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1、中学学科网人教大纲版2010届数学总复习 第九章 排列、组合与二项式定理,整体感知：,本章考点列举如下：分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列、排 列数公式、组合、组合数公式、组合数的两个性质公式、二项式定理、 二项展开式。 高考命题趋势：高考命题以基本概念为考察对象，排列、组合、二项式 定理以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中占有特殊的地位， 他们既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计等高等数学的 基础。因此排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附 加条件的应用问题。二项式定理与高等数学的知识有关，其考查常有两 类问题：一是直接运用通项公式求特定项的系数和与系数有
2、关的问题； 第二类需要用转化化归为二项式定理来处理的问题。,热点点击,排列组合应用问题（属传统知识）每年高考都有1至2道小题，试题难度中档；二项式定理有的年份（ 2009年安徽高考就压根没有涉及）高考会有一道小题，着重考查二项式定理展开式的通项应用或系数的性质，试题难度较小,高考复习建议,排列组合应用题所取的背景材料是很广泛的，主要以实际生活材料为命题背景，密切联系实际、应用性较强，其热点问题类型主要有排列数字、组数问题，分组分配问题，集合计数问题，至多至少问题，几何图形问题，涂色问题等，常常是有限制条件的排列组合混合，而以上问题常考常新。因此关键是在理解两个计数原理的基础上，掌握一些常见的解
3、题方法和解题策略。 二项式定理的复习要重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等弄清原理，熟练掌握，特别是赋值法要有足够的重视。在处理三项式或者多项展开式的问题时，可运用转化的思想将其中的某些项作为一个整体，使用二项式定理处理。 二项式定理考查的热点是常数项、有理项、指定某项的系数问题，以及一些代数式的求值问题。其中指定某项系数问题常考常新，并且有好几年出现了两个二项式相乘展开式中指定系数问题，在复习过程中应引起足够的重视。 对于一些容易混淆的概念，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中各项的系数等，应注意弄清它们之间的内在联系与区别.特别要重视数
4、学思想方法的训练，如分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想、对称思想、集合思想等等，同时还要注意发散思想、逆向思想的培养和“数学建模”方法的归纳和应用。 复习中，对于排列组合应用题，注意从不同的角度去进行求解，以开阔思维，提高解题能力. 2010年高考中，本章的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分 内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型，以小题的形式直接考查。,第1讲 排列与组合,知识精讲,基础梳理,1、加法原理：做一件事，完成它可以有类办法，第一类办法有种 不同的方法，第二类办法有 种不同
5、的方法，第n类办法有 种不同的方法，那么完成这件事共有种 不同的方法。 2、乘法原理：做一件事，完成它需要分成步，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。,排列和组合的区别和联系,高考再现,排位问题,【例1 】 4个男同学，3个女同学站成一排. (1) 3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2) 任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？ (3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？ (4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？ (5) 女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
6、(3个女生身高互不相等) (6)学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？,(1) 3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？,（男生）,（女生）,(1) 3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？,【解析】3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有 种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有 种排法，由乘法原理，有 种不同排法.,(1) 3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？,(2) 任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？,【解析】先将男生排好, 共有 种排法, 再在这4个男生的中间及两头的5
7、个空档中插入3个女生有 种方案, 故符合条件的排法共有 种不同排法.,(2) 任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？,(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？,(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？,【解析】甲、乙2人先排好，有 种排法,再从余下5人中选3个排在甲、乙2人中间, 有 种排法, 这时把已排好的5人视为一个整体, 与最后剩下的2人再排, 又有 种排法，这样总共有 种不同排法.,(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？,(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？,【解析】 安排甲、乙和丙3人以外的
8、其他4人，有 种排法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好, 有 种排法, 最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有 种排法, 这样, 总共有 种不同排法.,(5) 女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等),【解析】从7个位置中选出4个位置把男生安排好，则有 种方法，然后再在余下的3个空位置中安排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法，这样一共有 种不同排法。,(6)学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？,【解析】学生甲不站在排头，则他可能站 在中间或排尾，故可分两类，一类是甲站在中间有5种站法，此时乙有5种站法，
