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1、考点测试 26 平面向量的概念及线性运算 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值5分，中、低等难度 考纲研读 1了解向量的实际背景 2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3理解向量的几何表示 4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 6了解向量线性运算的性质及其几何意义 一、基础小题 1 下列等式 ： 0aa； (a)a； a(a)0； a0a； ab a(b)正确的个数是( ) A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 由零向量和相反向量的性质知均正确 2若 mn，nk，则向量 m 与向量 k( ) A共线
2、B不共线 C共线且同向 D不一定共线 答案 D 解析 如 m0，0k，但 k 与 m 可能共线也可能不共线，故选 D 3如图，正六边形 ABCDEF 中，( )BA CD EF A0 BBE CAD DCF 答案 D 解析 故选 DBA CD EF BA AF CB CF 4下列命题正确的是( ) A若|a|b|，则 ab B若|a|b|，则 ab C若 ab，则 ab D若|a|0，则 a0 答案 D 解析 对于 A，当|a|b|，即向量 a，b 的模相等时，方向不确定，故 ab 不一定成立 ； 对于 B， 向量的模可以比较大小， 但向量不可以比较大小， B 不正确 ； C 显然不正确故选
3、D 5关于平面向量，下列说法正确的是( ) A零向量是唯一没有方向的向量 B平面内的单位向量是唯一的 C方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量 D共线向量就是相等向量 答案 C 解析 对于 A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A 不正确；对于 B， 单位向量的模为 1，其方向可以是任意方向，故 B 不正确 ； 对于 C，方向相反的向 量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故 C 正确；对于 D，由 共线向量和相等向量的定义可知 D 不正确，故选 C 6已知 m，nR，a，b 是向量，有下列命题： m(ab)mamb； (mn)amana； 若 mamb，则
4、ab； 若 mana，则 mn 其中正确的是( ) A B C D 答案 D 解析 由数乘向量的运算律知，数乘向量对数和向量都有分配律，所以 正确；当 m0 时，a，b 不一定相等，当 a0 时，m，n 未必相等，所以错 误故选 D 7已知向量 ae12e2，b2e1e2，则 a2b 与 2ab( ) A一定共线 B一定不共线 C当且仅当 e1与 e2共线时共线 D当且仅当 e1e2时共线 答案 C 解析 由 a2b5e1，2ab5e2可知，当且仅当 e1与 e2共线时，两向量共 线故选 C 8给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； a0( 为实数)，则 必为零； ， 为实数
5、，若 ab，则 a 与 b 共线 其中错误的命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案 D 解析 错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；错误，当 a0 时，不论 为何值，a0； 错误，当 0 时，ab0，此时 a 与 b 可以 是任意向量错误的命题有 3 个，故选 D 9已知向量 a，b 是两个不共线的向量，若向量 m4ab 与 nab 共线， 则实数 的值为( ) A4 B C D4 1 4 1 4 答案 B 解析 因为向量a， b是两个不共线的向量， 所以若向量m4ab与nab 共线，则 4()11，解得 ，故选 B 1 4 10 已知 a， b 是不共线的向量，ab，ab，
6、， R， 则 A， B， CAB AC 三点共线的充要条件为( ) A2 B1 C1 D1 答案 D 解析 A，B，C 三点共线，AB AC 设m(m0)，则 abm(ab)，AB AC Error!1，故选 D 11 已知点 M 是ABC 的边 BC 的中点， 点 E 在边 AC 上， 且2， 则EC AE EM ( ) A B 1 2AC 1 3AB 1 2AC 1 6AB C D 1 6AC 1 2AB 1 6AC 3 2AB 答案 C 解析 如图， 2， ()EC AE EM EC CM 2 3AC 1 2CB 2 3AC 1 2 AB AC 故选 C 1 2AB 1 6AC 12 已
7、知在四边形 ABCD 中， O 是四边形 ABCD 内一点，a，b，OA OB OC c，abc，则四边形 ABCD 的形状为( )OD A梯形 B正方形 C平行四边形 D菱形 答案 C 解析 因为abc， 所以cb， 又cb， 所以且|OD AD BC AD BC AD |，所以四边形 ABCD 是平行四边形故选 CBC 二、高考小题 13(2015全国卷)设 D 为ABC 所在平面内一点，3，则( )BC CD A BAD 1 3AB 4 3AC AD 1 3AB 4 3AC C DAD 4 3AB 1 3AC AD 4 3AB 1 3AC 答案 A 解析 ()AD AB BD AB BC
8、 CD AB 4 3BC AB 4 3 AC AB 1 3AB 故选 A 4 3AC 14(2018全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点， 则( )EB A B 3 4AB 1 4AC 1 4AB 3 4AC C D 3 4AB 1 4AC 1 4AB 3 4AC 答案 A 解析 根据向量的运算法则，可得 ()EB AB AE AB 1 2AD AB 1 4 AB AC ，故选 A 3 4AB 1 4AC 15 (2015安徽高考)ABC 是边长为 2 的等边三角形， 已知向量 a， b 满足AB 2a，2ab，则下列结论正确的是( )AC A|b|1 Bab
