, which actually solves Maxwells differential eq
42、uations via finite differences. To simplify the graphical displays, the geometry has been made one dimensional, so that the solution is actually for a plane wave normally propagating through a planar stratified medium. Each layer may have its permittivity, permeability, and conductivity specified, a
43、lthough to provide reasonable menu choices, the geometries which can be specified interactively are limited. Even at the undergraduate level, the FDTD formulation can be presented, and in fact for most students, it is more readily understood than the usual time-harmonic approach. This lets the stude
44、nts understand the theoretical basis for the graphics displayed and the menu choices available. While the program can be used as a visual “bouncediagram” movie, it is much more versatile. Since Maxwells equations are solved directly, the reflected and transmitted pulse amplitudes demonstrate how the reflection and transmission coefficients determine refl