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1、课时作业课时作业 42 空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积与体积 1(2019湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为 1 的正方形， 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( D ) A496 B(26)9655 C(44)64 D(44)9655 解析 ： 由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体， 正方体的棱长为 4，圆锥的高为 4，底面半径为 2，所以该几何体的表 面积 S642222(44)96.42225 2(2019福建质检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画 出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何 体的体积为( C )
2、A64 B648 32 3 C64 D64 16 3 8 3 解析 ： 由三视图可知该几何体是由棱长为 4 的正方体截去 个圆锥 1 4 和 个圆柱所得到的，且圆锥的底面半径为 2，高为 4，圆柱的底面半 1 4 径 为2， 高 为4， 所 以 该 几 何 体 的 体 积 为43 1 4 64.故选 C. ( 3 4 4 4 4) 16 3 3 (2015全国卷)已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB90， C 为该球面上的动点若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( C ) A36 B64 C144 D256 解析：SOAB是定值，且 VO-ABCVC-O
3、AB， 当 OC平面 OAB 时，VC-OAB最大，即 VO-ABC最大 设球 O 的半径为 R，则 (VO-ABC)max R2R R336， 1 3 1 2 1 6 R6，球 O 的表面积 S4R2462144. 4(2019河南濮阳一模)已知三棱锥 A-BCD 中，ABD 与BCD 是边长为 2 的等边三角形且二面角 A-BD-C 为直二面角，则三棱 锥 A-BCD 的外接球的表面积为( D ) A. B5 10 3 C6 D.20 3 解析：如图，取 BD 中点 M，连接 AM，CM，取ABD，CBD 的中心即 AM， CM 的三等分点 P， Q， 过 P 作平面 ABD 的垂线， 过
4、 Q 作平面 CBD 的垂线，两垂线相交于点 O，则点 O 为外接球的球心， 如图，其中 OQ，CQ， 3 3 2 3 3 连接 OC，则外接球的半径 ROC，表面积为 4R2， 15 3 20 3 故选 D. 5 一个多面体的直观图和三视图如图所示， 点 M 是 AB 上的动点， 记四面体 EFMC 的体积为 V1， 多面体 ADF-BCE 的体积为 V2， 则( V1 V2 B ) A. B. 1 4 1 3 C. D. 1 2 1 5 解析：由三视图可知多面体 ADF-BCE 是直三棱柱，其底面是等 腰直角三角形(直角边长为 a)，且四边形 DFEC 与四边形 ABCD 都是 正方形，它
5、们的边长均为 a. M 是 AB 上的动点，且易知 AB平面 DFEC， 点 M 到平面 DFEC 的距离等于点 B 到平面 DFEC 的距离，距 离为 a， V1VE-FMCVM-EFC aaa， 1 3 1 2 a3 6 又 V2 aaa，故 . 1 2 a3 2 V1 V2 a3 6 a3 2 1 3 6某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个 体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一 个面内，则原工件材料的利用率为 ( A ) ( 材料利用率新工件的体积 原工件的体积) A. B. 8 9 16 9 C. D. 4 21 3 12 21 3 解析：原工
6、件是一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥，依题意加工 后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形， 设正方形的边长为 a，长方体的高为 h，则 0a，0h2.2 于是 ，h2a. h 2 1 2 2 a 1 2 令 f(a)V长方体a2h2a2a3，2 f(a)4a3a2，2 当 f(a)0 时，a. 2 2 3 易知 f(a)maxf. ( 2 2 3 ) 16 27 材料利用率，故选 A. 16 27 3 12 2 8 9 7(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线 画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分 后所得，则该几何体的体积为
