材料力学ppt_闫晓鹏第5章_弯曲应力.pdf

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1、第五章 弯曲应力 第五章 弯曲应力 一、平面弯曲一、平面弯曲 纵向对称面纵向对称面 F1 F2 5-1 弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力 F F a a AB Fs x 二、纯弯曲二、纯弯曲 CD 图示梁图示梁 AB 段横截面上 只有弯矩，而无剪力，该段 梁的弯曲称为 段横截面上 只有弯矩，而无剪力，该段 梁的弯曲称为纯弯曲纯弯曲。 C A与与BD 段横截面上即 有弯矩，又有剪力，该两段 梁的弯曲称为 段横截面上即 有弯矩，又有剪力，该两段 梁的弯曲称为横力弯曲横力弯曲。 x M a b c d MM bd ac 纵向直线代表一 层纤维，变形后为平行 曲线。每层变成曲面， 同层

2、纤维变形相同。 下层纤维受拉伸 长，上层纤维受压缩 短；层间变形连续，中 间必有一层即不伸长也 不缩短， 称为 纵向直线代表一 层纤维，变形后为平行 曲线。每层变成曲面， 同层纤维变形相同。 下层纤维受拉伸 长，上层纤维受压缩 短；层间变形连续，中 间必有一层即不伸长也 不缩短， 称为中性层中性层。 横向线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角 度，且仍与纵向线正交。横截面与中性层的交线称为 横向线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角 度，且仍与纵向线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴中性轴。 1. 实验观察实验观察 基本假设 基本假设 中性层中性层 纵向对称面纵向对称面 中性轴

3、中性轴 平面假设平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形 后的轴线正交； ：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形 后的轴线正交； 单向受力假设单向受力假设：纵向纤维之间无正应力，即无挤 压。各纵向纤维仅仅承受轴向的拉应力或者压应力。 ：纵向纤维之间无正应力，即无挤 压。各纵向纤维仅仅承受轴向的拉应力或者压应力。 1. 变形几何关系变形几何关系 取一微段取一微段dx dx ab cd o1 k1k2 o2 d o a b c d 2 k 2 o 1 o 1 k y 变形前变形后变形前变形后 ddxoo 21 dykk)( 21 yd ddy dxkkl )( 21 y d yd dx l

4、5-1-1 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 2. 物理关系物理关系 y EE y y x z dA z 其中其中y 为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标，为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标，为 中性层变形后的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道 为 中性层变形后的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道 中性轴的位置中性轴的位置和和中性层的曲率半径中性层的曲率半径。 3. 静力关系静力关系 横截面正应力满足如下关系：横截面正应力满足如下关系： 0 A N dAF 0 A y dAzM y y x z dA z MdAyM A z 由：由： AA N ydA E dAF0 0 z A N S

5、 E ydA E F 必有必有 Sz =0 ，z 轴过截面形心。 由： 轴过截面形心。 由： 0 yz AA y I E yzdA E dAzM C 必有必有 Iyz =0 ，z 轴为形心主惯性轴。轴为形心主惯性轴。 y y x z dA z C 由：由： MdAyM A z MI E dAy E dAy z AA 2 z EI M 1 其中其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度抗弯刚度。 z I Myy E 于是得：于是得： y y x z dA z C z I My 由该式可知横截面上各点正应 力大小与各点到中性轴的距离成正 比，中性轴上各点正

6、应力为零，离 中性轴最远点正应力最大。 由该式可知横截面上各点正应 力大小与各点到中性轴的距离成正 比，中性轴上各点正应力为零，离 中性轴最远点正应力最大。 z z max max C C 令令, max y I W z 上式可改写为上式可改写为 W M max max W称为称为抗弯截面系数抗弯截面系数，单位：单位：m3。 z I yM maxmax max 上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于 横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再 成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可 按平面假设分析，上面公式仍可使用。 上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲

