基于ARM的实现电力多参数测量的实时系统.doc

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1、毕业论文摘 要ABSTARCT1 概述11.1提出问题11.2 国内外研究现状及发展趋势11.3 本文主要工作22 电力参数测量及谐波分析原理与算法32.1 交流采样的实现方法32.2 电力参数算法52.3 谐波信号分析理论基础82.4 电力仪表内温度检测电路原理172.5本章小结193 主要器件的原理与选用203.1 主控制器的选择203.2 存储器的选择223.3 A/D转换器的选择233.4 本章小结244 硬件电路设计与软件编程实现254.1 总体硬件方案254.2 电源电路的设计264.3 电压电流测量电路的设计274.4 复位电路的设计294.5 存储器扩展电路的设计304.6 液

2、晶模块电路的设计314.7 键盘电路的设计324.8 CAN总线接口电路的设计334.9 A/D转换电路的设计354.10 温度测控系统的硬件设计设计364.11 软件设计37 4.12 本章小结425 结论43谢 辞44参考文献45附 录46摘 要随着科学技术和国民经济的快速发展，各种工业生产对电力系统电能质量的要求越来越高。然而，现代电力电子设备和非线性负载的大量使用又造成电能污染日趋严重，电能质量成为电力部门及其用户日益关注的问题。本文对电能质量检测的有关理论进行了深入的分析研究，并在理论研究的基础上给出了电力参数测量及谐波分析的方法。本文引入了利用ARM技术测量电力参数的基本思想，采用

3、同步锁相技术，实现同步采样。给出了硬件电路的结构和工作原理以及软件设计。采用数字信号处理技术进行电力参数的测量，在提高测量精度、实时性和智能化、系统化水平方面都具有独特优势。通过对电力参数、电力系统谐波源特征和现有电力参数测量技术的分析，建立了基于FFT的电力参数测量模型和谐波测量模型；为了消除FFT频谱泄漏，采用数字锁相同步方法进行误差修正；最后采用NXP公司的LPC2292作为核心处理器，进行多通道数据采集、FLASH存储等关键模块的软硬件设计与实现，该系统具备高质量的三相谐波信号源和电力参数测量功能。3路电压、3路电流信号的同步采集，六路被测信号电力参数的实时测量。能够实时测量信号的幅值

4、、有效值、相位等电力参数。同时，本文就系统中使用的关键算法进行了论述。使用整周波的采样序列均方根值来计算电压、电流有效值；使用整周波的同时采样的电压、电流采样做乘积，再取平均值的方法来计算有功功率；使用FFT变换的方法来进行谐波分析，包括谐波状态下的功率因数的计算等。关键词：ARM；电力参数；锁相倍频；FFT 1 概 述1.1 问题的提出电能是用途最广泛的能源之一，也是人类社会不可缺少的重要能源。它广泛地应用于现代社会的各个领域，而电能质量与国民经济的各个部分和人民日常生活也有着密切的关系。在理想的交流供电系统中，三相交流电压是平衡的，电压和电流的波形呈正弦无畸变状态。近年来，随着电力电子技术

5、的广泛应用，电力系统谐波污染日益严重，已成为影响电能质量的公害，对电网系统的安全、经济运行造成极大的影响。如：大功率可控硅器件、开关电源、变频调速、交直流变换设备等，至今为止机械式采油机仍是油田普遍使用的采油机械，它以交流感应电动机为动力，而这些典型非线性负荷将向电网注入大量的谐波电流，从而引起电网电压畸变，使电网波形受到污染，供电质量恶化，附加损失增加，传输能力下降，这对电力系统本身和广大电力用户，均会造成不良的影响和危害。同时各种复杂、精密、对电能质量敏感的用电设备的普及，使人们对电能质量的要求也越来越高，特别是大量使用微电子器件的仪表和设备，其对电网谐波干扰极其敏感。谐波可对电器设备造成

