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1、正态分布，也称常态分布，是统计学中一种应用广泛的连续分布，用来描述随机现象。首先由德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss 1777-1855）发现，所以亦称高斯分布。 正态分布现大量应用于误差分析，及质量管理上 ,可以这样说，没有正态分布，就没有数理统计，没有正态分布，就没有现代化企业。,Carl Friedrich Gauss,正态分布的定义是什么呢？,对于连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数.,一、正态分布的定义,如果连续随机变量的概率密度为 ：,记作,f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布.,正态
2、分布有些什么性质呢？,由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点.,正态分布 的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？,容易看到，f(x)0,即整个概率密度曲线都在x轴的上方;,故f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大值:,令x=+c, x=-c (c0), 分别代入f (x), 可得,f (+c)=f (-c),且 f (+c) f (), f (-c)f (),这说
3、明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴. 即f (x)以x轴为渐近线.,当x 时，f(x) 0,为f (x)的两个拐点的横坐标.,x = ,拐点坐标为 ,在 内是凸的,其它范围内是凹的。,根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.,二、正态曲线（ normal curve ）,图形特点： 钟型 中间高 两头低 左右对称 最高处对应于X轴的值就是均数 曲线下面积为1 标准差决定曲线的形状,决定曲线的位置，决定曲线的“胖瘦”,（4）服从正态分布的总体特征,产品尺寸这一典型总体，它服从正态分布。,它的特征：生产条件正常稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件
4、都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素。,一般地，当一随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起到压倒其他因素的作用时，这个随机变量就被认为服从正态分布。,用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图.,从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布.,下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图.,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布.,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点.,请大家想一想，实际生活中以及工作种具有这
5、种特点的随机变量还有哪些呢？,除了我们在前面遇到过的年降雨量外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.,正态分布由它的两个参数和唯一确定， 当和不同时，是不同的正态分布.,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,二、标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.它的依据是下面的定理：,根据定理1,只要将
6、标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,则,N(0,1),设,定理1,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,三、正态分布表,表中给的是x0时, (x)的值.,当-x0时,若,N(0,1),若 XN(0,1),利用下表，可求出标准正态总体在任一区间内 取值的概率。,即，可用如图的蓝色阴影部分表示。,公式：,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,四、3 准则,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,这在统计学上称作“3 准则”。,