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1、提出问题 引入课题,向量共线定理,如果一个向量b与一个非零向量a共线时，那么向量b就可以用向量a唯一线性表示，即存在唯一一个实数，使得 b=a .,问题,如果向量c与向量a不共线时，那么向量c还能用向量a表示吗？,说明了在平面中以向量a为基准，凡是与向量a共线的向量都可以用a来线性表示，而且这种表示法唯一。,2.3.1平面向量基本定理,实验感知 形成定理,1.观察实验,如图：我们先来看一看一个物理实验，用一个力F将物体拉到斜面顶端上去，力F是怎样作用于物体的呢？,这就是说向量F与向量F1，F2不共线时它既不能用F1单独表示也不能用F2单独表示而只能由F1与F2共同表示。,已知向量e1与e2不共
2、线，作向量a=3 e1+2 e2,力F被分解为水平方向与竖直方向两个力，也就是说 F=F1+F2,2.动手操作,也就是说向量e1与e2的系数是确定的，这种表示法的唯一性就是有序数对（6，4）的确定性！,有且只有,“只有”即这种表示法唯一。,这一种表示方法；,（1）这个同学作法为以 ，根据平行四边形法则得到 = 3e1+2e2。即向量 可以用e1与e2线性表示；,这就是说如果选定了 这两个不共线的向量为基准，那么向量,“有”即向量 能够用 线性表示，,延长OC到点D，使得CD=OC，向量 可以用e1与e2线性表示吗？,图1,图2,图3,图4,图5,图6,（2）刚才同学们作的这个向量 正好在 内，
3、如果在 外呢？,想一想，会有哪些情况？,综合起来向量与向量的位置关系共有6种。如下图,图2,作 的相反向量 ，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于OA的直线，与直线OB交于点N。由向量的线性运算性质可知，存在实数m,n使得 令 由于 ，所以a= 。,每一种情况向量a都能够用e1与e2线性表示吗,当任意向量 在角 外，不妨设为图2这种情形,还是构造平行四边形，用加法的平行四边形法则来求。那么3，4这两种情形呢？,还有5与6这两种共线的情况呢？,零向量也能用e1与e2线性表示吗？怎么表示？,（3）这么说在以向量 所确定的平面中任意一个向量都能够用 唯一地线性表示,如果e
4、1与e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 a 有且只有一对有序 实数1、2，使得 a=1e1+2e2,平面向量基本定理：,开放探究 深化认知,1.从文字上来看有哪些关键字和词要注意？,e1与e2在同一平面内,e1与e2不共线,向量a是“任意的”,这里向量a的任意性其实质体现了一种化归的思想和方法，它说明了我们可以把对平面中所有向量的研究都转化为与基底有关的问题来研究。,2.在字符表示的式子中，有哪些量？向量e1与e2具有怎样的位置关系？,向量e1与e2不共线,如图，把它们平移到同一起点后会形成一个角，这个角对我们今后的研究有很多帮助，所以这里我们给它取个名字叫向量e
5、1与e2的夹角。即：,两个非零向量 和 ,作 ， ,则,叫做向量 和 的夹角,注意:两向量必须是同起点的,夹角的范围：,有时，向量e1与e2的夹角就用符号表示,想一想，向量的夹角的范围是多少？,【例1】如图，在Rt 中, ， 分别求向量 的夹角,3.向量e1与e2的作用是什么？,（1）确定了一个平面,（2）平面中的其它向量都以它们为基准,我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,基底的两个特征：非零及不共线,想一想平面上任一向量的基底有多少组？,当基底确定后向量的表示是否唯一？,同一个向量在不同的基底下其表示方法是否一样？,（1）设 ， =a则表示方法的唯一性体现了有序
6、数对的唯一性即：,，,（2）根据以上分析可以看出平面向量基本定理提供了向量由形向数转化的理论依据，为向量的研究提供了更广阔的背景。正是这一点我们才有理由叫它为平面向量的基本定理。,4如何确定1与2的值？,前面我们讨论了与0向量对应的一对有序实数为（0，0）那么非零向量呢？,【例2】如图，已知向量 与向量 ， 的夹角分别为 且 10， 6， 4 .试求1，2使得 = + 。,解析：因为OA与OB垂直，所以过C作OA的垂线，垂足为M，由 COM= 及 10得到 10cos =5 , 5, = ， 0， = ， 同理可得 ，即 = + 。,M,试用 ， 表示 和 。,= + = + = + = -
7、= -,= + = + = + = - = -,课堂演练, 应用新知,【例3】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点， 。,本题归纳小结：,1此类题目的关键是找所求向量与基底间的关系，常通过观察图形，运用向量加减法的平行四边形法则和三角形法则来寻求。,2.如果出现中点或线段比要充分利用中位线定理或相似比来求并且常常要应用运算法则来重新组合。,课堂小结, 巩固新知,主要内容：,一个定理（平面向量基本定理）；,其一，将一般向量化为特殊的基向量来处理；,两个概念（基底与向量的夹角）；,一种思想（转化与化归思想）,内涵有二：,其二，顺利实现了由形向数的转化,两种题型（垂直型与比例型）,1.探究：在【例 3】中设线段DE与BF相交于点O，试用 ， 表示 。,2.作业P102 第4题。,