高速加工运动性能预测方法研究.pdf

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1、2 0 1 4 年 6 月农 业 机 械 学 报 第 45 卷 第 6 期 doi: 106041/j issn 1000- 1298 2014 06 051 高速加工运动性能预测方法研究 * 谢东 1， 2 丁杰雄 1 杜丽 1 王伟 1 宋智勇 3 ( 1 电子科技大学机械电子工程学院，成都 611731; 2 重庆科技学院电气与信息工程学院，重庆 401331; 3 中航工业成都飞机公司数控加工厂，成都 610092) 摘要:为了考察数控机床参数约束的运动性能对加工质量和效率的影响， 提出一种高速数控加工运动性能预测方 法。以进给速度为主要研究对象， 利用柔性加减曲线控制方式， 考虑机床

2、参数制约、 段间转接速度约束， 建立多轴 联动加工进给速度状态方程。通过综合后续状态约束条件， 简化动态规划状态和决策变量的求解， 得到进给速度、 加速度曲线的预估， 并获取进给速度与约束参数、 轴速度和约束轴的辨识关系， 通过试件切削加工实验验证了所提 方法的可行性。 关键词:多轴加工动态规划加减速控制进给速度动态指标 中图分类号:TG659文献标识码:A 文章编号: 1000- 1298( 2014) 06- 0333- 08 收稿日期: 2013- 06- 30修回日期: 2013- 08- 08 * 国家科技重大专项资助项目( 2013ZX04001- 021) 作者简介:谢东， 博士

3、生， 重庆科技学院副教授， 主要从事精密机电测控技术和数控技术研究， E- mail:xiedongcq126 com 通讯作者:丁杰雄， 教授， 博士生导师， 主要从事精密机电测控技术研究， E- mail:jxding uestc edu cn 引言 在高速高精度五轴数控机床运动中， 复杂型面 采用逼近法拟合其曲面， 会出现转折和拐点， 但机床 伺服性能不是无限大， 其受制于刀具路径、 几何特 性、 切削负载等机床动力学特性以及加速度等运动 学特性的影响， 从而导致表面切削速度不均匀， 影响 工件表面质量和轮廓精度1 3 ， 故进给速度、 加速度 等运动性能预测对复杂曲面表面切削精度均匀性

4、研 究以及表面质量的控制有着重要意义。 从进给速度控制可知， 用插补算法直接将轨迹 轮廓映射到进给速度指令是进给速度研究的一种方 法 4 6 。除了常规的插补算法外， 还必须考虑由微 小段组成轮廓的总体进给速度规划问题7 8 ， 段间 速度衔接问题 9 10 ， 加减速方式选择10 11 ， 以及拐 角过渡的处理问题 12 。这些研究以每一小路径段 或整体轮廓为研究对象， 从整体参数约束考虑， 而非 实际坐标运动轴参数约束以及轴运动速度转折约束 考虑， 且上述方法针对各自控制系统设计， 与实际高 档数控系统仍存在差距。而实际高档数控系统由于 其算法组成的多样性， 完全模拟其核心控制算法面 临问

5、题的复杂性。 本文从考察数控机床运动性能角度出发， 提出 一种轴速度和轮廓合成进给速度预测方法， 在已知 小线段各轴运行位移量情况下， 采用 S 形柔性加减 速算法， 建立轴进给速度状态方程， 推导段间转折处 满足轮廓精度的轴进给速度约束， 以进给速度最大 为目标， 采用时间最优的策略来求解各小线段运行 速度和其决策控制变量加加速度， 得到含加加速度、 加速度、 最大进给速度参数约束的轮廓进给速度和 加速度曲线， 来考察多轴联动高速加工数控机床的 运动性能。 1S 形加减速原理 数控系统把零件程序转换成要加工的形状轨 迹、 进给速度和其他的指令信息， 连续把位置指令送 给每个伺服轴。为了保证高

