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1、第五节 向心加速度,基础知识梳理,一、速度变化量v 1.v的求法 从同一点O作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2，从初速度矢量v1的末端至末速度矢量v2的末端作一个矢量v,矢量v就等于速度的变化量. v1、v2及v的关系，如图5-5-1所示.,2.在直线运动中，v与v的方向可以相同，也可以相反；在曲线运动中，v1、v2和v不在同一直线上，但v同样能用上述方法求得. 注意：任何一个矢量的变化量的求法都与v的求法类似.,图5-5-1,二、向心加速度 1.定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向_,这个加速度被称为向心加速度. 2.公式：an=_或an=_. 注意：an、v三个量具有瞬时对应
2、关系.,圆心,2r,v2/r,核心要点突破,一、向心加速度的推导 如图5-5-2所示，物体从A点经时间t沿圆周匀速率运动到B点，转过的角度为，物体在B点的速度vB可以看成是它在A点的速度vA(vA=vB=v)和速度的变化量v的合速度，如图所示.,当t趋近于0时，也趋近于0，B点接近A点，v与vA垂直，指向圆心.所以向心加速度方向沿半径指向圆心. 因为vA、vB和v组成的三角形与OAB是相似三角形，所以v/AB=vA/r,图5-5-2,即v=_ 将上式两边同时除以t,得 v/t=AB/tv/r 等式左边v/t即为向心加速度an的大小，当t趋近于0时，AB/t等于匀速圆周运动的线速度v，代入上式整
3、理得an=v2/r. 将v=r代入上式可得 an=2r,ABvA/r,1.根据加速度的定义a=v/t及牛顿第二定律F=ma可知，v、a、F三个量的方向始终相同. 2.匀速圆周运动中，虽然速度的大小不变，但速度变化量并不为零，即加速度不为零.,特别提醒,二、对向心加速度的进一步理解 1.向心加速度的方向：向心加速度总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变，不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动.,2.向心加速度的大小 （1）几种表达式：除课本给出的an=v2/r,an=2r之外，还有另外的几种形式，将=2/T=2f及v=r
4、代入an=2r可得an= r=42f2r=v. （2）与半径的关系：从公式an=v2/r看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式,an=2r看，向心加速度与半径成正比，向心加速度究竟与半径成正比还是成反比呢？这要看前提条件，当线速度大小恒定不变时，由公式an=v2/r得知an与r成反比；当角速度恒定不变时，由公式an=2r得知an与r成正比.所以要判断向心加速度与半径成正比还是反比,一定要先弄清是线速度v不变,还是角速度不变.,3.向心加速度的物理意义:由于向心加速度方向时刻指向圆心,没有在线速度方向上的分量,所以向心加速度不能改变线速度的大小,只能改变线速度的方向,即向心加速度是描述线速
5、度方向改变快慢的物理量. 4.向心加速度与合加速度的关系 （1）物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体运动的合加速度.,（2）物体做非匀速圆周运动时,合加速度必有一个沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量,其指向圆心方向的分量就是向心加速度,此时向心加速度仍然满足an=v2/r=2r. 由上述分析可知,物体做圆周运动的加速度不一定指向圆心,向心加速度只是物体实际加速,度的一个分量,只有做匀速圆周运动的加速度才一定指向圆心;但向心加速度方向是始终指向圆心的,其大小表达式an=v2/r=2r适用于所有圆周运动,式中的v指某个瞬间的瞬时线速度大小,an即指那个瞬间的瞬时向心加速度大小.,课堂互动讲练
