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1、单元质量测试(八) 时间：120 分钟 满分：150 分 第卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1同时抛掷 3 枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A“至少有 1 枚正面”与“最多有 1 枚正面” B“最多有 1 枚正面”与“恰有 2 枚正面” C“至多有 1 枚正面”与“至少有 2 枚正面” D“至少有 2 枚正面”与“恰有 1 枚正面” 答案 C 解析 两个事件是对立事件必须满足两个条件：不同时发生，两个事件 的概率之和等于 1故选 C 2 某小学共有学生 2000 人， 其中一至六年级的学生人数分别为 400， 400， 400
2、， 300，300，200为做好小学放学后“快乐 30 分”的活动，现采用分层抽样的方 法从中抽取容量为 200 的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为( ) A120 B40 C30 D20 答案 B 解析 一年级学生共 400 人，抽取一个容量为 200 的样本，用分层抽样 的方法抽取的一年级学生人数为20040选 B 400 2000 3(2018合肥质检一)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时 长均为 5 分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到 新闻的概率是( ) A B C D 1 14 1 12 1 7 1 6 答案 D 解析 我们研究在一
3、个小时内的概率即可，不妨研究在一点至两点之间听到 新闻的时间段由题可知能听到新闻的时间段为 1 点到 1 点 5 分，以及 1 点 30 分 到 1 点 35 分，总计 10 分钟的时间可以听到新闻，故能听到新闻的概率为 10 60 1 6 故选 D 4(2018湖南邵阳二模)假设有两个分类变量 X 和 Y 的 22 列联表如下： Y X y1y2总计 x1a10a10 x2c30c30 总计6040100 对同一样本，以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( ) Aa45，c15 Ba40，c20 Ca35，c25 Da30，c30 答案 A 解析 根据 22 列联表与独立性
4、检验可知， 当与相差越大时，X 与 Y 有关系的可能性越大，即 a，c 相差越大， a a10 c c30 与相差越大故选 A a a10 c c30 5 (2018河南安阳二模)已知变量 x 与 y 的取值如下表所示， 且 2 50)为整数， 若a和b被m除得的余数相同， 则称a和b对模m同余， 记为ab(b mod m)若 aC C 2C 22C 220，ab(b mod 10)，则 b 的值 0 201 202 202020 可以是( ) A2011 B2013 C2015 D2017 答案 A 解析 aC C 2C 22C 220(12)20320910(10 0 201 202 20
5、2020 1)10C 1010C 109C 108C 10C ， a 被 10 除得的余数为 0 101 102 109 101010 1，而 2011 被 10 除得的余数是 1故选 A 12为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派 5 名教师对数学卷 的选择题、填空题和解答题这 3 种题型进行改编，则每种题型至少指派 1 名教师 的不同分派方法种数为( ) A420 B200 C180 D150 答案 D 解析 由题意知，5 名教师的指派分组可以为 1，2，2 或 1，1，3 两种不同的 方法， 当分组为 1， 2， 2 时， 不同的分派方法种数为90， 当分组为 1， 1， 3 C
6、1 5C2 4A3 3 A2 2 时， 不同的分派方法种数为60， 所以不同的分派方法种数为 9060150 C3 5C1 2A3 3 A2 2 第卷 (非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13(2017山东高考)已知(13x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54，则 n _ 答案 4 解析 (13x)n的展开式的通项为 Tr1C (3x)r令 r2，得 T39C x2由 r n2 n 题意得 9C 54，解得 n4 2 n 14 某天， 甲要去银行办理储蓄业务， 已知银行的营业时间为 9： 00 至 17： 00， 设甲在当天 13：0
7、0 至 18：00 之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行 恰好能办理业务的概率是_ 答案 4 5 解析 该题为长度型几何概型，所以概率 P 1713 1813 4 5 15(2018衡阳联考) 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下 落小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中已 知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 ，则小球落入 A 袋 1 2 中的概率为_ 答案 3 4 解析 记“小球落入 A 袋中”为事件 A，“小球落入 B 袋中”为事件 B，则 事件 A 的对立事件为 B，若小球落入 B 袋中，则小球
8、必须一直向左落下或一直向 右落下，故 P(B) 33 ，从而 P(A)1P(B)1 ( 1 2)( 1 2) 1 4 1 4 3 4 16(2018佛山一模)某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每 人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔 50 万元保险公司把职工从事的所 有岗位共分为 A，B，C 三类工种，根据历史数据统计出这三类工种的每年赔付频 率如表所示(并以此估计赔付概率) 工种类别ABC 赔付频率 1 105 2 105 1 104 若规定该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的 20%，则 A，B，C 三 类工种每份保单保费的上限之和为_元 答案 8125 解析 设工种
