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7.8 有理数域上的不可约多项式,第七章 多项式环,一、整系数多项式的可约性,定义1（本原多项式）：,例如：,本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。,是本原多项式。,引理（高斯定理）：,两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。,证：,设,都是本原多项式,现考虑,定理 1：,证：充分性显然。,下证必要性。,于是,故p=1，从而rs是一个整数。,C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题。,问题,定理 2（Eisenstein判别法）：,若存在素数p，使,证（反证法）：,若,在Q上可约,在Z上可约，,即存在：,使,其中,但两者不能同时成立。,即,现考虑,但p能整除其它项，故,由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不可约多项式。,例1,是Q上不可约多项式，p是素数。,在Q上是否可约？,解：分别取p=2, p=3即知。,解：取素数p即知。,Eisenstein是判别多项式在Q上不可约的充分条件，但不是必要条件。,注意：,例：,不可约，但找不到素数p。,也是本原的。,二、整系数多项式的有理根,定理 3：,设,则,证：,有一次因式,即,（2）设,是整数。,的有理根只能是 。,定理 4：,证：由,