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1、第三节函数的奇偶性与周期性考纲传真1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存
2、在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原
3、点( )(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称( )(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称( )(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期为2a的周期函数( )答案(1)(2)(3)(4)2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是( )A B.C. DB依题意b0，且2a(a1)，b0且a，则ab.3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )Ayxsin 2x Byx2cos xCy2x Dyx2sin xDA项，定义域为R，f(x)xsin 2xf(x)，为奇函数
4、，故不符合题意；B项，定义域为R，f(x)x2cos xf(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(x)2x2xf(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(x)x2sin x，f(x)x2sin x，因为f(x)f(x)，且f(x)f(x)，故为非奇非偶函数4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为( )A1 B0C1 D2Bf(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0，又f(x4)f(x)，f(8)f(0)0.5(教材改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，)上是减函数，且在区间a，b(ab0)上的值域为3,4，则在区间b，a上有( )A最大
5、值4 B最小值4C最大值3 D最小值3B法一：根据题意作出yf(x)的简图，由图知，选B.法二：当xb，a时，xa，b，由题意得f(b)f(x)f(a)，即3f(x)4，4f(x)3，即在区间b，a上f(x)min4，f(x)max3，故选B.(对应学生用书第14页)判断函数的奇偶性【例1】(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数C对于A：令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x
6、)h(x)，h(x)是奇函数，A错对于B：令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错对于C：令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函数，C正确对于D：令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D错(2)判断下列函数的奇偶性f(x)lg；f(x)ln(x)；f(x)；f(x).解由0得x1或x1，即函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，关于原点对称又f(x
7、)lglglgf(x)f(x)为奇函数f(x)的定义域为R，f(x)(lnx)lnln(x)f(x)，f(x)为奇函数由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数规律方法1.判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇
8、，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇2判断分段函数奇偶性应注意的问题判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性如本例(2)第小题 (1)设f(x)exex，g(x)exex，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )A|g(x)|是偶函数 Bf(x)g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是偶函数 Df(x)g(x)是奇函数Df(x)exexf(x)，f(x)为偶函数g(x)exexg(x)，g(x)为奇函数|g(x)|g(x)|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
9、，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)g(x)2ex，f(x)g(x)2ex(f(x)g(x)，且f(x)g(x)2exf(x)g(x)，所以f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.(2)判断下列函数的奇偶性f(x)ln(ex)ln(ex)；f(x)；f(x).解由得exe，即函数f(x)的定义域为(e，e)，关于原点对称又f(x)ln(ex)ln(ex)f(x)，所以函数f(x)是偶函数由2x10得x0，即函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称又f(x)f(x)，所以
10、函数f(x)是奇函数函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)21x21f(x)，当x0时，x0，则f(x)(x)21x21f(x)，综上所述，f(x)f(x)因此函数f(x)是奇函数函数奇偶性的应用【例2】(1)(2018全国卷)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_.(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则f(x)_.(3)函数f(x)为奇函数，则a_.(1)2(2)(3)1(1)由f(a)ln(a)14，得ln(a)3，所以f(a)ln(a)1ln 1ln(a)1312.(2)f(x)是定义在R上的奇
11、函数，f(0)0.又当x0时，x0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即f(x)x24x(x0)，f(x)(3)由题意得f(1)f(1)0，即2(a1)0，解得a1，经检验，a1时，函数f(x)为奇函数规律方法已知函数奇偶性可以解决的4个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由多项式恒等列出关于参数的方程或方程组，进而得出参数的值，也可利用特殊值求解.如利用f(1)f(1)直接求参数的
12、值.(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则g(f(8)( )A1 B2C1 D2(2)已知函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为( )A3 B0C1 D2(3)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则f(x)_.(4)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)_.(1)A(2)B(3)(4)(1)因为f(x)为奇函数，所以f(8)f(8)log392，所以g(f(8)g(2)f(2)f(2)log331.(2)设F(x)f(x)1x3sin
13、 x，显然F(x)为奇函数，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.故选B.(3)当x0时，x0，则f(x)ex1x，又f(x)f(x)，因此f(x)ex1x.所以f(x).(4)由题意知f(0)2020b0，解得b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)212(1)1.函数的周期性及应用【例3】(1)(2019沈阳模拟)函数f(x)满足f(x1)f(x)，且当0x1时，f(x)2x(1x)，则f的值为( )A. B.C D(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)2，且对任意的x都有f(x2)，则f(2 018)( )A2 B2C2 D2(3)
14、已知定义在R上的函数满足f(x2)，当x(0,2时，f(x)2x1.则f(1)f(2)f(3)f(2 018)的值为_(1)A(2)A(3)1 348(1)由f(x1)f(x)得f(x2)f(x)，即函数f(x)的周期为2，则ff2，故选A.(2)由f(x2)得f(x4)f(x)所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 018)f(2)又f(4)f(22)2，所以f(2)2，即f(2)2，故选A.(3)f(x2)，f(x4)f(x)，函数yf(x)的周期T4.又x(0,2时，f(x)2x1，f(1)1，f(2)3，f(3)1，f(4).f(1)f(2)f(3)f(2 018)504f(1)f(2
15、)f(3)f(4)f(50441)f(50442)504131 348.规律方法(1)判断函数周期性的方法,定义法：判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.,结论法：对f(x)定义域内任一自变量的值x，(2)函数周期性的应用,根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期. (1)(2019长沙模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)则下列函数值为1的是( )Af(2
16、.5) Bf(f(2.5)Cf(f(1.5) Df(2)(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 019)_.(1)D(2)1 010(1)由f(x1)f(x)知f(x2)f(x1)f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)f(0.5)1，f(f(2.5)f(1)f(1)1，f(f(1.5)f(f(0.5)f(1)1，f(2)f(0)1，故选D.(2)f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2.又当x0,2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(1)1.f(0)f(1)f
17、(2)f(3)f(4)f(5)f(2 018)f(2 019)1，f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010.函数性质的综合应用考法1奇偶性与单调性结合【例4】(2017全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是( )A2,2 B1,1C0,4 D1,3Df(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.故选D.考法2奇偶性与周期性结合【例5】(2017山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当
18、x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.6f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.考法3奇偶性、周期性与单调性结合【例6】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( )Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)D因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周
19、期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)故选D.规律方法函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(
20、3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解 (1)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是( )A. B.C. D.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x)f(x2)1，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.(3)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在0,1上单调递增，设af(3)，bf()，cf(2)，则a，b，c的大小关系是_(1)A(2)2.5(3)abc(1)因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上单调递增，f(2x1)f，
21、所以|2x1|，所以x.(2)由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)，故函数f(x)的周期为4.所以f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)，因为22.53，由题意，得f(2.5)2.5.所以f(105.5)2.5(3)由f(x1)f(x)得f(x2)f(x)，即函数f(x)的周期为2，则f(3)f(1)，f(2)f(0)，f()f(2)f(2)，由于021，且函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(3)f()f(2)，即abc.1(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.12法一：令x0，则x0.f(x)2x3x2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)2232212.法二：f(2)f(2)2(2)3(2)212.2(2015全国卷)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.1f(x)为偶函数，f(x)f(x)0恒成立，xln(x)xln(x)0恒成立，xln a0恒成立，ln a0，即a1.自我感悟：_