7、，由于 横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再 成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可 按平面假设分析，上面公式仍可使用。 5-1-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 矩形截面圆形截面环形截面矩形截面圆形截面环形截面 C z C z bd h/2 h/2 z d C D 6 2 bh W 32 3 d W )1 ( 32 4 3 D Wz 例例1 求图示矩形截面梁求图示矩形截面梁D 截面上截面上a、b、c 三点的正应力。三点的正应力。 A B C D 2m2m2m F=12kN FAFB zc a b 5 6 2 3 (cm) 解：解：kNFM AB 6:0

8、取取AD， A FA D Fs MD mkNMM DD 12:0 MPa bh M W M DD a 120 106 101266 2 3 2 (上面受拉上面受拉) MPa ab 48120 5 2 5 2 (拉拉) (拉拉)0 c 例例2求图示求图示T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。形截面梁的最大拉应力和最大压应力。 A B C D 0.3m0.3m0.2m 20kN50kN C 30 110 3080 解：解：画梁的弯矩图；画梁的弯矩图； z y2y1 确定中性轴的位置。确定中性轴的位置。 mmy2 .38 803030110 7080301530110 1 mmyy8 .71110

9、12 5.5kN.m 4kN.m A B C D 0.3m0.3m0.2m 20kN50kN C 30 110 3080 z y2y1 截面形心主惯性矩：截面形心主惯性矩： 2 323 )408 .71(8030 8030 12 1 )152 .38(3011030110 12 1 z I 46 1073. 5mm mmy mmy 8 .71 2 .38 2 1 5.5kN.m 4kN.m A B C D 0.3m0.3m0.2m 20kN50kN C 30 110 3080 z y2y1 D 截面下边受拉，上边受压；截面下边受拉，上边受压；B 截面上边受拉，下边受 压。比较可知最大压应力在

10、截面上边受拉，下边受 压。比较可知最大压应力在D 截面的上边缘，而最大拉应 力可能发生在 截面的上边缘，而最大拉应 力可能发生在D 截面的下边缘，也可能发生在截面的下边缘，也可能发生在B 截面的上边 缘。 截面的上边 缘。 mmy mmy 8 .71 2 .38 2 1 46 1073 . 5 mmI z 5.5kN.m 4kN.m A B C D 0.3m0.3m0.2m 20kN50kN C 30 110 3080 z y2y1 MPay I M z D c 9 .6810108 .71 101073. 5 105 . 5 63 126 3 2max MPay I M z D tD 7 .

11、 3610102 .38 101073 . 5 105 . 5 63 126 3 1 MPay I M z B tB 1 . 501010 8 . 71 101073 . 5 104 63 126 3 2 mmy mmy 8 .71 2 .38 2 1 46 1073 . 5 mmI z 5.5kN.m 4kN.m A B C D 0.3m0.3m0.2m 20kN50kN C 30 110 3080 z y2y1 最大拉应力发生在最大拉应力发生在B 截面的上边缘，最大压应力发生在 截面的上边缘，最大压应力发生在 D 截面的上边缘。分别为截面的上边缘。分别为 MPa MPa c t 9 . 6

12、8 1 . 50 max max 5.5kN.m 4kN.m 横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必 有切应力。 横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必 有切应力。 一、矩形截面切应力一、矩形截面切应力 基本假设：基本假设： 截面上各点切应力与剪力同向； 距中性轴等距离各点的切应力相 等。 在梁上截一微段 截面上各点切应力与剪力同向； 距中性轴等距离各点的切应力相 等。 在梁上截一微段dx ，再在微段上用 水平截面 ，再在微段上用 水平截面m n 截一微元。截一微元。 FsFs MM+dM 1 1 2 2 dx m n 5-2 弯曲切应力弯曲切应力 1 dx 2 mn x