6、瞬时干扰及长期影响。瞬时干扰包括使调速电机误动，使变压器振动并产生噪声，使电机出现扭矩振荡而迅速损坏，对电力线路邻近的通信系统产生干扰。长期影响主要是谐波的热效应：使电气设备的附加损耗增加而使温度升高，导致设备老化，过早损坏。例如电容器因介质的时滞现象过载而损坏。且随着谐波频率增高，导体的集肤效应与磁场的涡流效应产生的附加损耗加大，这是电机与变压器温度升高的主要原因。因而进行有效的电力参数测量、特别是谐波测量、谐波分析，进而进行控制，已成为一项迫切而又重要的任务。现在，有关部门已经制定了完整的电能质量标准和公用电网谐波标准。为了保障电网的安全运行和了解电网运行状态，需要对电网进行实时监控，而实

7、时的对各种电力参数如电压、电流、有功功率、无功功率、功率因数等进行测量，才能有效地监控整个电力系统运行状况。因此，开发功能齐全、操作简便的电力参数测量装置对电力参数进行实时测量，具有非常重要的现实意义。1.2 国内外研究现状及发展趋势目前，国内外的电力参数测量装置除了能够对电网（功率源）的基本电参量进行精确测量外，有的还能够对频率、相位角、高次谐波等进行测量并进行质量分析。精度和其他技术指标也得到了大幅度的提高，能在微处理器的控制下，通过软件对以上各项参数的测量误差进行修正，对整个系统进行满量程矫正，同时通过各种接口输出以便进行键盘输入、结果显示或与PC机进行数据交换。国产的谐波测量装置一般采

8、用单片机，如国产的GXF-908A应用MSC-8098单片机，现三相电压和三相电流共六路信号同步采样，可以显示或输出三相239次谐波含有率、电压畸变率、相位关系及谐波功率和阻抗等，可绘出被测信号波形、谐波直方图和变化曲线，可以从多次测量值中筛选出前5个大值，每次测量结果可以为一个周期或3S平均值等，达到国家标准的要求。我国电力系统测量分析方面正在飞速发展，技术水平不断提高，但与国外还有较大差距，高精度测量、实时监控和先进算法的运用方面不够先进，而且大多功能单一。在国外工业发达国家，电能质量问题早已被当作电力系统面临的重要问题看待，各国均在加强有关电能质量问题的研究，并提出一系列综合检测控制和管

9、理方法。1.3 本文主要工作本文的主要工作是设计一个基于ARM的实现电力多参数测量的实时系统。重点是建立FFT的电力参数分析模型，并对电力参数实时测量系统的相关技术进行研究。通过对电力参数、谐波源特征和现有电力参数测量技术的分析，建立基于FFT的电力参数测量模型和谐波分析模型；为了消除FFT频谱泄漏，采用数字采样方法进行误差修正；最后采用NXP公司的LPC2292作为核心处理器，构建多通道数据采集、外部扩展存储、锁相倍频电路等关键模块的软硬件系统。充分利用ARM的运算功能来实现针对电力参数的实时测量、实时采样、有效值运算、功率计算、谐波分析等关键运算，同时进行实时按键处理，将测得的参数和波形进

10、行显示。在系统调试方面使用JTAG接口进行调试，既简化了系统设计，又提高了系统的性能。2 电力参数测量及谐波分析原理与算法电力系统的电压、电流的理想波形是标准的正弦波，正弦波供电能够减少铁损并提高效率。然而正弦波形只是一种理想状态，实际上是不可能完全实现的。对于一个畸变的非正弦周期函数，可以用傅里叶级数表示：其中，为直流分量；为周期分量的峰值；是响应周期分量的初相角。由于电力系统中的非正弦周波都是不规则的畸变波形，所以无法从函数解析式转化为上式，进而获得谐波参数。常用的方法是对该种波形的连续时间信号进行等间隔采样，并把采样值转化为数字序列，然后借助相关算法进行谐波分析。电力参数的测量主要包括：

