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1、10.4 旋转曲面的面积 通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线 运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和 、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽 象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的 不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些 量可以通过定积分来求值呢？ 一 定积分的元素法(或微元法) 为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。 step1. 分割：任意划分a,b为n个小区间 step2. 近似： 微元法 step3. 求和： step4. 取极限： 分析：在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足： 1 。与区间a,b及a,b上连
2、续函数f(x)有关; 2 。对a,b具有可加性， 3 。 实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下： 微元法 step1:选取积分变量及积分 区间（如x属于a,b） step2:取微区间x,x+dx 求出 step3: 这种方法称为定积分的元素法或微元法。 微元法 一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件: 1 。Q是与某一变量x的变化区间a,b有关的量； 2 。Q对于a,b区间具有可加性； 3 。局部量 那么，将Q用积分来表达的步骤如下: step1. 选取积分变量及积分区间 step2. 取微区间x,x+dx，求出 step3. 微元法 求的步骤 分 割 用分点
3、将 区间分成 n 个小区间 以 直 线 代 曲 把在小区间上的局部量 用某个函数 f ( x) 在 的值与 之积代替 求 和 把局部量的近似值累加得到总量的近似值, 即 设量非均匀地分布 a ,b 上 由此可知，若某个非均匀量在区间 a,b 上满足两个条件： （1） 总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就 等于各个小区间上的局部量之和， （2）局部量可用近似表示 它们之间只相差一个 的高阶无穷小 不均匀量就可以用定积分来求得 这是建立所求量的积分式的基本方法 求 极 限 1 求微元 写出典型小区间 上的局部量 的近似值 这就是局部量的微元 2 求积分 即把微元 在区间 a , b 上 作积分表达式，求它在 a , b 上的定积分，即 这就是微元法 “无限积累”起来 ，相当于把 例 解:（图一） 弧长微元 x y o 旋转曲面的面积为 二 旋转曲面的面积 例3 解由对称性,有 由对称性,有 由对称性,有 三 小结