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1、一、数列的概念 二、数列的极限,第一节 数列的极限,一、数列的概念,定义2.1 按一定顺序排列起来的无穷多个数,称为数列,简记为 .数列中的每个数称为数列的项. 第n项 称为数列通项或一般项. 中的n称为数列的下标.,例1 数列,例2,例3 数列,例4 数列,数列 可以理解为正整数n的函数，,因此，又可以称数列为整标函数，其定义域是正整数集.,单调增加的；,单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.,定义2.2 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有,成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的.,容易验证例1、例2、例3数列是有界的，的和例4中数列是无界的.,在几何上，通常用数轴上的点列
2、 来表示数列 .,这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列 是自左向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间M，M之内，表示无界数列的点列，无论区间M，M多么长，总有落在该区间之外的点.,二、数列的极限,我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限思想的体现.,数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.,例如,对于 来说，当n越来越大时，没有确定的变化趋势.,当n“充分大”时， “无限接近于1”;,的图形,当n“充分大时”， “无限接近于0”.,定义2.3 设有数列 和常数a，如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总存在正整数N
3、，使得当nN时，有 那么就称数列 以a为极限，或者称数列 收敛于a，记作 或 如果这样的常数a不存在，就说数列 没有极限，可表示为 或者说数列 是发散的.,数列收敛于a的几何意义如下：,当我们把 看成是数轴上的点列时，数列 收敛于a，就是对点a 的任何一个邻域 ，都存在一个序号N，使得点列 的第N个点 以后的所有点 都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a的这个邻域之内，或者说至多有N个点 落在区间 之外.,当我们把数列 看成是n的整标函数，即 其图形是在平面直角坐标系中的二维点列： 数列 收敛于a，就是对于任意给定的正数 (无论其多么小)，总存在正整数N，当nN时，二维点
4、都在直线 与直线 形成的带状域之内，一般来说， 越小( 带宽小)，N越大.,例5 用定义验证,证 对于任意给定的0,欲使,只需,因此取正整数,则当nN时,都有,从而知,当 时, 以0为极限,即,证 当q=0时，等式显然成立.,当0|q|1时，对任意给定的正数 (不妨设 1).,例6,证 对于任意给定的正数 (不妨设0 1)，由于,例7,定理2.1 (收敛数列的有界性) 收敛数列必有界,即如果,证 设数列 收敛，并且以a为极限. 根据数列极限的定义，对于 ，存在着正整数N，,使得当nN时，都有,则存在M0,使得对于一切n,都有,取,则对于一切n,都有,由定理2.1知，无界数列一定是发散的.,注意: 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例如，数列 是有界的，而 却是发散数列.,