11、电流有效值、电压有效值、有功功率、无功功率、视在功率、功率因数、频率等。而根据被采集信号方法的不同，交流电参量的采样测量方法主要有两种：直流采样法和交流采样法。直流采样法是把交流电压、电流信号转化为直流电压，采样经过整流后的直流量，对采样值只需作一次比例变换即可得到被测量的数值，这种方法的主要优点是算法简单，便于滤波。但直流采样法存在一些问题：测量精度直接受整流电路的精度和稳定性的影响；整流电路参数调整困难且受波形因素影响较大；此外，用直流采样法测量工频电压、电流是通过测量平均值来求出有效值的，当电路中谐波含量不同时，平均值与有效值之间的关系也将发生变化，给计算结果带来了误差。因此，要获得高精

12、度、高稳定性的测量结果，必须采用交流采样技术。2.1 交流采样的实现方法交流采样法，即直接对连续的模拟信号进行等间隔采样，再用特定的数值算法（如DFT）进行处理得到谐波结果。但由于存在栅栏效应和频谱泄漏，采样前常需要采取同步措施校准。根据校准措施不同，交流采样法可分为同步采样法、准同步采样法、非整周期采样法等。2.1.1同步采样法同步采样法是指采样时间间隔、被测交流信号周期和一个周期采样点数之间满足关系式=。但实际采样中不一定是一个整周期，故同步采样法需要保证采样截断区间等于被测连续信号整周期的整数倍。同步采样法的实现方法有两种：硬件同步采样法和软件同步采样法。软件同步采样法一般实现方法是：由

13、ARM提供同步采样脉冲，首先测出被测信号的周期T，用该周期除以一周期内采样点数，得到采样间隔，进而确定定时器的计数值，利用定时中断方式实现同步采样。硬件同步采样法是：由专门的硬件电路产生同步于被测信号的采样脉冲。它能克服软件同步采样法存在截断误差等缺点，测量精度高。硬件同步采样一般是利用锁相频率跟踪原理实现同步等间隔采样的，电路如图2-1所示。 图2-1 倍频锁相同步电路 在相位比较器PD、低通滤波器LP、压控振荡器VCO构成的锁相环内加入分频器，输入被测信号的频率，作为锁相环的基准频率，输出为采样频率。经分频后与相比较，根据锁相环工作原理，锁定时/，即。由于锁相环的实时跟踪性，当被测信号频率

14、变化时，电路能自动快速跟踪并锁定，始终满足的关系，即采样频率为被测信号频率的整数()倍，从而实现一周期内等间隔采样点，从根本上克服了软件同步采样法存在的上述问题。本文采用硬件同步采样法，利用锁相电路来构成频率跟踪电路，然后通过分频电路来控制AD转换的触发信号，从而实现同步等间隔采样。2.1.2准同步采样法实际采样测量中，采样周期经常不能与被测信号周期实现严格同步，即次采样不是落在区间上，而是落在+区间上（称为同步偏差或周期偏差），产生了同步误差。为解决该项误差，在八十年代初，清华大学戴先中教授提出了准同步采样法，即在不太大的情况下，当满足(2+)M/2（M为最高谐波次数）时，通过增加采样数据量

15、和增加迭代次数来提高测量准确度。它不要求采样周期与信号周期严格同步，不要求同步环节，对第一次采样的起点无任何要求。准同步采样降低了对信号频率、采间间隔和振荡器频率的要求，因此可以用要求低的振荡器代替同步采样中要求高的同步环节，使测量装置简单，简化电路。准同步采样法的不足之处在于，它需要通过增加采样周期和采样点数，并采用迭代运算的方式来消除同步误差，所需数据较多，计算量较大，运算时间长，不适合多回路、多参量、实时性要求高的交流测量系统，而且受短暂突发性干扰的影响可能性比同步采样法大。2.1.3 非整周期采样法由于同步偏差会对谐波分析造成误差，人们采用准同步采样、加窗技术等来抑制频谱泄漏误差，但在