13、y h/2 12 yy1 b dA FN1 FN2 12 dx mn y x z 平衡条件：平衡条件：:0 x F 0 21 FFF NN 12 NN FFbdxF * 111*z z A z A z A N S I M dAy I M dAy I M dAF yy1 b dA N1 N2 12 dx mn y x z * 2z z N S I dMM F 同理得同理得 dM I S S I M S I dMM bdx z z z z z z * * dx dM bI S z z * 因因 ; s F dx dM 于是得于是得 bI SF z zs * bI SF z zs * 式中 为截面求

14、应力那点到截 面边缘所围面积对中性轴的静矩。 式中 为截面求应力那点到截 面边缘所围面积对中性轴的静矩。 * z S C* b y y* h/2 h/2 z max ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 2 * y hb y h yy h byASz ) 4 ( 6 2 2 3 y h bh Fs 由此式可知，横截面各点切应力是各点坐标由此式可知，横截面各点切应力是各点坐标y 的的2次函 数，切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应 力最大，上下边缘切应力为零。 次函 数，切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应 力最大，上下边缘切应力为零。 bh Fh bh F

15、 ss 2 3 4 6 2 3 max A Fs 2 3 max 二、其它截面切应力二、其它截面切应力 工字型截面梁腹板的切应力工字型截面梁腹板的切应力 翼缘翼缘 腹板腹板 b z b0 max 0 * bI SF z zs 式中式中b0为工字型腹板的厚度。为工字型腹板的厚度。 在腹板上距中性轴为在腹板上距中性轴为y处的切应力：处的切应力： 0 * bI SF z zs 8 )( 8 2 0 0 2 0 max h bb bh bI F z S 88 2 0 2 0 min bhbh bI F z S maxmin SS FF)97. 095. 0( 1 A F hb F SS 00 腹板 0

16、 b b 0 h h y ) 4 ( 2 )( 8 2 2 00 2 0 2 0 y hb hh b bI F z S y h yy h b hhhhh bS z 22 1 2222 1 222 00 0 000 * ) 4 ( 2 )( 8 2 2 00 2 0 2 y hb hh b 圆形截面梁的切应力圆形截面梁的切应力 A F R F SS 3 4 3 4 2 max bI SF Z ZS y * 在中性轴上有最大切应力：在中性轴上有最大切应力： S F z y 例例3 图示梁由三块板胶合而成，横截面尺寸如图所示，求 图示梁由三块板胶合而成，横截面尺寸如图所示，求 截面的最大切应力和胶缝

17、的切应力。截面的最大切应力和胶缝的切应力。 A B 2m2m mkNq/3 60 40 40 40 解：解： FA =6kNFB =6kN kNFs6 1 MPa A Fs 25. 1 120602 1063 2 3 3 1 max MPa bI SF z zs 11 . 1 60120 12 1 60 404060106 3 3* 1 胶缝 5-3 梁的强度条件梁的强度条件 梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力 强度条件。 梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力 强度条件。 正应力强度条件： 正应力强度条件： 对于等截面梁对于等截面梁 W M max max 切应力强度

18、条件： 切应力强度条件： bI SF z zs * maxmax max 简单截面的最大切应力可用简化公式计算，即简单截面的最大切应力可用简化公式计算，即 A F A F s s max max max 3 4 2 3 矩形截面 圆形截面 矩形截面 圆形截面 根据强度条件可进行下述工程计算：根据强度条件可进行下述工程计算： 强度校核； 设计截面尺寸； 确定许可载荷。 强度校核； 设计截面尺寸； 确定许可载荷。 利用强度条件进行工程计算时，需首先确定梁的危险截 面。 利用强度条件进行工程计算时，需首先确定梁的危险截 面。 梁的最大正应力发生在弯矩最大截面离中性轴最远点 处； 梁的最大正应力发生在

