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1、加法原理与乘法原理练习选讲,乐丰中学 李祝锋,作业讲评,1、有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中取出数学书、语文书、英语书各一本，共有多少种取法？,解：考虑到完成整个事件要分三步： 第一步：取数学书，有10种取法； 第二步：取语文书，有9种取法； 第三步：取英语书，有8种取法， 依分步计数原理可知不同取法种数为： 1098=720种,作业讲评,2、商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买1件上衣或1条裤子，共有多少种选法？若要买上衣、裤子各1件，共有多少种选法？,解：第一问中，要完成整个事件，有2类不同的方法， 第一类：买1件上衣，有15种选法； 第二类：买1条裤子，
2、有18种选法， 依分类计数原理可知，共有15+18=33种不同选法。 第二问中，要完成整个事件要分2步， 第一步：买1件上衣，有15种选法， 第二步：买1条裤子，有18种选法， 依分步计数原理可知，共有1518=270种不同选法。,思考题,1、5名应届高中毕业生报考三年重点院校，每人报且仅报一所院校，有多少种不同的报名方法?,解:由题意可得，这5名高中毕业生都要参加报考，故完成整个事件需分5步完成， 第一步：第一名高中生报考可报考三所重点院校中的任意一个，有3种不同方法； 第二步：第二名高中生报考也是如此，也有3种不同报考方法，以此类推，依分步计数原理可得，共有不同的报考方法： 33333=3
3、5=243种不同报考方法 注：这里可能出现5个人报考了同一所大学的情况，但每个人都必须报考。 思考:为什么不是53？,变式训练,1、3人住宿，共有5间房，每个人可住任一间房，共有多少种不同的住法？ 2、3人住宿，共有5间房，每个人可住任一间房，且每间房只允许住一人，共有多少种不同的住法？ 思考：为什么这两题结果不同？它们最本质的不同在地方？,思考题,2、某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一种，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各1人，有多少种不同的选法？,6,2,1,英语,日语,英语和日语,分析：注意到7+39，故在这9人中必有1人既会说英语又会说日语，在选人时要特别注意
4、，不要出现重复选择。,解：分类：第一类：会说英语又会说日语的1人选出来说英语，另一人则从只会说日语的2人中选出1人即可，有2种选法； 第二类：会说英语又会说日语的1人选出来说日语，另一人则从只会说英语的6人中选出1人即可，有6种选法； 第三类：会说英语又会说日语的1人不选，则从只会英语和只会日语的人中各选1人，有26=12种选法， 所以共有2+6+26=20种不同选法 注：当又有分类，又有分步时，应先分类再分步考虑。,思考题,3、甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同的取法？,分析：如果先从甲开始取，有几种选择？,下图是四个人的贺卡：假设甲拿了
5、乙的,甲,乙,丙,丁,甲,乙,丁,丙,丁,乙,丙,丙,丁,乙,假如甲拿了丙的,甲,乙,丙,丁,甲,乙,丁,丙,丁,丙,乙,丙,丁,乙,假如甲拿了丁的,甲,乙,丙,丁,甲,丁,丙,乙,乙,丁,丙,乙,丙,丁,以上是以分类的角度考虑，从甲入手，分了三类，各有3种，共有9种不同取法，通过图形看得很清晰。 思考：清晰是清晰，可是比较繁，有没有比较简便的方法呢？ 上述问题能不能分步考虑呢？如果能又是如何考虑呢？ 让我们回到刚才的图形中：,具体图形如下：,甲,乙,丙,丁,第一步,考虑甲的情况，有3种不同的选择,第二步,第一步中甲取了谁的卡片，就考虑 谁的选择，仍有3种选择,第三步,考虑余下两人的选择，都是
6、各有 1种选择,第四步,共有3311=9种不同取法,练习精讲,1、乘积(a+b+c)(m+n)(x+y)展开后，共有（ ）项 A、5 B、6 C、 7 D、12 解析：展开式中的项应为三个字母的乘积，要完成整个事件，需分三步， 第一步：从第一个括号中任取一个，有3种取法； 第二步：从第二个括号中任取一个，有2种取法； 第三步，从第三个括号中任取一个，有2种取法， 故依分步计数原理，共有322=12种不同取法，选D,D,2、设a、b为异面直线，a上有5个点，b上有6个点，则过a与b上的点可确定的不同平面的个数为（ ） A、30 B、11 C、60 D、75 解析：由公理3的推论“经过一条直线及直
