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1、第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念(第一课时)学习目标会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号“y=f(x)”的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学生学习数学的兴趣及抽象概括的能力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识;掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:给出下列三种对应:(幻灯片)一枚炮弹发射后,经过
2、26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.这里,炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=t|0t26,炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B=h|0h845.则有对应:f:th=130t-5t2,tA,hB.近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106km2)随时间t(单位:年)从19792001年的变化情况.南极臭氧层空洞的面积根据图中的曲线可知,时间t的变化范围是数集A=t|1979t2001,臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B=S
3、|0S26,则有对应:f:tS,tA,SB.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间(年)19911992199319941995199619971998199920002001城镇居民家庭恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9请仿照描述此表中恩格尔系数与时间(年)的关系.请同学们思考以上三个对应有什么共同特点?二、自主探索,尝试解决
4、以上三个对应的共同特点:三、信息交流,揭示规律问题2:函数的定义域是自变量的取值范围,那么如何理解这个“取值范围”呢?问题3:函数有意义又指什么?在研究函数时,除了用集合表示数的范围外,常会用到区间的概念.设a,b是两个实数,且ab.如下表所示:定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a,bx|axb开区间(a,b)x|axb半开半闭区间a,b)x|aa(a,+)x|xa(-,ax|x0时,求f(a),f(a-1)的值.【例2】求函数y=(x+1)2x+1-1-x的定义域.【例3】已知函数f(x)=x21+x2,那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=.五、
5、变式演练,深化提高1.设函数f(n)=k(kN*),k是的小数点后的第n位数字,=3.141 592 653 5,则fff(10)100=.2.已知A=a,b,c,B=-1,0,1,函数f:AB满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数f(x)有()A.4个B.6个C.7个D.8个3.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y=x2,值域是1,4的“同族函数”共有()A.9个B.8个C.5个D.4个4.若f(x)=1x的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R,则MN等于()A.MB.NC.UMD.UN六、反思小结,观点
6、提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?七、作业精选,巩固提高课本P24习题1.2 A组第1,5题.参考答案二、自主探索,尝试解决集合A,B都是数集,并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:AB下,在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.三、信息交流,揭示规律问题2:自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.问题3:函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足x+30,x+20.解得-3x-2,即函数的定义域是-3,-2)(-2,+).
7、(2)f(-3)=-3+3+1-3+2=-1;f(23)=23+3+123+2=38+333.(3)a0,a-3,-2)(-2,+),即f(a),f(a-1)有意义.则f(a)=a+3+1a+2;f(a-1)=a-1+3+1a-1+2=a+2+1a+1.【例2】答案:x|x1,且x-1.点评:本题容易错解:化简函数的解析式为y=x+1-1-x,得函数的定义域为x|x1.其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前,不要化简解析式.【例3】解析:法一:原式=121+12+221+22+(12)21+(12)2+321
8、+32+(13)21+(13)2+421+42+(14)21+(14)2=12+45+15+910+110+1617+117=72.法二:由题意得f(x)+f(1x)=x21+x2+(1x)21+(1x)2=x21+x2+11+x2=1.则原式=12+1+1+1=72.答案:72点评:本题主要考查对函数符号f(x)的理解.对于符号f(x),当x是一个具体的数值时,相应地f(x)也是一个具体的函数值.解法二没有分别求代数式中的每个函数值,而是看到代数式中含有f(x)+f(1x),故先探讨f(x)+f(1x)的值,从而使问题得以简单化.求含有多个函数符号的代数式值时,通常不是求出每个函数值,而是观
9、察这个代数式的特点,找到规律再求解.受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间,得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累.五、变式演练,深化提高1.分析:由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,则有fff(10)100=1.答案:12.解析:当f(a)=-1时,则f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个;当f(a)=0时,则f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1 或 f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件的函数有3个;当f(a)=1时
10、,则f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个.综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个).故选C项.答案:C点评:本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数.3.分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数.令x2=1,得x=1;令x2=4,得x=2.所有“同族函数”的定义域分别是1,2,1,-2,-1,2,-1,-2,1,-1,2,1,-1,-2,1,-2,2,-1,-2,2,1,-1,-2,2,则“同族函数”共有9个.答案:A4.分析:由题意得M=x|x0,N=R,则MN=x|x0=M.答案:A