19、弯矩最大截面离中性轴最远点 处； 梁的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上。 一般来说，梁的最大正应力与最大切应力并不在同一截 面上，弯矩图上最大弯矩对应于梁的最大正应力所在截面， 剪力图上最大剪力对应于梁的最大切应力所在截面。 梁的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上。 一般来说，梁的最大正应力与最大切应力并不在同一截 面上，弯矩图上最大弯矩对应于梁的最大正应力所在截面， 剪力图上最大剪力对应于梁的最大切应力所在截面。 例例4 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示，材料的许 用拉应力 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示，材料的许 用拉应力 t =40MPa、许用压应力、许用压应力 c =100

20、MPa，许 用切应力 ，许 用切应力 =20MPa 。试校核该梁的强度。试校核该梁的强度。 A B 3m1m2m C D mkNq/10 kNF20 FB =30kN C z 200 20030 30 解：求支座反力； 画内力图； 解：求支座反力； 画内力图； FD =10kN M图图 157. 5 计算截面惯性矩；计算截面惯性矩； 2 3 2 3 )15 5 . 42(30200 12 30200 )100 5 . 157(20030 12 20030 z I 44 10 5 . 6012mm 10kN 10kN 20kN Fs图图 20kN.m 10kN. m C z 200 20030

21、30 157.5 44 10 5 . 6012mmI z A B 3m1m2m C D mkNq/10 kNF20 FB =30kNFD =10kN M图图 10kN 10kN 20kN Fs图图 B 截面最大拉应力：截面最大拉应力： 5 .72 20 z Bt I B 截面最大压应力：截面最大压应力： 5 . 157 20 z Bc I C 截面最大拉应力：截面最大拉应力： 5 .157 10 z ct I C 截面最大压应力：截面最大压应力： 5 .72 10 z Cc I 20kN.m 10kN.m C z 200 20030 30 157.5 4 44 5 .6012 105 .601

22、2 cm mmI z A B 3m1m2m C D mkNq/10 kNF20 FB =30kNFD =10kN M图图 10kN 10kN 20kN Fs图图 经比较可知，最大拉应力发生 在 经比较可知，最大拉应力发生 在C 截面的下边缘；最大压应力发 生在 截面的下边缘；最大压应力发 生在B 截面的下边缘；最大切应力 发生在 截面的下边缘；最大切应力 发生在B 的左截面的中性轴上。的左截面的中性轴上。 tt MPa 2 .2675.15 5 .6012 1010 3 max 20kN.m 10kN.m C z 200 20030 30 157.5 4 44 5 .6012 105 .601

23、2 cm mmI z A B 3m1m2m C D mkNq/10 kNF20 FB =30kNFD =10kN M图图 10kN 10kN 20kN Fs图图 c c MPa 4 . 52 75.15 5 .6012 1020 3 max 1 * maxmax max bI SF z zS MPa13. 4 30105 .6012 2 5 . 157 5 . 157301020 4 3 max 此梁安全此梁安全 20kN.m 10kN.m 例例5 图示工字形截面梁，已知许用正应力图示工字形截面梁，已知许用正应力 =170MPa，许用 切应力 ，许用 切应力 =100MPa ，试选择工字钢的型

24、号。，试选择工字钢的型号。 解：解：求支座反力； 画剪力图和弯矩图； 梁的强度主要由正应 力所控制，先按正应力强 度条件选择工字钢型号， 再用切应力强度条件进行 校核。 求支座反力； 画剪力图和弯矩图； 梁的强度主要由正应 力所控制，先按正应力强 度条件选择工字钢型号， 再用切应力强度条件进行 校核。 A B 3m3m2m C D mkNq/6 kNF30 FB =29kNFD =13k N M图图 Fs图图 13kN 17kN 12kN 12kN.m 39kN.m A B 3m3m2m C D mkNq/6 kNF30 FB =29kNFD =13kN M图图 Fs图图 13kN 17kN

