《2020《创新方案》高考人教版数学（理）总复习练习：第八章 解析几何 课时作业55 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020《创新方案》高考人教版数学（理）总复习练习：第八章 解析几何 课时作业55 Word版含解析.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、课时作业 55 抛物线 1 (2019广东珠海模拟)已知抛物线 y24x 的焦点为 F， 准线为 l， 点 P 为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为 A，|PF|4， 则直线 AF 的倾斜角等于( B ) A. B 7 12 2 3 C. D 3 4 5 6 解析 ： 由抛物线y24x知焦点F的坐标为(1,0)， 准线l的方程为x 1，由抛物线定义可知|PA|PF|4，所以点 P 的坐标为(3,2)，因3 此点 A 的坐标为(1,2)，所以 kAF，所以直线 AF3 2 30 11 3 的倾斜角等于，故选 B. 2 3 2(2019湖北四地七校联考)已知抛物线 y22px(p0)，点
2、C( 4,0)， 过抛物线的焦点作垂直于 x 轴的直线， 与抛物线交于 A， B 两点， 若CAB 的面积为 24，则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程是( D ) Ay24x By24x Cy28x Dy28x 解析 ： 因为ABx轴， 且AB过点F， 所以AB是焦点弦， 且|AB|2p， 所以 SCAB 2p24，解得 p4 或12(舍)，所以抛物线 1 2 ( p 24) 方程为 y28x，所以直线 AB 的方程为 x2，所以以直线 AB 为准线 的抛物线的标准方程为 y28x，故选 D. 3已知抛物线 C：x22py(p0)，若直线 y2x 被抛物线所截弦 长为 4，则抛物线 C
3、的方程为( C )5 Ax28y Bx24y Cx22y Dx2y 解析：由Error!Error!得Error!Error!或Error!Error! 即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)， 则4，得 p1(舍去负值)， 4p2 8p 2 5 故抛物线 C 的方程为 x22y. 4(2019河南百校联盟联考)已知抛物线 C： y22px(p0)的焦点 为 F，点 M 在抛物线 C 上，且|MO|MF| (O 为坐标原点)，则 3 2 OM ( A ) MF A B 7 4 7 4 C. D 9 4 9 4 解析：不妨设 M(m，)(m0)，2pm 易知抛物线 C 的焦点 F 的坐标为，
4、( p 2，0) 因为|MO|MF| ， 3 2 所以Error!Error!解得 m ，p2， 1 2 所以， OM ( 1 2， 2) MF ( 1 2， 2) 所以 2 .故选 A. OM MF 1 4 7 4 5如图，设抛物线 y24x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有 三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上， 则BCF 与ACF 的面积之比是( A ) A. B |BF|1 |AF|1 |BF|21 |AF|21 C. D |BF|1 |AF|1 |BF|21 |AF|21 解析：过 A，B 点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 M，N， 则|AM
5、|AF|1，|BN|BF|1. 可知，故选 S BCF S ACF 1 2|CB|CF|sinBCF 1 2|CA|CF|sinBCF |CB| |CA| |BN| |AM| |BF|1 |AF|1 A. 6(2019江西六校联考)已知抛物线 C： y22x，过焦点 F 且斜3 率为的直线与 C 交于 P，Q 两点，且 P，Q 两点在准线上的射影分3 别为 M，N 两点，则 SMFN( B ) A8 B2 3 C4 D833 解析 ： 法一 ： 不妨设点 P 在 x 轴上方， 如图， 由抛物线定义可知|PF| |PM|，|QF|QN|， 设直线 PQ 的倾斜角为 ，则 tan，所以 ，3 3
6、由抛物线焦点弦的性质可知， |PF|2， p 1cos 3 1cos 3 3 |QF|， p 1cos 3 1cos 3 2 3 3 所以|MN|PQ|sin(|PF|QF|)sin 4， 3 8 3 3 3 2 所以 SMFN |MN|p 42，故选 B. 1 2 1 2 33 法二：由题意可得直线 PQ： yx ， 与抛物线方程 y22x 联立， 得3 ( x 3 2 ) 3 3 2 3 ( 3x3 2) 22 x，即 3x25x 0，33 9 4 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x2， 5 3 3 所以|PQ|x1x2p， 5 3 3 3 8 3 3 所以|MN|PQ|s
7、in 4， 3 所以 SMNF 42，故选 B. 1 2 33 7如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面 宽 4 m当水面宽为 2 m 时，水位下降了 1 m.6 解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为 x 轴建立平面直 角坐标系，设抛物线的标准方程为 x22py(p0)，把(2，2)代入 方程得 p1， 即抛物线的标准方程为 x22y.将 x代入 x22y6 得：y3，又3(2)1，所以水面下降了 1 m. 8 如图， 正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a， b(ab)， 原点O为AD的中点， 抛物线y22px(p0)经过C， F两点， 则 1