6、速度和高精度， 须根据 被加工零件的形状轨迹选择最佳的进给速度， 并在 允许的误差范围内以尽量高的进给速度实施切削， 特别在拐角处和小半径处， 应能判别加工速度变化 对精度的影响， 使刀具在到达这样的点前使其自动 减速， 引入加减速度限制， 保证运行过程的稳定是现 代数控系统所必须的。 由于 S 形加减速的柔性控制能力被广泛使用在 高档数控系统中， 以满足不同伺服机构动态性能需 求 13 15 ， 本文以 S 形加减速度控制模式来建立预测 模型。一般情况下， 其加加速度 J 设为常数， 速度曲 线看似 S 曲线。完整加减速过程包括加加速、 匀加 速、 减加速、 恒匀速、 加减速、 匀减速和减减

7、速 7 个阶 段， 为了减少加速时间， 通常取消匀加速和匀减速阶 段， 将其简化为 5 个阶段。 在 S 形的加减速度模式下， 若其初始速度为 vs， 终点速度为 ve， 加加速度 J 为恒值， 加速过程按照加 加速和减加速方式升速， 则其运动状态的表示为 J = Jmax Amax= Jt 2 ve= vs+ 1 4 Jt2 S = vst + 1 8 Jt 3 ( 1) 式中t 线段运行总时间 Jmax 加加速度设定最大值 Amax 段内运行能够允许达到的加速度最 大值， 出现在线段中间位置。而其 段初和段末的加速度为零， 故其段 间衔接时无冲击 2动态规划速度衔接模型 由于高档数控系统的

8、前瞻能力使其在多个微小 直线段连接时， 可采用过渡速度以提高其切削效率。 各坐标轴运动时， 在同一时刻被要求达到其目标点 位， 且能保持各自速度协调和下一步的衔接关系， 本 文利用动态规划方法来设计一种速度的预测模型。 动态规划是一种研究与时间有关的多阶段决策 过程的方法 16 ， 它将问题的整体按时间或空间特征 分成若干前后衔接的时空阶段， 把多阶段决策问题 转换成前后关联的一系列单阶段决策问题， 进而求 出整体问题的最优决策序列。 设阶段数为 n 的多阶段决策过程， 定义有阶段 k =0， 1， ， n 1， 允许的策略为 U* 0， n 1= ( u * 0 ， u* 1 ， ， u*

9、n 1) ( 2) 它能够作为最优策略的充分必要条件是对任意 一个 k( 0， n 1) 和初始状态 s0S0有 V0， n 1( s0， U* 0， n 1)= opt U0， n 1Uk， n 1( so) V0， k 1( s0， U0， k 1)+ opt Uk， n 1Uk， n 1(珓sk) Vk， n 1(槇sk， Uk， n 1) ( 3) 其中U* 0， n 1=( U * 0， k 1， U * k， n 1) 槇sk=Tk 1( sk 1， uk 1) 槇sk由初始状态 s0和子策略 U* 0， n 1所决定的第 k 阶段 状态， V 是指标性能函数， 收益时取最大化，

10、损失时 取最小化。 在高速多轴微线段连续加工中， 已知经过后置 处理的数控代码， 描述了从起点到终点的全过程， 数 控机床严格按照这样路径图行进， 需要确定的是以 多大的速度连续走完这些路径， 以及未来的小线段 运行速度。将问题用动态规划方式重新描述， 以位 移 S 作为目标量， 进给速度 v 作为状态变量， 加加速 度 J 作为控制变量， 则速度预测问题， 按照动态规划 方式对进给速度进行演算。 设刀具路径由若干小线段组成， 如图 1 所示。 图 1小线段连接示意图 Fig 1Segment connection diagram 图 1 中的第 k 段的初始速度 vk， 该段终点速度 与下一