16、原理上，它们多少存在着测量方法上的误差。因此，有人提出了一种“非整周期采样理论”，所谓非正周期采样就是采样时间间隔为同步偏差，T为信号周期，N为采样次数，K为采样周期数)，对连续周期信号进行采样。非正周期采样谐波分析方法所需要的数据可以仅约为一个周期，从而使谐波分析有可能跟踪信号的波动，且不管实际采样是否同步，均能准确地分析谐波。该方法适合于快速测量，但采样/保持误差、A/D转换器误差、外部或内部随机干扰以及计算机舍入误差等对非整周期采样谐波分析方法的影响，还有待于进一步研究。对于分析样本值获取结果来说，谐波检测方法也可以划分为傅里叶变换法、瞬时无功功率理论法、小波变换法、神经网络方法等。考虑

17、到数字信号处理在电力系统测量方面的优势及FFT算法的成熟程度，本文设计的电力参数测量模型及实时测量系统采用传统FFT算法，并通过锁相同步硬件技术修正其测量误差。2.2电力参数算法从有效值的定义可知，有效值是按照功率来定义的，即被测电压（或电流）与一直流电压（或电流）在同相阻止的电阻上，在相同时间发热相等，就认为被测电压（或电流）的有效值等于该直流电压（或电流）的幅值。1、 交流电压、电流有效值的测量设输入电压、电流为和，计算某一周期电压、电流信号有效值如（2-1）和（2-2）。 （2-1） （2-2） 式中，u、i为t时刻的电压、电流信号瞬时值u(t)、i(t)；T该电压信号波形的周期；U交流

18、电压信号有效值；I交流电流信号有效值。如果将式（2-1）、（2-2）离散化，以一个周期内有限个（N个）采样电压、电流数字量来代替电压、电流函数，则 （2-3） （2-4）式中，相邻两次采样的时间间隔；和分别为第n个时间间隔的电压、电流信号瞬时采样值；N一个周期的采样点数。若相邻两次采样的时间间隔都相等，为常数。因为N=则有 （2-5） （2-6）这就是根据一个周期内采样瞬时值及每周期采样点数计算电压、电流信号有效值的公式。2、平均功率W的计算 （2-7） 其中，N为电压、电流的一个周期的采样点数，当一个周期内采样点数越多时，使用式（2-7）的误差越小，精度越高。3、有功功率P、无功功率Q和视在

19、功率S的测量正弦波情况下，有功功率为，但是在电压、电流含有各种谐波的情况下，此时的有功功率为,那么单相有功功率离散化后可得： （2-8） 其中，为三相电压、电流的瞬时采样值。使用该公式的最大优点就是省去了测量各次谐波的电压和电流之间的相角。但电压和电流的采样值必须是同时进行采样，这里面隐含了电压和电流是每周期内等间隔采样的。如果没有同时采样和等间隔采样这两点要求，则计算结果就会存在很大的误差。对于视在功率，我们可以采用当前的电压有效值和电流有效值相乘来计算： （2-9） 根据有功功率、无功功率、视在功率之间的关系来计算无功功率为： （2-10） 另一种计算无功功率的方法是使用电压的瞬时采样值和

20、当前的电压采样值相差N/4点的电流采样值相乘，即 （2-11） 这种方法可以通过原始数据直接计算出无功功率，减小了传递误差。其算法原理是：相当于与电压波形相差/4的电流采样值，假设原电压、电流之间的相位差为，通过将电压和移相/4的电流值对应相乘，有功功率的公式移相/4后，公式变为，也就变成了无功功率的公式，但这种算法还是存在很大的缺陷，如果波形中含有高次谐波，那么采用移位N/4点相乘的算法就不能计算出此时的无功功率了。三相功率为： （2-12） 由于采用的功率算法仍然属于实时算法，也就是说每读入一格新的采样值后，都要进行一次功率计算。4、功率因数的测量由于前面已经测出了电压、电流的有效值以及平