7、( B ) A90 B63 C42 D36 解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为 6，高为 14 的圆柱，所以该几何体的体积 V 321463，故 1 2 选 B. 8 已知三棱锥 O-ABC 的顶点 A， B， C 都在半径为 2 的球面上， O 是球心，AOB120，当AOC 与BOC 的面积之和最大时，三棱 锥 O-ABC 的体积为( B ) A. B. 3 2 2 3 3 C. D. 2 3 1 3 解析：设球 O 的半径为 R， 因为 SAOCSBOC R2(sinAOCsinBOC)， 1 2 所以当AOCBOC90时， SAOCSBOC取得最大值，此时 OAO
8、C， OBOC，又 OBOAO，OA，OB平面 AOB， 所以 OC平面 AOB， 所以 V三棱锥 O-ABCV三棱锥 C-OAB OC OAOBsinAOB 1 3 1 2 R3sinAOB，故选 B. 1 6 2 3 3 9某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为 . 3 4 3 解析：如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成， 球的半径为 1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形， 上底为 2， 下底为 1， 高为， 所以该组合体的体积 V (21) 3 2 1 3 1 2 3 2 1 13 . 1 4 4 3 3 4 3 10 (2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S
9、， 母线 SA， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30.若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为 8 . 解析：设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，高为 h， 因为母线 SA 与底面所成的角为 30，所以 lr. 2 3 3 由SAB 的面积为 8 得 l28， 1 2 即 r28，所以 r212，hr2. 1 2 4 3 3 3 所以圆锥的体积为 r2h 1228. 1 3 1 3 11 (2019江西南昌二中模拟)在三棱锥 S-ABC 中， ABC 是边长 为 3 的等边三角形， SA， SB2， 二面角 S-AB-C 的大小为 120，33 则此三棱锥的外接球的表面积为 21
10、 . 解析：根据题意得 SA2AB2SB2， 即 SAAB. 取 AB 的中点为 D，SB 的中点为 M， 连接 CD、MD，得CDM 为二面角 S-AB-C 的平面角， MDC120. 如图，设三角形 ABC 的外心为 O1， 则 O1在 CD 上，连接 BO1，则 CO1BO1，DO1.3 3 2 设外接球半径为 R， 易知球心为过 M 垂直面 ABS的垂线与过 O1垂直面ABC的垂线的 交点 O. 在四边形 MDO1O 中， 二面角 S-AB-C 的平面角MDC120， 且 MOMD，O1ODO1，MDO1D， 3 2 ODO160，OO1O1Dtan60 ， 3 2 连接 OB，R2O
11、B2OO O1B2 3， 2 1 9 4 21 4 球的表面积 S4R221. 12如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直 于底面 ABCD，ABBC AD，BADABC90. 1 2 (1)证明：直线 BC平面 PAD； (2)若PCD 的面积为 2，求四棱锥 P-ABCD 的体积7 解：(1)证明：在平面 ABCD 内， 因为BADABC90， 所以 BCAD. 又 BC平面 PAD，AD平面 PAD， 故 BC平面 PAD. (2)取 AD 的中点 M，连接 PM，CM. 由 ABBC AD 及 BCAD， ABC90得四边形 ABCM 为正 1 2 方形， 则
12、 CMAD. 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， 平面 PAD平 面 ABCDAD，所以 PMAD，PM底面 ABCD. 因为 CM底面 ABCD，所以 PMCM. 设 BCx，则 CMx，CDx，PMx，PCPD2x.23 取 CD 的中点 N，连接 PN， 则 PNCD，所以 PNx. 14 2 因为PCD 的面积为 2，7 所以 xx2， 1 2 2 14 2 7 解得 x2(舍去)或 x2. 于是 ABBC2，AD4，PM2 . 3 所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V 24. 1 3 2 24 2 33 13 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如 下