11、段的初始速度相同为 vk +1， 本段位移量为 sk， 此段加加速度为 Jk， 列出 S 型加减速的速度、 位移方 程分别为 vk +1 vk= 1 4 Jkt2 k ( 4) sk= vktk+ 1 8 Jkt3 k ( 5) 消去方程中时间 t， 得到 sk= ( vk +1+ vk) vk +1 vk J 槡 k ( 6) 表示成为 vk +1的状态转移方程， 记 vk +1= T( sk， vk， Jk)( 7) 而 vk的状态方程可由 vk 1状态递推而来， 则 v2= T( s1， v1， J1) v3= T( s2， v2， J2)= T( s2， T( s1， v1， J1)

12、， J2) vk= T( sk， vk 1， Jk) 在连续加减速中， 由式( 5) 得到其各微小段的 阶段指标函数 tk= f( sk， vk， Jk)( 8) 总指标函数 t1， n= n k =1 tk( 9) 采用动态规划的速度预测方式， 求满足总指标 t 最小值的控制序列 J J1， J2， ， Jk 和最优状态 v v1， v2， ， vk ， 做出速度的预测， 得出其控制变 量 J 的曲线， 状态变量 V 的曲线。 3参数约束条件 如果仅看式( 4) 、 ( 5) 、 ( 6) ， 在已知初始速度 v1 和终止速度 vn的情况下， 要满足时间性能指标， 控制 变量 J 值越大越好

13、。但实际高档数控系统的进给速 433农业机械学报2 0 1 4 年 度由于线段连接关系， 进给速度是难以稳定的。需 建立小线段高速加工速度衔接数学模型， 考虑线段 衔接关系、 线段长度、 初始速度等约束条件， 另外在 转弯处还需通过转弯处加工路径和加工误差的数学 模型实现平滑进给速度的控制17 。 由于数控机床进给速度受动态参数 Jmax、 Amax、 Vmax以及编程速度 Vprog的制约， 存在的约束条件为 Jmax J k J max Amax A k A max vkmin( vmax， vprog ) ( 10) 式( 10) 表明， 控制量 Jk和状态变化量 vk都是受到约 束的，

14、 即需满足约束的动态规划。 对于状态变化量 vk的另一个强约束条件是相邻 路径段转角处的转接角对进给速度的限制。当进给 速度过大时， 会导致在转接处出现因速度过冲而带 来的轮廓误差。 如图 2 所示， 设有 2 个连接的线段 Pk 1Pk， PkPk +1， 在转接处保持轮廓线速度恒定情况下， 各运 动轴速度变化满足其加速度最大的制约。设过渡起 始点为 Pa， 终止点为 Pb， 则 X 轴从 vax加速到 vbx， Y 轴将会从 vay加速( 或减速) 到 vby， 以此类推。 图 2速度转接示意图 Fig 2Velocity connection schematic diagram 设在 k

15、 点处， 有最大允许误差 e， 转接角为 ， 则 过渡起始点和终点到顶点 Pk的距离 PaPk为 lPaPk e cos ( 11) 对于 X 轴来说， 过渡过程中的位移量为 sgx= ( ik +1+ ik) lPaPk( 12) 式中ik、 ik +1 第 k 段和第 k + 1 段在 X 轴上的 单位矢量 过渡时间设为 tgx， 则有 tgx= vbx vax Axmax ( 13) 在 t gx走过的位移为 sgx= 1 2 ( vbx+ vax) tgx( 14) 消去 tgx得到 sgx与速度、 转接角之间关系 ( ik +1+ ik) e cos = v2 bx v 2 ax 2

16、Axmax ( 15) 由 vbx= ik +1vb， vax= ikva， va = vb， 则满足 X 轴加 速度要求的转接的速度记为 vx a为 vx a= v x b= 2eAxmax cos|( ik +1 ik) 槡 | ( 16) 同理， 可推导出满足 Y、 Z 轴的 vy a、 v z a为 vy a= v y b= 2eAymax cos|( jk +1 jk) 槡 | ( 17) vza= vzb= 2eAzmax cos|( kk +1 kk) 槡 | ( 18) 式中j、 k 速度方向上在 Y、 Z 轴上的单位矢量 Axmax、 Aymax、 Azmax是各轴最大允许加