7、线外一点可以确定一个平面”可知： 完成整个事件可分为两类： 第一类：直线a与直线b上的6个点可确定6个平面； 第二类：直线b与直线a上的5个点可确定5个平面，依分类计数原理可知，共11个，故选B,B,3、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线连接，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从A点向B点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ） A、26 B、24 C、20 D、19,解析：由图可知，由A点向B点传递信息，可以沿四条路线传递： A-C-D-B,最大传递量为3 A-C-M-B，最大传递量为4 A-E-F-B
8、，最大传递量为6 A-E-N-B，最大传递量为6 所以可得最大信息量为3+4+6+6=19，选D,想一想为什么？,4、从数字1、2、3、4、5、6中取两个数相加，其和是偶数，共有多少个偶数？ 解析：偶+偶=偶，奇+奇=偶 故完成整个事件分为两类： 第一类：从1、3、5三个奇数中任取两个相加，其和为偶数，共有3个； 第二类：从2、4、6三个偶数中任取两个相加，其和也为偶数，共有3个； 由分类计数原理可得共有3+3=6个偶数 思考：1+5=2+4，3+5=2+6，要不要去掉其中的一个？为什么？,5、三边长均为正整数 ，且最大边边长为11的三角形共有多少个？ 解析：设另两边边长分别用x,y表示，且不
9、妨设1xy11，要构成三角形，必须满足x+y12，分类讨论如下： （1）、当y取11时，x=1,2,3,11,可构成三角形11个； （2）、当y取10时，x=2,3,4,10,可构成三角形9个； （3）、当y取9时，x=3,4,5,9,可构成三角形7个；,（4）、当y取8时，x=4,5,6,7,8,可构成三角形5个； （5）、当y取7时，x=5,6,7,可构成三角形3个； （6）、当y取6时，x=6,可构成三角形1个， 由分类计数原理，共能构成不同的三角形 11+9+7+5+3+1=36个 思考：若其他条件不变，最大边边长变为21呢，则符合要求的三角形有多少个呢？ 若最大边变为2011呢？又有
10、多少个？你发现了什么规律，请给出一般性的结论！,6、将三封信投入4个信箱，有多少种不同的投递方法？ 解析：因为信一定要寄完，每封信可投入任一信箱，故由分步计数原理可知： 共有不同投递方法：444=43=64种不同投递方法。 思考：为什么不是34呢？这种问题如何区分呢？ 思维技巧：把信和信箱看作两种资源，哪种资源使用完，哪种作指数，哪种资源不一定使用完，哪种作底数！大家回忆前面所解决的住宿问题和高中毕业生的报考问题，看看是否如此？,7、已知集合A=a1,a2,a3,a4,集合B= b1,b2,其中ai,bj(i=1,2,3,4; j=1,2)均为实数。 （1）、从集合A到集合B能构成多少个不同的
11、映射？ （2）、能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？,a1 a2 a3 a4,b1 b2,A,B,解析：（1）、因为在集合A中任何一个元素与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步计数原理可知，可构成A到B的映射有2222=16个 （2）、在（1）中a1,a2,a3,a4 均对应同一元素 b1 或 b2 的情形不构成以A为定义域，以B为值域的函数，这样的映射有2个，所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有16-2=14个。 规律总结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从A到B的映射共有 个。,具体情况如下图,a1 a2 a3 a4,b1 b2,A,B,a1 a2 a3 a4,b1 b2,A,B,亲爱的同学们，今天的课到此结束， 再见！,