8、b a .2 解析：|OD| ，|DE|b，|DC|a，|EF|b， a 2 故 C，F， ( a 2，a) ( a 2b，b) 又抛物线 y22px(p0)经过 C、F 两点， 从而有Error!Error!即Error!Error! b2a22ab， 22 10， ( b a) b a 又 1， 1. b a b a 2 9已知抛物线 C1：yax2(a0)的焦点 F 也是椭圆 C2： y2 4 x2 b2 1(b0)的一个焦点， 点 M， P分别为曲线 C1， C2上的点， 则|MP| ( 3 2，1) |MF|的最小值为 2 . 解析 ： 将P代入到 1中， 可得 1， b， c (
9、3 2，1) y2 4 x2 b2 1 4 9 4b2 3 1，抛物线的焦点 F 为(0,1)， 抛物线 C1的方程为 x24y，准线为直线 y1，设点 M 在准 线上的射影为D， 根据抛物线的定义可知|MF|MD|， 要求|MP|MF| 的最小值， 即求|MP|MD|的最小值， 易知当 D， M， P 三点共线时， |MP| |MD|最小，最小值为 1(1)2. 10在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y26x 的焦点为 F，准线 为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足若直线 AF 的斜率 k ，则线段 PF 的长为 6 .3 解析：由抛物线方程为 y26x， 所以焦点坐标 F，准
10、线方程为 x ， ( 3 2，0) 3 2 因为直线 AF 的斜率为，3 所以直线 AF 的方程为 y，画图象如图3 ( x3 2) 当 x 时，y3， 3 2 3 所以 A， ( 3 2，3 3) 因为 PAl，A 为垂足，所以点 P 的纵坐标为 3，3 可得点 P 的坐标为， ( 9 2，3 3) 根据抛物线的定义可知 |PF|PA| 6. 9 2 ( 3 2) 11已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2) 是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2p2，x1x2； p2 4 (2)为定值； 1 |AF| 1 |BF| (3)以 AB
11、为直径的圆与抛物线的准线相切 证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为. ( p 2，0) 由题意可设直线方程为 xmy ，代入 y22px， p 2 得 y22p， ( myp 2) 即 y22pmyp20.(*) 因为在抛物线内部， ( p 2，0) 所以直线与抛物线必有两交点 则 y1，y2是方程(*)的两个实数根， 所以 y1y2p2. 因为 y 2px1，y 2px2， 2 12 2 所以 y y 4p2x1x2， 2 1 2 2 所以 x1x2. y2 1y2 2 4p2 p4 4p2 p2 4 (2) 1 |AF| 1 |BF| 1 x1p 2 1 x2p 2 . x1x2p x1x
12、2p 2 x 1x2 p2 4 因为 x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得 p2 4 1 |AF| 1 |BF| (定值) |AB| p2 4 p 2|AB|p p2 4 2 p (3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，如图所示， 分别过 A，B 作准线 l 的垂线，垂足为 C，D，过 M 作准线 l 的垂 线，垂足为 N， 则|MN| (|AC|BD|) 1 2 (|AF|BF|) |AB|. 1 2 1 2 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 12(2019武汉调研)已知直线 yk(x2)与抛物线 ：y2 x 相 1 2 交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过
13、M 作 y 轴的垂线交 于点 N. (1)证明：抛物线 在点 N 处的切线与直线 AB 平行； (2)是否存在实数 k 使0？若存在，求 k 的值；若不存在， NA NB 请说明理由 解：(1)证明：由Error!Error!消去 y 并整理，得 2k2x2(8k21)x8k20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2，x1x24， 8k21 2k2 xM， x1x2 2 8k21 4k2 yMk(xM2)k. ( 8k21 4k2 2) 1 4k 由题设条件可知，yNyM，xN2y ， 1 4k 2 N 1 8k2 N. ( 1 8k2， 1 4k) 设抛物线 在点 N 处
14、的切线 l 的方程为 ym， 1 4k ( x 1 8k2) 将 x2y2代入上式， 得 2my2y0. 1 4k m 8k2 直线 l 与抛物线 相切， 142m0， ( 1 4k m 8k2) mk2 k2 mk，即 lAB. (2)假设存在实数 k，使0， NA NB 则 NANB. M 是 AB 的中点，|MN| |AB|. 1 2 由(1)，得|AB|x1x2|1k2 1k2 x 1x224x1x2 1k2 ( 8k21 2k2 ) 24 4 .1k2 16k21 2k2 MNy 轴， |MN|xMxN|. 8k21 4k2 1 8k2 16k21 8k2 ， 16k21 8k2 1