9、其他5名学生站在五个不同的位置上有 种站法，故共有 种 站法。第二类是甲站在排尾，此时乙有 6种站法，其他5名同学站在五个不同的 位置上有 种，由加法原理，故共有3720种站法。,(6)学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？,分组问题,【例2 】某高校为支援农村高中教育,拟定分某6名毕业生去某县的甲、乙、丙三所不同的农村高中任教。按以下要求分配各有多少种分法？ （1）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两名。 （2）分给甲、乙、丙三所学校，一校1名，一校2名，一校3名。 （3）分给甲、乙、丙三所学校，一校4名，另两所学校各1名。,（1）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两名。,【解析
10、】分三步：甲学校2名，有 种方法，乙学校2名有 种方法，丙学校2名，有 种方法，依据分步计数原理，所求不同方法数为 。,（2）分给甲、乙、丙三所学校，一校1名，一校2名，一校3名。,【解析】分两步：第一步，把6名毕业生分为三组，分别为一、二、三名，共有种方法;第二步，把他们分给甲、乙、丙三所学校 有种方法，依据分步计数原理，共有种方法。,(3)分给甲、乙、丙三所学校，一校4名，另两所学校各1名。,【解析】分三步：第一步，从6名毕业生中选取4名 有种方法； 第二步,分给甲、乙、丙三所学校中的一所 有种方法； 第三步：余下两名毕业生分给剩下的两所学校 有种方法； 由分步计数原理有种方法。,邮筒问题
11、,解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“信件”，能重复的元素看作“邮筒”，再利用乘法原理直接求解。,【例3 】2008年北京奥运会上，七名运动员争夺五项射击冠军，每项冠军只能由一人获得，则获得冠军的可能的种数有（ ） A. B. C D.,【例3 】2008年北京奥运会上，七名运动员争夺五项射击冠军，每项冠军只 能由一人获得，则获得冠军的可能的种数有（ ） A. B. C D.,【分析】因同一运动员可以同时夺得n项冠军，故运动员可重复排列，将七名运动员看作7个“邮筒”，五项冠军看作5个“信件”，每个“信件”有7种投放方法，由乘法原
12、理得 种。,【注】对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。,染色问题,【例4 】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种相同颜色的花，不同的栽种方法共有_种.(用数字作答),【解析】本题是一道涂色问题的应用题,可将不相邻的区域合并成涂同一颜色的区域，再用颜色进行排列；也可以根据条件分布涂色.,把不相邻的区域合并后，成为4个“大区域”，然后再把4种颜色对应全排列,1 24 35 6 1 24 36 5 1 25 36 4 1 25 46 3 1 2 35 46,共5种合并方法，
13、所以 种栽种方法.,方法一：,方法二：,先从区域1开始栽种，其方法有4种，则区域6有3种栽法，区域5有2种栽法，若区域4与区域6栽种同一种花，则区域2、3两块各有2种栽法，故总共有 43222=96 种；若若区域4与区域6不栽种同一种花，则区域2、3两块各有1种栽法，总共有 43211=24 种，所以一共有96+24=120种栽种方法。,方程的解问题,【例5 】方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？,【例5 】方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？,【解析】建立隔板模型： 将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的 11个“空挡”中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分法所得4
14、堆的各堆球的数目，即为a, b, c, d的一组正整数解，故原方程的正整数解的组数共有 种。因此方程a+b+c+d=12有165组正整数解。,放球问题,【例6】 将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同, 有多少种放法？,(1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？,【解析】（1）每个小球都等可能放入4个盒子中的任何一 个，将小球一个一个地放入盒子，共有 种放法。 （2）为全排列问题，共有 种放
15、法。,(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？,【解析】先将4个小球分为三组有种，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子有种 投放方法，故一共有 种投放方法。,(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同, 有多少种放法？,【解析】1个球的编号与盒子编号相同的选法有 种，当1个球与1个盒子的编号相同时,同局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有 种.,【点评】 1. 做排列组合应用题，首先要分清 问题的类型，是用基本计数原理，还是排列问题或是组合问题. 2.掌握常见的解法策略，常见策略有： 特殊元素（特殊位置）优先； 合理分类与合理分步； 先选后排；相邻问题捆绑法； 不相邻
16、问题插空法； 正难则反，等价转化法。,思悟小结,1、对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法： （1）直接法： （2）间接法； （3）一般先从特殊元素和特殊位置入手. 2、组合数公式有连乘和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数的性质常用于证明等式及合并组合数简化计算. 3、解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）. 4、解组合应用题时，应注意至少、至多、最多、恰好等词的含义. 5、各种与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.
17、本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用，把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。,教学点睛,1、弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于： （1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”； （2）分类
18、计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事. 2、排列与组合是两类特殊的计数问题，它还有一些较为独特的思考方法，应理解掌握.关于排列组合问题，大致有下面几种解法： 不附加条件的排列组合问题,大多用分类讨论的方法，注意分类不重不漏.,元素必须相邻,一般采用看作一个整体的方法. 元素不相邻, 采用插空法. 排列组合的混合型问题,交替使用两个原理. 间接法,把不合条件的排列数或组合数剔除掉. 穷举法,把符合条件的所有排列或组合一一写出来. 3、要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取（组合）后排列两个步骤进行. 4、熟练掌握组合数公式的两种形式.,