6、,（2010年桂林高一检测）如图5-3-3所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线.表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线.由图线可知（ ）,A.质点P的线速度大小不变 B.质点P的角速度大小不变 C.质点Q的角速度随半径变化 D.质点Q的线速度大小不变,【解析】由题图图象知,质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲线,因此可以断定质点P的向心加速度aP与半径r的乘积是一个常数k,即,图5-3-3,aPr=k,aP=k/r,与向心加速度计算公式aP=v2/r对照可得v2=k,即质点的线速度v= ,大小不变,A选项正确. 同理,知道质点Q的向心加速度aQ
7、=kr与a=2r对照可知2=k,= （常数）,质点Q的角速度保持不变,因此选项C、D皆错误.,【答案】A 【点评】（1）应用an=2r=v2/r进行定性讨论两个量之间的关系时，一定要保持第三个量不变，否则不能确定这两个量之间的关系； （2）利用该式进行计算时一定要明确r的含义，即物体做圆周运动的轨道半径.,1.关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是（ ） A.它描述的是线速度方向变化的快慢 B.它描述的是线速度大小变化的快慢 C.它描述的是角速度变化的快慢 D.它描述的是转速变化的快慢,解析：选A.匀速圆周运动的线速度大小和角速度都是不发生变化的,转速变化的快慢与角速度的变化快慢是对应的,
8、所以B、C、D是错误的.,如图5-4-4所示，半径为R的半球形碗内有一物体A，当碗绕竖直轴OO匀角速度转动时，物体A在离碗底高h处紧贴着碗随碗一起做匀速圆周运动，而不发生相对滑动.求小物体的向心加速度.,图5-4-4,【解析】物体A在水平面内做匀速圆周运动,其运动轨迹如题图中虚线所示的圆,其圆心为O,设该圆的半径为r,则有 R2=（R-h）2+r2 得r= 所以向心加速度大小为A=2 方向沿水平方向指向O.,【答案】见解析 【点评】画圆找“心”是确定做圆周运动的物体向心加速度大小和方向的重要一步,同学们在分析圆周运动问题时,切不可少了这一重要步骤.,2.（2010年江苏泰兴中学高一检测）如图5
9、-5-5所示,半径为R的圆环竖直放置,一轻弹簧一端固定在环的最高点A,一端系一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为 R.将小球从静止释放,释放时弹簧恰无形变,球运动到环的最低点时速率为v,这时小球向心加速度的大小为（ ）,A.v2/R B.v2/2R C.3v2/2R D.3v2/4R,图5-5-5,解析：选A.小球沿圆环运动,其运动轨迹就是圆环所在的圆,轨迹的圆心就是圆环的圆心,运动轨迹的半径就是圆环的半径,其向心加速度的大小为v2/R，加速度方向竖直向上，正确选项为A.,如图5-5-6所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2,图5-5-6,r3为固定
10、在从动轮上的小轮半径.已知r2=2r1,r3=1.5r1.A、B、C分别是3个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是（假设皮带不打滑）（ ） A.123 B.243 C.843 D.362,【解析】因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率，根据向心加速度公式： an=v2/r可得:aAaB=r2r1=21 由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同，根据向心加速度的公式： an=2r可得:aBaC=r2r3=21.5 由此可得aAaBaC=843.,【答案】C 【点评】解决传动问题,首先弄清哪些物理量相等,挖掘隐含条件是解题关键.在讨论中,若两点
11、线速度大小相等,用=v/r讨论与r的关系较为方便;若两点角速度相等,用v=r讨论v与r的关系较为方便.,3.（2010年武汉调研）在图5-5-7中,A、B为咬合传动的两齿轮，rA=2rB，则A、B两轮边缘上两点的（ ） A.角速度之比为21 B.向心加速度之比为12 C.周期之比为12 D.转速之比为21,图5-5-7,解析：选B.根据两轮边缘线速度相等,由v=r得,角速度之比为AB=vArB（vBrA）=12,故A错;由an=v2/r得向心加速度之比为aAaB=v2ArB（v2BrA）=12,故B对；由T=2r/v得周期之比为TATB=rAvB（rBvA）=21，故C错；由n=/2=v/2r得转速之比为nAnB=AB=12,故D错.,随堂达标自测,课时活页训练,