9、 Cab1 D(4ab)BC 答案 D 解析 2a，2ab，a，b，ABC 是边AB AC 1 2AB AC AB BC 长为 2 的等边三角形， |b|2， ab1， 故 a， b 不垂直， 4ab2 1 2AB BC AB ， 故(4ab)()220， (4ab)， 故选 DBC AB AC BC AB AC BC BC 16 (2015北京高考)在ABC 中， 点 M， N 满足2， 若xAM MC BN NC MN y，则 x_；y_AB AC 答案 1 2 1 6 解析 如图在ABC 中， (MN MA AB BN 2 3AC AB 1 2BC 2 3AC AB 1 2 )x ，y
10、AC AB 1 2AB 1 6AC 1 2 1 6 三、模拟小题 17(2018河北张家口月考)如图，在正六边形 ABCDEF 中，BA CD FB ( ) A0 BBE CAD DCF 答案 A 解析 在正六边形 ABCDEF 中， CDAF， CDAF， 所以BA CD FB BA 0，故选 AAF FB BA AB 18(2018邯郸摸底)如图，在ABC 中，已知 D 为边 BC 的中点，E，F，G 依次为线段 AD 从上至下的 3 个四等分点，若4，则( )AB AC AP A点 P 与图中的点 D 重合 B点 P 与图中的点 E 重合 C点 P 与图中的点 F 重合 D点 P 与图中
11、的点 G 重合 答案 C 解析 由平行四边形法则知2，又由4知 24AB AC AD AB AC AP AD AP ，即2，所以 P 为 AD 的中点，即点 P 与点 F 重合故选 CAD AP 19(2018怀化一模)已知向量 a，b 不共线，向量a3b，5a3b，AB BC 3a3b，则( )CD AA，B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线 DB，C，D 三点共线 答案 B 解析 因为2a6b2(a3b)2，所以，共线，又BD BC CD AB BD AB 有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线故选 B 20 (2018河南中原名校联考)如图， 在直角梯形 A
12、BCD 中， AB2AD2DC， E 为 BC 边上一点，3E，F 为 AE 的中点，则( )BC C BF A B 2 3AB 1 3AD 1 3AB 2 3AD C D 2 3AB 1 3AD 1 3AB 2 3AD 答案 C 解析 BF BA AF BA 1 2AE AB 1 2AD 1 2AB CE AB 1 2AD 1 2AB 1 3CB ()AB 1 2AD 1 4AB 1 6 CD DA AB 故选 C 2 3AB 1 3AD 21(2018深圳模拟)如图所示，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若AC ，则 ( )AM BD A B 4 3 5 3 C D2 15 8
13、答案 B 解析 因为()()(AC AM BD AB BM BA AD AB 1 2AD AB )() ，且，所以Error!AD AB 1 2 AD AC AB AD 得Error!所以 ，故选 B 5 3 22(2018福建高三 4 月质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光 明的象征正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系： 在如图所示的正五角星中， 以 A， B， C， D， E 为顶点的多边形为正五边形， 且 PT AT 下列关系中正确的是( ) 51 2 A BBP TS 51 2 RS CQ TP 51 2 TS C DES AP 51 2 BQ AT
14、BQ 51 2 CR 答案 A 解析 由题意得，BP TS TE TS SE RS 51 2 ，所以 A 正确； 51 2 RS CQ TP PA TP TA ，所以 B 错误； 51 2 ST ES AP RC QC RQ ，所以 C 错误；， 51 2 QB AT BQ SD RD ，若，则0，不符合题意，所 51 2 CR RS RD SD AT BQ 51 2 CR SD 以 D 错误故选 A 23(2018银川一模)设点 P 是ABC 所在平面内一点，且2，则BC BA BP _PC PA 答案 0 解析 因为2， 由平行四边形法则知， 点 P 为 AC 的中点， 故BC BA BP
15、 PC 0PA 24(2018衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量 a，b，c 的起点和终点均 在格点(小正方形顶点)上， 若c与xayb(x， y为非零实数)共线， 则 的值为_ x y 答案 6 5 解析 设 e1， e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量， 则向量 c e12e2， a2e1e2， b2e12e2， 由 c 与 xayb 共线， 得 c(xayb)， 所以 e1 2e22(xy)e1(x2y)e2，所以Error!所以Error!则 的值为 x y 6 5 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、模拟大题 1 (2018山东莱芜模拟)如图， 已
16、知OCB中， B， C关于点A对称， ODDB2 1，DC 和 OA 交于点 E，设a，bOA OB (1)用 a 和 b 表示向量，；OC DC (2)若，求实数 的值OE OA 解 (1)由题意知，A 是 BC 的中点，且，OD 2 3OB 由平行四边形法则，得2OB OC OA 22ab，OC OA OB (2ab) b2a bDC OC OD 2 3 5 3 (2)，(2ab)a(2)ab，EC DC EC OC OE 2a b， DC 5 3 2 2 1 5 3 4 5 2 (2018河南安阳模拟) 如图所示， 在ABC 中， 在 AC 上取一点 N， 使得 AN AC， 在 AB 上取一点 M， 使得 AM AB， 在 BN 的延长线上取点 P， 使得 NP BN， 1 3 1 3 1 2 在 CM 的延长线上取点 Q，使得时，试确定 的值MQ CM AP QA 解 () ()，AP NP NA 1 2 BN CN 1 2 BN NC 1 2BC QA MA MQ 1 2BM MC 又，AP QA 1 2BM MC 1 2BC 即 ， MC 1 2MC 1 2