9、 A 的每份保单保费为 a 元，保险公司每份保单的利润为随机变 量 X，则 X 的分布列为 Xaa50104 P1 1 105 1 105 保险公司期望利润为 E(X)a1(a50104)a5(元)， 1 105 1 105 根据规定知，a502a，解得 a625 设工种 B 的每份保单保费为 b 元，同理可得保险公司期望利润为(b10)元， 根据规定知，b1002b，解得 b125，设工种 C 的每份保单保费为 c 元， 同理可得保险公司期望利润为(c50)元， 根据规定知， c500 2c， 解得 c62 5 则 A，B，C 三类工种每份保单保费的上限之和为 625125625 8125(
10、元) 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17(2018江西摸底)(本小题满分 10 分)某商场为了了解顾客的购物信息，随 机的在商场收集了 100 位顾客购物的相关数据，整理如下： 一次购物款0，50，100，150，200， (单位：元)50)100)150)200) 顾客人数m2030n10 统计结果显示 100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客占 60%，据统计该商 场每日大约有 5000 名顾客，为了增加商场的销售额度，对一次性购物不低于 100 元的顾客发放纪念品(每人一件) (注：视频率为概率) (1)试确定 m，n 的值
11、，并估计该商场每日应准备纪念品的数量； (2)为了迎接店庆， 商场进行让利活动， 一次购物款 200 元及以上的一次返利 30 元；一次性购物款小于 200 元的按购物款的百分比返利，具体见下表： 一次购物款 (单位：元) 0，50)50，100)100，150)150，200) 返利百分比06%8%10% 请估计该商场日均让利多少元？ 解 (1)由已知，100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客有 n1030 10060%， 解得 n20，m1008020 故该商场每日应准备纪念品的数量约为 50003000(件) 60 100 (2)设一次购物款为 a 元， 当 a50，100)时，顾
12、客有 500020%1000(人)， 当 a100，150)时，顾客有 500030%1500(人)， 当 a150，200)时，顾客有 500020%1000(人)， 当 a200，)时，顾客有 500010%500(人)， 估 计 该 商 场 日 均 让 利 为756%1000 1258%1500 17510%10003050052000(元) 估计该商场日均让利为 52000 元 18(2018广东顺德一模)(本小题满分 12 分)某市市民用水拟实行阶梯水价， 每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费， 超出w立方米的部分按10 元/立方米收费，从该市随机调查了 100 位市民
13、，获得了他们某月的用水量数据， 整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列 (1)求 a，b，c 的值及居民月用水量在 225 内的频数； (2)根据此次调查，为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米，应将 w 定为 多少？(精确到小数点后两位) (3)若将频率视为概率，现从该市随机调查 3 名居民的月用水量，将月用水量 不超过 25 立方米的人数记为 X，求其分布列及均值 解 (1)前四组频数成等差数列， 所对应的频率/组距也成等差数列， 设 a02d，b022d，c023d， 0 5(0 20 2d0 22d0 23d0 2d0 10 10 1)1， 解得 d01，a03
14、，b04，c05 居民月用水量在 225 内的频率为 0505025 居民月用水量在 225 内的频数为 02510025 (2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于 25 的频率为 07716)1P58.4 6635， 有 99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关 (2)根据题图和题表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备 172 200 43 50 改造后产品为合格品的概率约为，显然设备改造后产品合格率更高，因此 192 200 24 25 设备改造后性能更优 (3)由题表知，一等品的频率为 ，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率 1 2 为 ； 1 2 二等
15、品的频率为 ，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为 ； 1 3 1 3 三等品的频率为 ，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为 1 6 1 6 由已知得随机变量 X 的所有可能取值为 240，300，360，420，480(单位 ： 元)， 则 P(X240) ， 1 6 1 6 1 36 P(X300)C ， 1 2 1 3 1 6 1 9 P(X360)C ， 1 2 1 2 1 6 1 3 1 3 5 18 P(X420)C ， 1 2 1 2 1 3 1 3 P(X480) 1 2 1 2 1 4 随机变量 X 的分布列为 X240300360420480 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 数学期望 E(X)240300 360420 480 400(元) 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4