25、12kN 3 3 max 4 .229 170 1039 cm M W 由型钢表查选由型钢表查选20a工 字钢，主要参数如下： 工 字钢，主要参数如下： mmdcmW7,237 3 cm S I z z 2 .17 * MPa d S I F z z S 14 7172 1017 3 * max max 12kN.m 39kN.m 例例6 图示梁由两根木料胶合而成，已知木材的许用正应力 图示梁由两根木料胶合而成，已知木材的许用正应力 =10MPa，许用切应力，许用切应力 =1.0MPa ，胶缝的许用切应力，胶缝的许用切应力 1 =0.4MPa，试确定许可荷载集度，试确定许可荷载集度q。 A B

26、 3m q FA =1.5qFB =1.5q z 100 100 50 M图图 Fs图图 1.5q 解：解：求支座反力； 画剪力图与弯矩图； 求支座反力； 画剪力图与弯矩图； 按正应力强度条 件确定许可荷载； 按正应力强度条 件确定许可荷载； WM max 6 125. 1 2 1 bh q mkNq/33. 31010 125. 16 1510 3 2 1 1.125q A B 3m q FA =1.5qFB =1.5q 100 100 50 M图图 Fs图图 1.5q 1.5q z 按切应力强度条 件确定许可荷载； 按切应力强度条 件确定许可荷载； A F S 2 3 max mkN A

27、q/67. 6101 5 . 4 1501002 5 . 4 2 3 2 3 2 5 . 1 2max A qF S 1.125q A B 3m q FA =1.5qFB =1.5q 100 100 50 M图图 Fs图图 1.5q 1.5q z 按胶缝切应力强度 条件确定许可荷载； 按胶缝切应力强度 条件确定许可荷载； 1 * max bI SF z zS 1 * 3max 5 . 1 z z S S bI qF 3 3 31 * 100 150 100 12 0.4 103 1.51.5 1005050 z z I b qkN m S 3 3qqkN m 1.125q 例例7 图示圆截面梁

28、，直径图示圆截面梁，直径d=200mm，材料的许用正应力 ，材料的许用正应力 =10MPa，许用切应力，许用切应力 =2MPa 。试校核该梁的强度。试校核该梁的强度。 A B 3m1m mkNq/4 FA =5kN kNF3 d FB =10kN 解：解：求支座反力； 画剪力图和弯矩图； 求支座反力； 画剪力图和弯矩图； Fs图图 M图图 5kN 3kN 7kN 1.25m 最大正应力发生在距最大正应力发生在距A 端 端 1.25m截面的上下边缘； 最大切应力发生在 截面的上下边缘； 最大切应力发生在B 的左 截面的中性轴上。 的左 截面的中性轴上。 3kN.m 3.125kN.m A B 3

29、m1m mkNq/4 FA =5kN kNF3 d FB =10kN Fs图图 M图图 5kN 3kN 7kN 1.25m MPa d M W M 98 . 3 20 312532 32 3 3 maxmax max MPa d F A F ss 3 . 0 2003 700044 3 44 3 4 2 2 maxmax max ; maxmax 此梁安全。此梁安全。 3kN.m 3.125kN.m 5 5 4 4 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 梁的设计主要依据正应力强度条件，即梁的设计主要依据正应力强度条件，即 W M max max 由正应力强度

30、条件可知，要提高梁的强度可从降低最 大弯矩 由正应力强度条件可知，要提高梁的强度可从降低最 大弯矩Mmax 和增大抗弯截面系数和增大抗弯截面系数W来考虑。来考虑。 一、合理安排梁的受力情况一、合理安排梁的受力情况 通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提 高梁的正应力强度。 通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提 高梁的正应力强度。 A B q l AB q 2l/3l/6l/6 M图图M图图 ql2/8 ql2/72ql2/72 ql2/24 A B l/2l/2 F A B l/4l/2 F l/4 M图图M图图 Fl/4 Fl/8 二、梁的合理截面二、梁的合理截面 6 2 bh WZ 左 6 2 hb WZ 右 合理放置截面合理放置截面 三、等强度梁的概念三、等强度梁的概念 b xh