13、问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈， 问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底 面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高一丈，问它的体积是多少？”已 知 1 丈为 10 尺， 现将该楔体的三视图给出， 其中网格纸上小正方形的 边长为 1 丈，则该楔体的体积为( A ) A5 000 立方尺 B5 500 立方尺 C6 000 立方尺 D6 500 立方尺 解析：该楔体的直观图如图中的几何体 ABCDEF. 取 AB 的中点 G，CD 的中点 H， 连接 FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥 F-GBCH 与三 棱柱 ADE-GHF 的体积之
14、和 又可以将三棱柱 ADE-GHF 割补成高为 EF， 底面积为 S 31 1 2 平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积 V 2 2315 3 2 3 2 1 3 立方丈5 000 立方尺 14 (2019深圳调研)如图所示， 在平面四边形ABCD中， ABAD CD1，BD，BDCD，将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，2 使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上， 则该球的体积为( A ) A. B3 C. D2 3 2 2 3 解析：如图，取 BD 的中点为 E，BC 的中点为 O， 连接 AE，OD，EO，AO. 因为 ABAD，所以 AEBD. 由于平
15、面 ABD平面 BCD， 所以 AE平面 BCD. 因为 ABADCD1，BD，2 所以 AE，EO . 2 2 1 2 所以 OA. 3 2 在 RtBDC 中，OBOCOD BC， 1 2 3 2 所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O，半径为. 3 2 所以该球的体积 V 3 . 4 3 ( 3 2 ) 3 2 15(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm， 该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点， DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角 形 沿虚线剪开后， 分别以 BC， CA， AB 为折痕折起
16、DBC， ECA， FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥当ABC 的边长变化时，所 得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 4 .15 解析：解法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥， 设ABC 的边长为 a(a0)cm， 则ABC 的面积为a2 cm2， 点 O 到ABC 三边的距离都为a 3 4 3 6 cm，DBC 的高为cm， ( 5 3 6 a) 则正三棱锥的高为 cm， ( 5 3 6 a)2( 3 6 a)225 5 3 3 a 25a0，0a5， 5 3 3 3 所 得 三 棱 锥 的 体 积 Va2 1 3 3 4 255 3 3 a 3 12 cm3. 25a4
17、 5 3 3 a5 令 t25a4a5， 5 3 3 则 t100a3a4， 25 3 3 由 t0，得 a4(满足 0a5)，33 易知此时所得三棱锥的体积最大，为 4 cm3.15 解法二：由题意知折起以后所得三棱锥的直观图如图所示， 连接 CO 并延长交 AB 于 H，连接 DO、DH.则 DO平面 ABC. 令 OHx cm， 则 OC2x cm，DH(5x) cm， 得 OD cm，AB2x cm. 5x2x22510x3 则VD-ABCx2x2 1 3( 1 22 3x3x) 2510x32510x15 cm3，52x 令 f(x)x2，1552x 则 f(x) 15 ( 2x 5
18、2xx2 1 52x) ， 1510x5x2 52x 则当 x(0,2)时，f(x)单调递增，当 x(2,2.5)时，f(x)单调递减， 所以当 x2 时，体积取最大值，为44 cm3.1515 16 (2019贵阳质检)如图， ABC 内接于圆 O， AB 是圆 O 的直径， 四边形 DCBE 为平行四边形，DC平面 ABC，AB2，EB . 3 (1)求证：DE平面 ACD； (2)设 ACx，V(x)表示三棱锥 B-ACE 的体积，求函数 V(x)的解析 式及最大值 解：(1)证明：四边形 DCBE 为平行四边形， CDBE，BCDE. DC平面 ABC，BC平面 ABC， DCBC. AB 是圆 O 的直径， BCAC，且 DCACC，DC，AC平面 ADC， BC平面 ADC. DEBC，DE平面 ADC. (2)DC平面 ABC，BE平面 ABC. 在 RtABE 中，AB2，EB . 3 在 RtABC 中， ACx，BC(0x2)，4x2 SABC ACBC x， 1 2 1 2 4x2 V(x)V三棱锥 E-ABCx(0x2) 3 6 4x2 x2(4x2) 24，当且仅当 x24x2， ( x24x2 2 ) 即 x时取等号，2 当 x时，体积有最大值.2 3 3