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1、课时作业课时作业 43 空间点、直线、平面之间的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置关系 1如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点， 则这四个点不共面的一个图是( D ) 解析：A、B、C 图中四点一定共面，D 中四点不共面 2(2019烟台质检)a，b，c 是两两不同的三条直线，下面四个命 题中，真命题是( C ) A若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面 B若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交 C若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等 D若 ab，bc，则 ac 解析 ： 若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 相交、平行或异面
2、 ； 若 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交、平行或异面 ； 若 ab，bc， 则 a，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知 C 正确 3若 m，n 为两条不重合的直线， 为两个不重合的平面，则 下列命题中正确的是( A ) 若直线 m，n 都平行于平面 ，则 m，n 一定不是相交直线； 若直线 m，n 都垂直于平面 ，则 m，n 一定是平行直线； 已知平面 ， 互相垂直，且直线 m，n 也互相垂直，若 m， 则 n； 若直线 m，n 在平面 内的射影互相垂直，则 mn. A B C D 解析 ： 对于，m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面，错误 ； 对于， 由线面
3、垂直的性质定理可知， m 与 n 一定平行， 故正确 ； 对于，还有可能 n，n 或 n 与 相交，错误； 对于，把 m，n 放入正方体中，如图，取 A1B 为 m，B1C 为 n， 平面ABCD为平面， 则m与n在内的射影分别为AB与BC， 且AB BC.而 m 与 n 所成的角为 60，故错误 4 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A 作直线 l， 使 l 与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，这样的直线 l 可以作( D ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析：如图，连接体对角线 AC1， 显然 AC1与棱 AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值 都为
4、 . 2 联想正方体的其他体对角线， 如连接 BD1，则 BD1与棱 BC，BA，BB1所成的角都相等， BB1AA1，BCAD， 体对角线 BD1与棱 AB，AD，AA1所成的角都相等， 同理，体对角线 A1C，DB1也与棱 AB，AD，AA1所成的角都相等， 过 A 点分别作 BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以作 4 条 5如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，长为 2 的线 段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1上运动，点 N 在正方体的底面 ABCD 内运动，则 MN 的中点 P 的轨迹的面积是( D ) A4 B C2 D. 2 解析
5、：连接 DN，则MDN 为直角三角形， 在 RtMDN 中，MN2，P 为 MN 的中点， 连接 DP，则 DP1， 所以点 P 在以 D 为球心，半径 R1 的球面上， 又因为点 P 只能落在正方体上或其内部， 所以点 P 的轨迹的面积 等于该球面面积的 ， 1 8 故所求面积 S 4R2 . 1 8 2 6在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在线段 AD1上运动，则异 面直线 CP 与 BA1所成的角 的取值范围是( D ) A0 B0 2 2 C0 D0 3 3 解析：连接 CD1，CA. A1BD1C，异面直线 CP 与 A1B 所成的角即为 CP 与 D1C 所 成的角
6、AD1C 是正三角形， 当 P 与 A 重合时，所成角最大，为 . 3 又P 不能与 D1重合(此时 D1C 与 A1B 平行，不是异面直线)， ，故选 D. ( 0， 3 7 如图， ABCD-A1B1C1D1是长方体， O 是 B1D1的中点， 直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是( A ) AA，M，O 三点共线 BA，M，O，A1不共面 CA，M，C，O 不共面 DB，B1，O，M 共面 解析：连接 A1C1，AC，则 A1C1AC， 所以 A1，C1，C，A 四点共面， 所以 A1C平面 ACC1A1， 因为 MA1C， 所以 M平面 ACC1A1， 又M平面
7、AB1D1， 所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 因为平面 ACC1A1平面 AB1D1AO， 所以 MAO， 所以 A， M， O 三点共线 8 直三棱柱 ABC-A1B1C1中， BCA90， M， N 分别是 A1B1， A1C1 的中点，BCCACC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( C ) A. B. 1 10 2 5 C. D. 30 10 2 2 解析：解法一：取 BC 的中点 Q，连接 QN，AQ，易知 BMQN， 则ANQ 或其补角的余弦值即为所求， 设 BCCACC12， 则 AQ，AN，QN，556 cosANQ. AN2NQ2AQ2 2ANNQ
8、565 2 5 6 6 2 30 30 10 解法二：以 C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 BCCACC12， 则 A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)， (1,0，2)，(1，1，2)， AN BM cos，.故选 C. AN BM AN BM |AN |BM | 14 5 6 3 30 30 10 9(2019西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与 MN 垂直 以上四个命题中，正确
9、命题的序号是 . 解析：还原成正四面体 A-DEF，其中 H 与 N 重合，A，B，C 三 点重合如图所示 易知 GH 与 EF 异面，BD 与 MN 异面 又GMH 为等边三角形， GH 与 MN 成 60角， 易证 DEAF，MNAF， MNDE. 因此正确的序号是. 10如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，C 是圆柱下底面 弧AB的中点， C1是圆柱上底面弧A1B1的中点， 那么异面直线AC1与BC 所成角的正切值为 .2 解析 ： 取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D，AD，如图 因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， 所以 ADBC，所以直线 AC1与 AD
