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1、,一、电子的Hamilton量,考虑电子（质量M，荷电-e）在均匀磁场B中运动,则相应的矢势A可取为,取磁场方向为z轴方向，则,6.3 Landau能级,电子的Hamilton量表示为,为方便，以下把电子沿z轴方向的自由运动分离出去， 集中讨论电子在xy平面中的运动，此时,为Larmor频率.,式(3)中,B(即wL)的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的相互作用,而B2项则为反磁项.在Zeeman效应中,由于电子局限在原子内部运动,在通常实验室所用磁场强度下,反磁项很小,常忽略不计.但对于自由电子,或磁场极强时,B2项就必须考虑.,二、电子的本征态和本征值,征态，即（采用平面极坐标）,代入能量
2、本征方程，可求得径向方程,电子的能量本征态可取为守恒量完全集 的共同本,可解出能量本征值E ( Landau能级 ),相应的能量本征函数（径向部分）为,F为合流超几何函数，nr表示径向波函数的节点数 (r0,除外).,三、能级的简并度,1. Landau能级简并度,二维各向同性谐振子 （自然频率为w0）,能级,简并度,均匀磁场中的电子,对于较低的几条能级的简并度分析,(6)式所示电子能量(0)可以看成电子在外磁场B中 感应而产生的磁矩mz与外磁场的相互作用-mz B，而,上式中的负号表示自由电子在受到外磁场作用时具有的 反磁矩。,2. Landau能级的简并度不因规范选择而异,对于Landau曾经选用过的规范,电子在xy平面内运动的Hamilton量为,满足,回旋角频率,相应的能量本征函数为,本征函数依赖于n和y0,而y0依赖于Px,可取(-,+)中一切实数值,但能级En不依赖于y0 .因而能级为无穷度简并.,有趣的现象,在均匀磁场中运动的电子,可以出现在无穷远处(y0 ),即为非束缚态(x方向为平面波，也是非束缚态),但电子的能级却是离散的,而通常一个二维非束缚态粒子的能量则是连续变化的.,Landau能级对于理解量子Hall相应很有用,后者 指在低温下二维电子气在强磁场中出现的Hall电阻(电导)率的量子化现象.,