17、速度参数， 则 衔接处由于最大允许加速度限制， 其衔接处的最大 速度不大于式( 10) 中计算所得最小值， 即 va= vb= min( vx a， v y a， v z a) ( 19) 当第 k + 1 和第 k 的速度方向矢量相等时即 ik +1= ik， jk +1= jk， kk +1= kk， 表明在同一条直线上， 则 此时衔接速度保持其编程所需最大速度 vprog。从 式( 15) 看出， 衔接处进给速度与两个线段间的夹角 有关， 也就是说与被加工对象的几何构造相对应的， 夹角小， 则两个线段走向一致， 夹角大， 则线段方向 差别大。 4进给速度求解 在进给速度求解方法问题上，

18、采用双向扫描算 法的小线段速度规划方法18 ， 对加工路径的正反向 扫描， 通过满足小线段路径的几何特性和机床的物 理限制等多种约束的衔接点进给速度的可行域求解 进给速度; 对速度规划后的残余长度， 采用减速段中 平摊处理， 或采用空间直线与圆弧相互连接的计算 公式再进一步计算19 20 。上述方法计算工作量大， 特别是需处理的段数较多时， 资源占用大; 另外其规 划基于直线加速度情况， 与高档数控系统还有一定 差距。本文先确定转折处和编程进给速度约束， 采 用逆推解法来解决计算中的复杂性问题。 动态规划中在已知初始状态 v1或者终止状态 vn 情况下， 其求解方法分为逆推解法和顺推解法。 所

19、谓逆推解法即为已知初始状态， 利用规划得 到从当前 k 阶段状态到最终的 n 阶段状态所得效益 最大， 即当前状态和决策变量， 可使以后按此状态发 展下去的阶段的最优函数值有最大收益。而顺推解 法是在已知终止状态情况下， 利用规划得到从第 1 阶段到当前 k 阶段状态所得效益最大。已知终止 状态的顺推法和已知初始状态的逆推法在本质上是 一样的， 相当于把一个的起点看成另一个的终点。 设程序预读 N 段代码， 在这 N 段代码中， 需满 足 5 个轴联动运动方式， 即各轴同时完成自身应该 533第 6 期谢东 等:高速加工运动性能预测方法研究 走的距离， 并不超过自身约束， 则各轴完成一个 S

20、形 的加速度过程， 将式( 4) 、 ( 5) 表示成为 vik， e= vik， stk+ 1 4 Jikt2 k ( 20) sik= viktk+ 1 8 Jikt3 k ( i X， Y， Z， A， C ) ( 21) 式中sik 各轴在第 k 段运行的长度 vik 初始速度 Jik 各轴运动时的加加速度 tk 本段运行时间 数控机床的协调运动， 使得各轴的运动时间应 该是一样的， 对于各轴有不同的位移和初始速度， 各 轴 J 的取值是不一样的。根据上述约束条件要求， 当某一轴的 J 达到极限时， 其他轴的 J 值是不能超 过其自身 J 的极限值。 J 值的选取需考察哪一个轴会达到其

21、最大值情 况， 对于已知的线段长度而言， 其加速和减速点状态 表现应该满足一致性和协调性要求， 即假设从起点 Pk到终点 Pk +1点， 则对于同一直线段有 vik= Pik +1 Pik lPk +1Pk vk= sik sk vk( 22) 式中vk 第 k 段的总体速度 vik 各轴速度 代入式( 20) 可得 Jik= sik sk Jmax( 23) Jmax为本段最大合成加加速度， 当 sik越长， 其对 应 Jimax越大， 则最大约束轴可由其对应最长位移的 轴来确定， 以此作为控制变量 J 的取值。 由于在动态规划状态方程求解中， 在求出当前 第 k 段的速度 vk时， 除满足