21、均功率，故功率因数（Power Factor用符号PF代表）可表示为： （2-13） 式中，为功率因数；S为视在功率；P为有用功率。为电压和电流之间的相位角，对于可以通过测量电压波形和电流波形的过零点之间的时间差来获得。但在有谐波的情况下，电压和电流之间的相位角就不再是单纯的基波之间的相位角了，而是波形叠加后的一个综合值。而且电压和电流之间的相位角也不容易直接测量，其原因是电压和电流的波形中不但含有直流分量，还含有基波分量、高次谐波分量。也就是说此时功率因数不仅仅是基波电压和电流之间的相位交的余弦值，而应该是基波和各次谐波相位角余弦的折算值。从功率因数的定义式出发，来对其进行计算，于是有 (2

22、-14)利用式（2-12）可计算出，其中为相位角。因为公式使用了反余弦函数，这里的的取值范围应该在0，之间，怎样得出电流是超前还是滞后于电压呢，具体的相位角应该在那一个象限呢？算出这个值才能计算出电路是容性还是感性的，这在进行无功补偿中具有重要的意义。可以用公式（2-9）来计算得到无功功率，并用它同有功功率的符号来共同确定相位角所在的象限，进而同功率因数的余弦值一起来计算出电压、电流的相位角。这也要求每读入一个新的采样值就要进行一次功率因数和相位角的计算。2.3谐波信号分析理论基础2.3.1 谐波的基本概念1.谐波、次谐波和分数谐波。按照IEC有关文件中定义的间谐波（interharmonic

23、s）是指频率不是工频的整数倍的谐波分量，即介于工频谐波之间的傅立叶频谱分量（）。其主要来源于静态变频器、换流器、感应电动机、电焊机和电弧炉等。次谐波（subharmonics）为频率低于工频基波的分量。分数谐波（fractional-harmonics）是频率非基波频率整数倍的分量。次谐波和分数谐波对基波产生调幅并影响电视。Fuchs等发现，分数谐波即使只有0.5%（相对于额定端电压），也将对阴极射线管的图像产生周期性的放大和缩小。在供用电系统中，通常总是希望交流电压和交流电流呈正弦波形。在进行谐波分析时，正弦电压通常由下式表示： (2-15)其中，U为电压有效值；为初相角；为角频率。正弦电压

24、施加在线性无源元件电阻、电感和电容上，其电源和电压分别为比例、积分和微分关系，仍为同频率的正弦波。但当正弦电压施加在非正弦电路上时，电流就变为非正弦波，非正弦电流在电网阻抗上产生压降，会使电压波形也变为非正弦波。当然，非正弦电压施加在线性电路上时，电流也是非正弦波。对于周期为T=2的非正弦电压u(t),一般满足狄里赫利条件，可分解为如下形式的傅立叶级数： (2-16)在傅立叶级数中，频率为1/T的分量称为基波，频率为大于1整数倍基波频率的分量称为谐波，谐波次数为谐波频率和基波频率的整数比。以上公式及定义均以非正弦电压为例，对于非正弦电流的情况也完全适用。2.对电子设备的影响。主要影响表现在三个

25、方面：(1)谐波畸变的结果产生多个过零问题，这种多个过零会破坏设备的运行，最明显的是数字时钟，任何应用过零原理同步元件都应考虑这种影响。半导体器件经常在电压过零时投入，以降低电磁干扰和涌流，多次过零会改变器件投入时间，破坏设备运行。(2)电力电子电源使用波形的峰值以维持滤波电容器的全充电。谐波畸变可提高或削平波峰的峰值，其结果是即使均方根的输入电压是正常的，电力电源将运行在高的或低的输入电压下，严重时设备运行可能遭到破坏。(3)电压陷波也会破坏电子设备的运行，电压陷波不过零但影响过零敏感的设备。2.3.2 电力系统谐波测量的基本方法2.3.2.1 采用模拟带通或带阻滤波器的谐波测量最早的谐波测

26、量是采用模拟滤波器实现的。图2-2为模拟并行滤波式谐波测量装置框图。由图可见，输入信号经放大后送入一组并行连接的带通滤波器，滤波器的中心频是固定的，为工频的整数倍，且 (其中n是谐波的最高次数)，然后送入多路显示器显示被测量中所含谐波成分及其幅值。该检测方法的优点是电路结构简单，造价低，输出阻抗低，品质因数易于控制。但该方法也有许多缺点，如滤波器的中心频率对元件参数十分敏感，受外界环境影响较大，难以获得理想的幅频和相频特性，当电网频率发生波动时，不仅影响检测精度，而且检测出的谐波电流中含有较多的基波分量，要求有源补偿器的容量大，运行损耗也大。图2-2 谐波测量电路2.3.2.2 基于傅立叶变换

