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1、考点测试31等比数列高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度考纲研读1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系一、基础小题1在等比数列an中，已知a11，a48，则a5()A16 B16或16C32 D32或32答案A解析由a4a1q3，则q2，所以a5a4q16故选A2在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11()A10 B25 C50 D75答案B解析因为a7a12a8a11a9a105，所以a8a9a1
2、0a115225故选B3已知等比数列an的公比为正数，且a2a69a4，a21，则a1的值为()A3 B3 C D答案D解析设数列an的公比为q，由a2a69a4，得a2a2q49a2q2，解得q29，所以q3或q3(舍去)，所以a1故选D4已知等比数列an的前n项和Sna3n1b，则()A3 B1 C1 D3答案A解析等比数列an的前n项和Sna3n1b，a1S1ab，a2S2S13abab2a，a3S3S29ab3ab6a，等比数列an中，aa1a3，(2a)2(ab)6a，解得3故选A5若等比数列an满足anan116n，则公比为()A2 B4 C8 D16答案B解析由anan1aq16
3、n0知q0，又q216，所以q4故选B6设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则()A2 B C D1或2答案B解析设S2k，则S43k，由数列an为等比数列(易知数列an的公比q1)，得S2，S4S2，S6S4为等比数列，又S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，故选B7设an是由正数组成的等比数列，公比q2，且a1a2a3a30230，则a3a6a9a30()A210 B220 C216 D215答案B解析因为a1a2a3a，a4a5a6a，a7a8a9a，a28a29a30a，所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9a28a29a30(a2a5a8a29)3230所以a2a5a8a
4、29210则a3a6a9a30(a2q)(a5q)(a8q)(a29q)(a2a5a8a29)q10210210220，故选B8在数列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1)(n2，nN*)，则这个数列的前4项和S4_答案27解析由已知n2时，an2Sn1，an12Sn，an1an2an，即an13an(n2)，anS41261827二、高考小题9(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都
5、等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()Af Bf Cf Df答案D解析由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，设该等比数列为an，则a8a1q7，即a8f，故选D10(2018浙江高考)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1a2a3a4ln (a1a2a3)若a11，则()Aa1a3，a2a3，a2a4Ca1a4 Da1a3，a2a4答案B解析设f(x)ln xx(x0)，则f(x)1，令f(x)0，得0x1，令f(x)1，f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数，f(x)f(1)1，即有ln xx1从而a1a2a3a4ln (a1a2a3)a
6、1a2a31，a41，公比q0，矛盾若q1，则a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1q)(1q2)0，ln (a1a2a3)ln a10，也矛盾1q0从而q20，a1a3同理，q21，a2a2故选B11(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏 C5盏 D9盏答案B解析由题意可知，由上到下灯的盏数a1，a2，a3，a7构成以2为公比的等比数列，S7381，a13故选B12(2017北京高考)若等
7、差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_答案1解析设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为qa1b11，a4b48，a22，b22113(2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn已知S3，S6，则a8_答案32解析设等比数列an的公比为q当q1时，S33a1，S66a12S3，不符合题意，q1，由题设可得解得a8a1q7273214(2016全国卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_答案64解析设an的公比为q，于是a1(1q2)10，a1(qq3)5，联立得a18，q，an24n，a1a2an2321(4n)2n
8、2n222664，a1a2an的最大值为64三、模拟小题15(2018呼和浩特调研)已知等比数列an的公比q0，且a5a74a，a21，则a1()A B C D2答案B解析因为an是等比数列，所以a5a7a4a，所以a62a4，q22，又q0，所以q，a1，故选B16(2018安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2a416，S37，则a8()A32 B64 C128 D256答案C解析a2a4a16，a34(负值舍去)，a3a1q24，S37，S23，3q24q40，解得q或q2，an0，q2，a11，a827128故选C17(2018长沙统考)设首项为1，公
9、比为的等比数列an的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()ASn43an BSn32anCSn3an2 DSn2an1答案B解析由题意，ann1，Sn31n32n1，所以Sn32an，故选B18(2018唐山期末)在数列an中，已知a11，an12an，Sn为an的前n项和，若Sn为等比数列，则()A1 B1 C2 D2答案B解析由a11，an12an，得a22，a34，所以S1a11，S2S1a23，S3S2a37而Sn为等比数列，所以(3)2(1)(7)，解得1故选B19(2019陕西西安八校联考)设公比为q的等比数列an的前n项和为Sn，若S23a22，S43a42，则q_答案或1解析公
10、比为q的等比数列an的前n项和为Sn，且S23a22，S43a42，S4S2a4a33a43a2，即2q2q30，q或120(2018乌鲁木齐一诊)设正项等比数列an的前n项和为Sn，则以S1，S3，S4为前三项的等差数列的第8项与第4项之比为_答案解析设正项等比数列an的公比为q当q1时，S1a1，S33a1，S44a1显然不符合题意，所以q1因为S1，S3，S4为等差数列的前三项，所以S4S3S3S1，即a4a3a2，得a2q2a2qa2，所以q2q1，解得q(负值舍去)所以该等差数列的第8项与第4项之比为一、高考大题1(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an，设b
11、n(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an将n1代入，得a24a1，而a11，所以a24将n2代入，得a33a2，所以a312从而b11，b22，b34(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由题设条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n12(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1由已知得q44q2，解得q0(舍去)，
12、q2或q2故an(2)n1或an2n1(2)若an(2)n1，则Sn由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1由Sm63得2m64，解得m6综上，m63(2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3解设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1由a2b22得dq3(1)由a3b35得2dq26联立和解得(舍去)或因此bn的通项公式为bn2n1(2)由b11，T321得q2q200解得q5或q4当q5时，由得d8，则S321
13、当q4时，由得d1，则S36二、模拟大题4(2018陕西质检)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4an3(1)证明：数列an是等比数列；(2)若数列bn满足bn1anbn(nN*)，且b12，求数列bn的通项公式解(1)证明：当n1时，a14a13，解得a11当n2时，anSnSn14an4an1，整理得anan1，又a110，an是首项为1，公比为的等比数列(2)ann1，由bn1anbn(nN*)，得bn1bnn1当n2时，可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23n11，当n1时，上式也成立，所以数列bn的通项公式为bn3n115(2018湖北八校第一次联考)已知数列an满
14、足a11，a24，an24an14an(1)求证：an12an是等比数列；(2)求an的通项公式解(1)证明：由an24an14an得an22an12an14an2(an12an)22(an2an1)2n(a22a1)0，2，an12an是等比数列(2)由(1)可得an12an2n1(a22a1)2n，是首项为，公差为的等差数列，则ann2n16(2019江西南昌调研)已知数列an中，a11，anan1n，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n解(1)anan1n，an1an2n1，即an2anbna2na2n1，bn是公比为的等比数列a11，a1a2，a2b1a1a2bnn1(2)由(1)可知an2an，a1，a3，a5，是以a11为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以a2为首项，以为公比的等比数列T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3