22、上述条件外， 还需要对从 第 k 到 n 段的性能指标进行计算， 计算工作量是 n k次， 且解 3 次方程非常复杂。而在有多个后续 状态约束下， 按照上述方式的求解降低了计算效率， 根据以时间最短、 进给速度最大化为目标的预测目 的， 将当前段状态速度满足后续性能指标最优化的 求解方法作一个优化， 主要从以下 3 方面入手， 以解 决求解最优指标的复杂性。 ( 1)假设在后续的微小线段中， 存在路径长度 和参数制约而产生的进给速度低于当前段速度情况 时， 当前段速度是否能满足其降速需要。 假设在 k 段后的 m 段速度降到零， 以当前进给 速度 vk， 运行 m 段后， 在第 k + m 段

23、末速度为零。从 上述论述可知， 采用从第 k + m 段开始反向递推到 第 k 段， 其对应速度记为 vkf， 则需满足 vk v kf ( 24) ( 2)满足剩余位移量可以减速到零， 即当前段 规划速度 vk能够满足以最大加加速度方式到达终点 时速度为零的距离， 即 vk ( n j = k+1 s )j 2 J max 1 3 ( 25) ( 3)满足下一段的运行最低速度要求。由于有 约束条件的限制， 满足下一段最低速度降速要求就 可。即以第 k + 1 段转折速度为初始速度，位移量 为 Sk +1， 以最大加加速度， 反向递推到当前速度 v k， 即 vkTf( sk +1， vk +

24、1， Jk +1)( 26) 上述 3 方面考虑可使求解最优值问题简化， 减 少计算工作量和规划的繁琐性， 使动态规划实施过 程效率得到提高。 5进给速度预测仿真 以某试件型面作为研究对象进行实际速度预 测。该试件为薄壁非连续光滑曲面， 取其中一面精 加工路径， 其代码描述的 5 个轴位置指令增量位移 如图 3 所示， 利用 345 个程序段的精加工路径进行 分析， G 代码对各轴指令是非连续， 其对应各轴运动 指令见图 4 所示。 图 3精加工路径指令描述图 Fig 3Specimen finishing path instruction 图 4各轴位移指令图 Fig 4Displaceme

25、nt instruction of each axis 从指令曲线看出， 由于由许多微小线段组成， 使得其五轴联动加工指令都不连续。以微小线段 各轴位移指令为已知量， 对其各段运动速度进行 规划。 首先是数据归一化处理， 将各运动轴位移增量 以及约束条件转化为脉冲数， 以避免转动轴与平动 轴计算时的单位换算关系， 时间上以一个插补周期 为时间单位来计算。以每段平均速度为各段运行速 633农业机械学报2 0 1 4 年 度作为输出观察结果。 设置相关约束参数， 其中各轴加加速度最大值 Jmax取10000 mm/s3， 加速度最大值 Amax取 500 mm/s2， 速度最大值 Vmax取15

26、m/s， 程编速度设为110 mm/s。 在动态规划的状态方程求解过程中， 当 m 个后 续减速段的取值选择不同时， 得到的预测结果有较 大差异， 它主要表现在进给速度的最大值上， 不同 m 取值下的速度曲线如图 5 所示。 图 5轮廓表面进给速度曲线 Fig 5Surface feed rate curve 当 m 取值较小时， 为了保证当前段的速度 vk在 经过 m 段后降到零， 所以整体规划的速度是较小 的。m 取值大时， 整体速度高， 但计算量大。 仿真结果表明， 当 m 取值增加到某一值( 这里 是 64) ， 速度曲线就已经达到最大值( 即规划的最优 值) ， 再增加 m 的取值已

