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1、第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法(第三课时) 学习目标 了解映射的概念及表示方法; 会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射; 感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用 性的进一步认识. 合作学习 一、设计问题,创设情境 前面学习了函数的概念:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一的数和它对应. (1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应. (2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应. (3)对于任意的三角形,都有唯
2、一确定的面积与之对应. 那么这些对应又有什么特点呢? 二、自主探索,尝试解决 问题 1:给出以下对应关系: 这三个对应关系有什么共同特点? 像问题中的对应我们称为映射,请给出映射的定义. “都有唯一”是什么意思? 函数与映射有什么关系? 三、信息交流,揭示规律 分组讨论归纳的结论: 四、运用规律,解决问题 【例 1】下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射? (1)A=P|P 是数轴上的点,B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)A=P|P 是平面直角坐标系中的点,B=(x,y)|xR,yR,对应关系 f:平面直角坐标系中 的点与它的坐标对应; (3)A=三角形,B=
3、x|x 是圆,对应关系 f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)A=x|x 是新华中学的班级,B=x|x 是新华中学的学生,对应关系 f:每一个班级都对应 班里的学生. 【例 2】下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射,为什么? (1)A=R,B=xR|x0,对应法则是“求平方”; (2)A=R,B=xR|x0,对应法则是“求平方”; (3)A=xR|x0,B=R,对应法则是“求平方根”; (4)A=平面内的圆,B=平面内的矩形,对应法则是“作圆的内接矩形”. 【例 3】设 f:AB 是 A 到 B 的一个映射,其中 A=B=(x,y)|x,yR,f:(x,y)(x-y,x+y),求:
4、 (1)A 中元素(-1,2)在 B 中对应的元素; (2)在 A 中什么元素与 B 中元素(-1,2)对应? 五、变式演练,深化提高 1.设映射 f:x-x2+2x 是实数集 R=M 到实数集 R=N 的映射,若对于实数 pN,在 M 中不 存在原象,则实数 p 的取值范围是( ) A.(1,+)B.1,+) C.(-,1)D.(-,1 2.设 f,g 都是由 A 到 A 的映射,其对应法则如下表(从上到下): 表 1 映射 f 的对应法则 原象1234 象3421 表 2 映射 g 的对应法则 原象1234 象4312 则与 fg(1)相同的是( ) A.gf(1)B.gf(2) C.gf
5、(3)D.gf(4) 3.设集合 A=a,b,c,集合 B=R,以下对应关系中,一定能建立集合 A 到集合 B 的映射的是 ( ) A.对集合 A 中的数开平方 B.对集合 A 中的数取倒数 C.对集合 A 中的数取算术平方根 D.对集合 A 中的数立方 六、反思小结,观点提炼 请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容? 七、作业精选,巩固提高 必做:课本 P23练习 4. 选做:已知下列集合 A 到 B 的对应,请判断哪些是 A 到 B 的映射?并说明理由. (1)A=N,B=Z,对应法则:“取相反数”; (2)A=-1,0,2,B=-1,0, ,对应法则:“取倒数”; 1 2 (3)A=1
6、,2,3,4,5,B=R,对应法则:“求平方根”; (4)A=0,1,2,4,B=0,1,4,9,64,对应法则 f:ab=(a-1)2; (5)A=N*,B=0,1,对应法则:除以 2 所得的余数. 参考答案 三、信息交流,揭示规律 集合 A,B 均为非空集合,并且集合 A 中的元素在集合 B 中都有唯一的元素与之对应. 一般地,设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A 到集合 B 的一个映射.记作“f:AB”. 如果集合 A 中的元素 x 对应集合 B 中的元素
7、 y,那么集合 A 中的元素 x 叫做集合 B 中的 元素 y 的原象,集合 B 中的元素 y 叫做集合 A 中的元素 x 的象. 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对 一或多对一. 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 四、运用规律,解决问题 【例 1】 解:(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内 的多个学生,是一对多,不符合映射的定义. 【例 2】解:(1)是映射,因为 A 中的任何一个元素,在 B 中都能找到唯一的元素与之对应. (2)不是从集合 A 到集合 B 的映射,因为 A 中的元素 0,在集
8、合 B 中没有对应的元素. (3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何 元素,在集合 B 中都有两个元素与之对应. (4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个 元素在集合 B 中都有无穷多个元素与之对应. 点评:本题主要考查映射的概念.给定两集合 A,B 及对应法则 f,判断是否是从集合 A 到集 合 B 的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:AB 的对应有“多对一”“一对一”“一对多”, 前两种对应是 A 到 B 的映射,而后一种不是 A 到 B 的映射. 【例 3】解:(1)A 中元素(-1,2)在 B
9、中对应的元素为(-1-2,-1+2),即(-3,1). (2)设 A 中元素(x,y)与 B 中元素(-1,2)对应, 则解得x - y = - 1, x + y = 2, x = 1 2, y = 3 2. 所以 A 中元素( , )与 B 中元素(-1,2)对应. 1 2 3 2 五、变式演练,深化提高 1.解析:方法一:由于集合 M,N 都是数集, 则映射 f:x-x2+2x 就是函数 f(x)=-x2+2x,其定义域是 M=R, 则有值域 Q=y|y1N=R.对于实数 pN,在 M 中不存在原象, 则实数 p 的取值范围是NQ=RQ=y|y1,即 p 的取值范围是(1,+); 方法二:
10、当 p=0 时,方程-x2+2x=0 有解 x=0,2, 即在 M 中存在原象 0 和 2, 则 p=0 不合题意,排除 C,D 两项; 当 p=1 时,方程-x2+2x=1 有解 x=1,即在 M 中存在原象 1,则 p=1 不合题意, 排除 B 项. 答案:A 点评:本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决 本题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值 域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度. 2.解析:f(a)表示在对应法则 f 下 a 对应的象,g(a)表示在对应法则 g 下 a 对应的象. 由表 1 和表 2,得 fg(1)=f(4)=1,gf(1)=g(3)=1,gf(2)=g(4)=2,gf(3)=g(2)=3,gf(4)=g(1)=4, 则有 fg(1)=gf(1)=1, 故选 A. 答案:A 3.解析:当 a0 时,对 a 开平方或取算术平方根均无意义,则 A,C 两项错;当 a=0 时,对 a 取 倒数无意义,则 B 项错;由于对任何实数都能立方,并且其立方仅有一个,所以对集合 A 中的数 立方能建立映射,故选 D 项. 答案:D