27、的谐波测量基于傅立叶变换的谐波测量是当今应用最多也是最广泛的一种方法。它由离散傅立叶变换过渡到快速傅立叶变换的基本原理构成，使用此方法测量谐波，精度较高，功能较多，使用方便。其缺点是需进行两次变换，计算量大，计算时间长，从而使得检测的时间较长，检测结果实时性较差。而且在采样过程中，当信号频率和采样频率不一致时，即当式（2-1）不成立时，使用该方法会产生频谱泄漏和栅栏效应。使计算出的信号参数（即频率、幅值和相位）不准，尤其是相位误差较大，无法满足测量精度的要求，因此必须对算法进行改进。 （2-17）式中为信号周期；为采样周期；采样频率；信号频率；L为正整数。减少频谱泄漏的方法主要有3种：1）利用

28、加窗插值算法对快速傅立叶算法进行修正。该方法可以减少泄漏，有效地抑制谐波之间的干扰，从而可以精确测量到各次谐波电压和电流的幅值及相位。2）修正理想采样频率法。这种方法的主要思想是对每个采样点进行修正，得到理想采样频率下的采样值，该方法计算量不大，并不需要添加任何硬件，实时性比上一种方法好，适合在线测量，但对泄漏的减少不明显。3）采用数字式锁相器（DPLL）使信号频率和采样频率达到同步。图2-2为频率同步数字锁相装置框图。图中数字式相位比较器把取自系统的电压信号的相位和频率与锁相环输出的同步反馈信号进行相位比较。当失步时，数字式相位比较器输出与二者相位差和频率差有关的电压，经滤波后控制并改变压控

29、振荡器的频率，直到输入频率和反馈信号频率同步为止。一旦锁定，便将跟踪输入信号频率变化，保持二者的频率同步，输出的同步信号去控制对信号的采样和加窗函数，这种方法的实时性较好。2.3.3谐波分析算法的基本理论依据为了分析带有许多不同频率的复杂信号，过去的多年研究中提出了许多数学算法，其中采用傅立叶级数对非正弦连续时间周期函数进行分析是谐波分析的最基本的方法。然而，需要在微处理器上再现它的数学步骤是很难做到的。因此，更合理的处理方法是离散傅立叶变换（DFT）或快速傅立叶变换（FFT），且在实际中它们具有可行性，应用也比较广泛。2.3.3.1离散傅里叶变换(DFT)复杂的时域信号可按傅里叶级数形式展开

30、，如 （2-18）其中，x(t)为一个时间域的周期信号；T为该周期信号的一个时间周期；f1=1/T为基频；an和bn为傅里叶级数的系数， （2-19）由于对原始信号的采样只能在有限长度的样本空间记录上进行，因此设样本记录的信号的时间周期为T，采样时间间隔为，即T=N,它的采样频率 =1/，谱线的频率间隔，即在频域内其幅频曲线是由N条离散谱线独立组成的。因此对这种信号的计算，只需取其时域一个周期的N个抽样和频域一个周期的N个抽样即可。当x(t)不是周期信号时，T就是截断的样本长度。离散的时域信号和离散的频域信号是适合计算机处理的。 （2-20）对于非周期信号x(t)的傅里叶变换关系式为 （2-2

31、1）由上式(2-21)知，其正逆变换都是连续函数，但是，在计算处理时，不能把无限长时间历程内的整个信号都拿来处理，必须进行截断采样处理。这是傅里叶变换就转化为傅里叶级数，其周期为采样长度，这实际上就是对非周期信号的离散傅里叶分析。当x(t)是周期函数时，T就是周期；当x(t)不是周期函数时，T就是截断的样本长度。离散傅里叶变换的真正意义在于：可以对任意连续的时域信号进行抽样和截断，然后进行傅里叶变化，得到一系列离散型频谱，该频谱的包络线，既是原来连续信号真实频谱的估计值。从上式中看出，若计算某一个频谱，则需进行与的N次复数乘式运算和N-1次的复数加法运算。因此若进行N点运算，其运算量为乘法运算