10、 所成的角即为异面直线 AC1 与 BC 所成的角， 因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点， 所以 C1D圆 柱下底面，所以 C1DAD. 因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形， 所以 C1DAD，2 所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为， 所以异面直线 AC1与2 BC 所成角的正切值为 . 2 11如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，D 是 PC 的中点. 已知BAC ，AB2，AC2，PA2.求： 2 3 (1)三棱锥 P-ABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 解：(1)SABC 222， 1 2 33 三棱锥 P-ABC 的体积
11、为 V SABCPA 22. 1 3 1 3 3 4 3 3 (2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE， 则 EDBC，所以ADE 是异面直线 BC 与 AD 所成的角(或其补 角) 在ADE 中，DE2，AE，AD2，2 cosADE . 22222 2 2 2 3 4 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 . 3 4 12如图，已知二面角 -MN- 的大小为 60，菱形 ABCD 在平 面 内，A，B 两点在棱 MN 上，BAD60，E 是 AB 的中点，DO 平面 ，垂足为 O. (1)证明：AB平面 ODE； (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值 解：(1
12、)证明，DO，AB， DOAB. 连接 BD，由题意知，ABD 是正三角形 又 E 是 AB 的中点，DEAB. 而 DODED，AB平面 ODE. (2)BCAD，BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角， 即ADO 是异面直线 BC 与 OD 所成的角 由(1)知，AB平面 ODE，所以 ABOE. 又 DEAB， DEO 是二面角 -MN- 的平面角， 即DEO60. 不妨设 AB2，则 AD2，易知 DE . 3 在 RtDOE 中，DODEsin60 . 3 2 连接 AO， 在 RtAOD 中， cosADO .故异面直线 BC DO AD 3 2 2 3 4 与 O
13、D 所成角的余弦值为 . 3 4 13正四棱锥 P-ABCD 中，四条侧棱长均为 2，底面 ABCD 是正 方形，E 为 PC 的中点，若异面直线 PA 与 BE 所成的角为 45，则该 四棱锥的体积是( D ) A4 B2 3 C. D. 4 3 2 3 3 解析：如图所示，连接 AC，BD. 设 ACBDO，连接 PO，OE， O，E 分别是 AC 和 PC 的中点， OEPA，OE PA1， 1 2 则BEO 或其补角即为异面直线 PA 与 BE 所成的角 底面 ABCD 是正方形，BOAC， 又 POOB，POACO， BO平面 PAC，则 BOOE， BOE 是等腰直角三角形，OBO
14、E1， PO，BC，PB2OB232 则四棱锥 P-ABCD 的体积 V ()2，故选 D. 1 3 23 2 3 3 14如图是三棱锥 D-ABC 的三视图，点 O 在三个视图中都是所 在边的中点，则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于( A ) A. B. 3 3 1 2 C. D.3 2 2 解析：由三视图及题意得如图所示的直观图， 从A出发的三条线段AB， AC， AD两两垂直且ABAC2， AD1， O 是 BC 的中点，取 AC 中点 E，连接 DE，DO，OE，则 OE1，又 可知 AE1，由于 OEAB，故DOE 即为所求两异面直线所成的角 或其补角在直角三角形 DAE
15、 中，DE，由于 O 是 BC 的中点，2 在直角三角形 ABC 中可以求得 AO，在直角三角形 DAO 中可以2 求 得 DO.在 三 角 形 DOE 中 ， 由 余 弦 定 理 得 cos DOE3 ， 故所求异面直线 DO 与 AB 所成角的余弦值为， 132 2 1 3 3 3 3 3 故选 A. 15 如图， 在矩形 ABCD 中， AB2AD， E 为边 AB 的中点， 将ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在ADE 翻折 过程中，下列四个命题中不正确的是 .(填序号) BM 是定值； 点 M 在某个球面上运动； 存在某个位置，使 DEA1C；
16、存在某个位置，使 MB平面 A1DE. 解析：取 DC 的中点 F，连接 MF，BF， 则 MFA1D 且 MF A1D， FBED 且 FBED， 所以MFB 1 2 A1DE.由余弦定理可得 MB2MF2FB22MFFBcosMFB 是定值， 所以 M 是在以 B 为球心， MB 为半径的球面上， 可得正确 ； 由 MF A1D 与 FBED 可得平面 MBF平面 A1DE，可得正确；若存在某 个位置，使 DEA1C，则因为 DE2CE2CD2，即 CEDE，因为 A1CCEC， 则 DE平面 A1CE， 所以 DEA1E， 与 DA1A1E 矛盾， 故不正确 16 如图， 在直三棱柱A1
17、B1C1-ABC中， ACBC,2AC2BCCC1 4，点 N 为 CC1的中点，P 为线段 AC(包含端点)上一动点，给出以下 四个结论： 直线 BP 与直线 B1A1为异面直线； P 到平面 A1B1N 的距离是定值； A1P 与 B1N 所成角最小为 45； B1P 与平面 A1PN 所成角余弦值的最小值为. 2 5 5 其中正确结论的序号为 . 解析：若 P 点与 A 点重合，则 BPB1A1，故错； 记 P 到平面 A1B1N 的距离为 h1，平面三角形 A1PN 的面积 S A1PN 在变化，点 B1到平面 A1PN1的距离 h2为定值，又三角形 A1B1N 的面积 SA1B1N为
18、定值，所以 VP-A1B1NVB1-A1PN，即 SA1B1Nh1 1 3 SA1PNh2， 1 3 所以 h1不是定值，错 如图所示， 建立空间直角坐标系， A1(0,0,0)， P(0， y0,4)， B1(2,2,0)， N(0,2,2)， (0，y0,4)，(2,0,2)， A1P B1N 记 A1P 与 B1N 所成角为 ， 则 cos(0y02)，(cos)max， |A1P B1N | |A1P |B1N | 2 2 y2 016 2 2 所以 的最小值为 45. 连接 PC1.B1C1平面 AA1C1C，则B1PC1即为线面角，tan B1PC1， B1C1为定值， 当tanB1PC1最大时， PC1最小， cosB1PC1 B1C1 C1P 最小，所以当 P 与 C 重合时，(cosB1PC1)min. 2 5 5