27、经没有意义。无论 m 的取 值如何， 图 5 圆圈对应处， 进给速度的跌落十分明 显， 这些进给速度跌落位置表明了刀具在此位置的 速度大大低于其他位置， 刀具在该位置点的进给速 度低， 停留时间长， 加速度大且正负跳变， 见图 7， 是 刀痕遗留的重点观察点位。 加加速度 J 的不同取值对进给速度也有着一定 的影响， 如图 6 所示， 不同轴的 J 的调整， 使其最终 轮廓进给速度有差异。各轴的 J 值初始设置为 10 000 mm/s3， 选择后续规划段数 m = 32， 分别设置 X 轴的 Jxmax增加到 15 000 mm/s3， 或者 Y 轴的 Jymax， X/Y 轴的 Jxmax

28、、 Jymax同时增加， 以及 A/C 轴的 Jamax、 Jcmax同时增加， 考察 J 变化对进给速度影响。当加 加速度变化时， 进给速度将跟随约束轴的不同而变 化， 约束轴作用位置不同， 则其进给速度增大的表现 位置是不同的。 从图 6 中看出， 当只设置某一个轴的 J 值增加 时， 即图中对应 Jxmax增加曲线或 Jymax增加曲线， 发现 只有在该轴起作用的程序段， 整体速度有所提高， 而 其他位置并没有变化。 当 X、 Y 两个主要限制轴的 J 值都增加时( Jxmax 和 Jymax增加对应曲线) ， 发现则其整体进给速度在 图 6 J 值增加时的进给速度曲线 Fig 6Fee

29、d rate curve of different J value increasing 局部点位会有提升， 但其进给速度平稳性受到影响， 速度变化会有明显增加。旋转轴 J 值变化对进给速 度增加贡献不大， 仿真实验表明无论 A、 C 或者 AC 轴同时加大时， 进给速度没有明显变化。 图7 是在进给速度基础上得到的加速度曲线， 可以看到， 速度变化大对应的位置处， 其加速度是 较大， 这些点位将会作为重点考察点位进行考察 分析。图中 X、 Y 分别对应 Jxmax增加、 Jymax增加， XY 对应 Jxmax和 Jymax增加， AC 对应 Jamax和 Jcmax增加 4 种情况。 图

30、7加速度曲线 Fig 7Acceleration curve 图 8 得到 4 种情况下的加加速度 J 控制量的变 化图， 图 9 是加加速度 J 在进给过程中起作用约束 轴的分布。 图 9 可以看出， 在 J 值变化时， 各轴作用的变化 差异还是比较大的， 根据提出的 J 值作用规则， 当对 应某个 J 值增加时， 它与其对应位移比值会发生变 化， 从而引起约束条件的改变。 从整体精加工路径的运动时间看到， 采用不同 的 m 值， 其加工时间有一定差别。几种情况运行时 间结果比较如表 1 所示。 从表 2 中看到， 在 m 确定的情况下， Jimax的调整 时间得到了一定的缩短， 但不显著。

31、所以， 加加速度 的调整对加工时间的贡献不明显。 在五轴联动数控机床上进行了实际切削实验， 切削加工示例如图 10 所示。 733第 6 期谢东 等:高速加工运动性能预测方法研究 图 8加加速度曲线 Fig 8Jerk curve ( a)Jxmax增加( b)Jymax增加 ( c)Jxmax和 Jymax增加( d)Jamax和 Jcmax增加 图 9点位对应约束指标分布图 Fig 9Distribution of constraint indicator ( a)Jxmax增加( b)Jymax增加 ( c)Jxmax和 Jymax增加( d)Jamax和 Jcmax增加 表 1不同的

32、m 取值的加工时间 Tab1Processing time in different m value m4163264 时间/s34. 348 30. 60029. 62329. 415 由表 1 中可得， 若规划中 m 取值小， 表明其前 瞻性不够， 则整体速度低， 运行时间长， 但速度相对 平稳。当 m 取值大时， 时间短， 但速度平稳性变差。 表 2不同的 Jimax取值的加工时间 Tab 2Processing time in different Jimaxvalue Jxmax 15 00010 00015 00010 000 Jymax10 00015 00015 00010 00