32、+N(N-1)次加法运算，运算量是相当大的。因此提出了快速傅里叶变换（FFT）的方法。2.3.3.2快速傅里叶变换(FFT)快速傅里叶变换法的基本思想是利用复指数函数的周期性和对称性，充分利用中间运算结果，使计算工作量大大减少。快速傅里叶算法又分为时间抽取（DIT）FFT和频率抽取（DIF）FFT两类。快速傅里叶变换的时域分析法，它是将一长时间序列分解成比较短的时间序列，子时间序列还可以再继续分解成更小的子时间序列，递推下去直到最后得到一个最简单的子时间序列，即一个数为止；然后利用傅里叶变换计算公式对最后得到的最简单的子时间序列进行傅里叶变换，再将各子时间序列的傅里叶变换结果按一定规则进行组合

33、，最后便得到原时间序列的傅里叶变换结果。为满足分解和组合的需要，时间序列的长度必须满足N=2L(L为整数)的关系。对于一个非周期有限长离散数字信号序列x(n)，0 x N-1，将它的周期延拓，使x(n)充当主值序列，则x(n)的正、逆傅立叶变换为： （2-22）对于(2-22)式，式中，而是周期序列的基频成分， 就是k次谐波分量，各次谐波的系数为X (k)；全部谐波成份中，只有N个是独立的，因为= 。因此，级数取和的相数是从k=0到N-1，共N个独立谐波分量。对于(2-22)式中的正傅里叶变换，可以写成矩阵形式。对于(2-22)式中的正傅里叶变换，可以写成： （2-23）其中，与分别为N列的列

34、矩阵，而为NN方阵，且是对称阵。对于有以下性质。（1）周期性 = （2）对称性 = 利用这两个性质，可以对矩阵运算进行简化。把N点DFT分成两组点的运算，然后取和。假定N为2的整数次方,其为正整数。把x (n)的傅立叶变换按照n为偶数和n为奇数分解为两部分。 =+ （2-24）以2r表示偶数n，以2r+1表示奇数n，r的范围是，那么(2-15)式变为 （2-25） 其中=，那么有 = （2-26） 式中= =这样，一个N点的DFT分解成两个N/2点的DFT。由DFT的定义可以看出，在x(n)为复数序列的情况下，直接运算N点DFT需要(N-1)2次复数乘法和N(N-1)次复数加法。因此，对于一些

35、相当大的N值（如1024点）来说，直接计算它的DFT，计算量是很大的。一个优化的实数FFT算法是一个组合以后的算法。可以把2N个点的实输入序列组合成一个N点的复序列，然后对复序列进行N点的FFT运算，最后再由N点复数输出拆散成2N点的复数序列，这2N点的复数序列与原始的2N点的实数输入序列的DFT输出一致。下面用流程图来说明两个4点DFT变换计算8点DFT的处理方法。计算流程图如图2-3所示。输入序列前先进行位倒序成偶数项和奇数项，得到x1(n)和x2(n)，分别对他们作变换得到X1(K)和X2(K)。图中，实心圆规定为加法和减法器，和总是出现在上面，差总是出现在下面，箭头表示乘法。如图2-3所示。 图2-3 8 点FFT蝶形图对于64点的FFT运算，基于上述思想，可以将64个点分为32个点，32个点可以继续分为16个点，如此继续分下去，一直分到最基本的两个傅里叶变换，如图2-4所示。 图2-4基2蝶形运算图由此可得出8点基2的FFT流程图，如图2-5所示。并且由图2-4可以推出任意2的整数次幂的FFT的流程图。 图2-5 8点基2蝶形运算图对于N =时，全部DFT运算可分解为M级蝶形流程图，进行M次