15、 2 1k2 16k21 2k2 解得 k . 1 2 故存在 k ，使得0. 1 2 NA NB 13 (2019福建六校联考)已知抛物线E： y22px(p0)的焦点为F， 过 F 且斜率为 1 的直线交 E 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，其 垂直平分线交 x 轴于点 C， MNy 轴于点 N.若四边形 CMNF 的面积等 于 7，则抛物线 E 的方程为( C ) Ay2x By22x Cy24x Dy28x 解析 ： 由题意， 得 F， 直线 AB 的方程为 yx ， 设 A(x1， y1)， ( p 2，0) p 2 B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立 yx 和 y
16、22px 得，y22pyp20， p 2 则 y1y22p， 所以 y0p， 故 N(0， p)， 又因为点 M 在直线 AB y1y2 2 上，所以 x0，即 M，因为 MCAB，所以 kABkMC1， 3p 2 ( 3p 2 ，p) 故 kMC1， 从而直线 MC 的方程为 yx p， 令 y0， 得 x p， 5 2 5 2 故 C， 四边形 CMNF 的面积可以看作直角梯形 CMNO 与直角三 ( 5p 2 ，0) 角形 NOF 的面积之差， 即 S四边形 CMNFS梯形 CMNOSNOF p p p27，p24，又 p0，p2，故抛物 1 2( 5 2p 3 2p) 1 2 p 2
17、7 4 线 E 的方程为 y24x，故选 C. 14抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上 的两个动点，且满足AFB120，过 AB 的中点 M 作抛物线准线的 垂线 MN，垂足为 N，则的最大值为( A ) |MN| |AB| A. B1 3 3 C. D2 2 3 3 解析：过 A，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1，B1， 如图， 由题意知|MN| (|AA1|BB1|) (|AF|BF|)， 1 2 1 2 在AFB 中，|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos120|AF|2|BF|2 |AF|BF|， 2 ( |MN| |AB|)
18、1 4 |AF|2|BF|22|AF|BF| |AF|2|BF|2|AF|BF| 1 4(1 |AF|BF| |AF|2|BF|2|AF|BF|) 1 4 ( 1 1 |AF| |BF| |BF| |AF|1) ， 1 4 ( 1 1 21) 1 3 当且仅当|AF|BF|时取等号， 的最大值为. |MN| |AB| 3 3 15 设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A， B 两点， 与圆(x5)2y2 r2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 (2,4) . 解析：如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y
19、0)， 则Error!Error!两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2) 当 l 的斜率 k 不存在时，符合条件的直线 l 必有两条 当 k 存在时，x1x2， 则有2， y1y2 2 y1y2 x1x2 又 y1y22y0，所以 y0k2. 由 CMAB，得 k1， y00 x05 即 y0k5x0，因此 25x0，x03， 即 M 必在直线 x3 上 将 x3 代入 y24x， 得 y212，则有2y02.33 因为点 M 在圆上，所以(x05)2y r2， 2 0 故 r2y 412416. 2 0 又 y 44(为保证有 4 条，在 k 存在时，y00)， 2 0 所以 4
20、r216，即 2r4. 16(2019武汉调研)已知抛物线 C： x22py(p0)和定点 M(0,1)， 设过点 M 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的 切线交点为 N. (1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值； (2)若ABN 面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程 解：(1)可设 AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将 AB 的方程代入抛物线 C，得 x22pkx2p0，显然方程有两个不等实根， 则 x1x22pk，x1x22p. 又 x22py，得 y ， x p 则 A，B 处的切线斜率乘积为 1， x1x2 p2
21、2 p 则有 p2. (2)设切线 AN 为 y xb， x1 p 又切点 A 在抛物线 y上， x2 2p y1，b ， x2 1 2p x2 1 2p x2 1 p x2 1 2p yAN x.同理 yBN x. x1 p x2 1 2p x2 p x2 2 2p 又N 在 yAN和 yBN上， Error!Error!解得 N. ( x1x2 2 ，x 1x2 2p ) N(pk，1) |AB|x2x1|，1k21k24p2k28p 点 N 到直线 AB 的距离 d， |kxN1yN| 1k2 |pk22| 1k2 SABN |AB|d2， 1 2 ppk2 2 3 2p 24，p2.2p 故抛物线 C 的方程为 x24y.