33、0 Jimax/( mm s 3) Jzmax10 00010 00010 00010 000 Jamax 10 00010 00010 00015 000 Jcmax10 00010 00010 00015 000 时间/s29. 487 29. 07228. 87229. 623 图 10某试件切削加工示例 Fig 10Example of a specimen machining 按照 m 为 32 的速度最优预测模型进行比较。 实际加工时间在几种 J 值调整中无明显变化， 其时 间为 36 s 左右( 测量起止时间、 起始和终止位置点 引起偏差) 。实际进给速度用各轴运动速度采样拟 合

34、， 与本文模型整体进给速度变化趋势一致， 且在 图 5所示圆圈位置有速度跌落和刀痕出现。在试件 刀痕点位置如图 11 所示， 与实际切削结果吻合。切 削实验中的刀痕见图 12 所示。通过实验验证本预 测方法的可行和正确性。 图 11刀痕点位置 Fig 11Position of tool marks 6结束语 针对高速微段连续加工提出一种运动性能的预 测模型， 采用了 S 加减速曲线， 通过转折点位速度约 束和编程速度约束， 考虑各轴协调运动， 利用动态规 833农业机械学报2 0 1 4 年 图 12切削实验中的刀痕 Fig 12Tool marks in cutting test 划方法做

35、出进给速度预测模型， 考察了高速微段加 工中机床动态参数加加速度、 加速度、 进给最大速度 极限约束值对进给速度影响， 分析出对于不同加加 速度的轴作用分布。通过预测， 发现零件几何构造 和机床的动态参数设置对刀具进给速度影响大， 当 几何图形上转折大时， 其进给速度的跌落大， 并使速 度平稳性受到影响， 在特征位置表现出零件精度和 表面质量下降。通过仿真和实验验证本预测方法的 有效性， 为复杂型面实际切削速度预估和由于动态 特性引起的表面质量分析和精度分析提供重要依据。 参考文献 1Sencer B，Altintas Y，Croft E Modeling and control of con

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46、31 ( in Chinese) 15朱晓春，屈波，孙来业， 等 S 曲线加减速控制方法研究 J 中国制造业信息化， 2006， 35( 23) : 38 40 Zhu Xiaochun，Qu Bo，Sun Laiye，et al Study on the accelaration/decelaration control method for S- curve J Manufacture Information Engineering of China， 2006， 35( 23) : 38 40 ( in Chinese) 16李端，钱富才，李力， 等 动态规划问题研究 J 系统工程理论与

47、实践， 2007( 8) : 56 64 17李建刚，吴响亮，李泽湘， 等 连续加工路径的进给速度规划算法研究 J 哈尔滨工业大学学报， 2009， 41( 3) : 29 32 Li Jiangang，Wu Xiangliang，Li Zexiang，et al A blended feedrate planning algorithm for continuous tool path J Journal of Harbin Institute of Technology， 2009， 41( 3) : 29 32 ( in Chinese) 18黄昕，李迪，李方， 等 基于双向扫描算法的小

48、线段速度规划 J 计算机集成制造系统， 2009， 15( 11) : 2188 2192 Huang Xin，Li Di，Li Fang，et al Micro line blocks velocity planning based on bidirectional scan algorithm J Computer Integrated Manufacturing Systems， 2009， 15( 11) : 2188 2192 ( in Chinese) 19杨林，张承瑞，王科， 等 高速加工中的速度规划与段间连接 J 上海交通大学学报， 2010， 44( 1) : 40 45 933第 6 期谢东 等:高速加工运动性能预测方法研究 Yang Lin，Zhang Chengrui，Wang Ke，et al Speed planning and segment connection in high speed machining J Journal of Shanghai Jiaotong University， 2010， 44( 1