《2020届高考文科数学一轮（新课标通用）训练检测：考点测试41 空间几何体的表面积和体积 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考文科数学一轮（新课标通用）训练检测：考点测试41 空间几何体的表面积和体积 Word版含解析.pdf（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、考点测试 41 空间几何体的表面积和体积 高考概览 高考中本考点常见题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考纲研读 球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式 一、基础小题 1若球的半径扩大为原来的 2 倍，则它的体积扩大为原来的( ) A2 倍 B4 倍 C8 倍 D16 倍 答案 C 解析 设原来球的半径为r， 则现在球的半径为2r， 则V原 r3， V现 (2r)3， 4 3 4 3 故 V现8V原故选 C 2一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A8 B6 C4 D 答案 C 解析 设正方体的棱长为 a， 则 a38， a2 而此正方体的内切球直径为 2
2、， S表4r24 3如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为 60 3 2 的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( ) A2 B4 C8 D433 答案 D 解析 由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边 长为 1，斜高为 1，所以这个几何体的表面积为 S 1184 1 2 4一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的 体积为( ) A B C2 D4 3 2 3 答案 B 解析 由侧视图可知直三棱柱底面正三角形的高为，容易求得正三角形的3 边长为 2，所以底面正三角形面积为 2再由侧视图可知直三棱柱的高 1 2 33 为
3、 1，所以此三棱柱的体积为1故选 B33 5已知圆锥的表面积为 a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底 面直径是( ) A B C D a 2 3a 3 2 3a 3 2 3a 3 答案 C 解析 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意知，2rl，l2r，则 圆锥的表面积 S表r2 (2r)2a，r2，2r 1 2 a 3 2 3a 3 6若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( ) A10 cm3 B20 cm3 C30 cm3 D40 cm3 答案 B 解析 由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱 ABCA1B1C1截去一个三棱 锥 B1ABC，则该几何
4、体的体积为 V 345 34520(cm3)故 1 2 1 3 1 2 选 B 7某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( ) A4 B C D6 14 3 16 3 答案 B 解析 依题意，所求几何体是一个四棱台，其中上底面是边长为 1 的正方形、 下底面是边长为 2 的正方形，高是 2，因此其体积等于 (1222)2 1 3 1 4 故选 B 14 3 8某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为 2，则该几何体 的表面积为( ) A24(1) B24(22)22 C24(1) D24(22)53 答案 B 解析 如图，由三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体挖出两个圆锥
5、体 所得 由图中知圆锥的半径为 1， 母线为， 该几何体的表面积为 S6222122 2 2124(22)，故选 B 1 2 22 9已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为( ) A10 B2 C2 D2 2 12 4 答案 D 解析 根据几何体的三视图还原其直观图如图所示，显然可以看到该几何体 是一个底面长为 2，宽为 1，高为 1 的正棱柱与一个底面半径为 1，高为 1 的 圆柱 1 4 组合而成，其体积为 V211 1212 ，故选 D 1 4 4 10我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用 一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，
6、 盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸 (注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸) 答案 3 解析 由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为 V h(r 1 3 2 中 r r中r下) 9(10262106)588(立方寸)，降雨量为 2 下 3 V 142 588 196 3(寸) 11 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是_ 答案 2 6 解析 易知该几何体是正四棱锥 连接 BD， 设正四棱锥 PABCD， 由 PDPB 1，BD，则 PDPB设底面中心 O，则四棱
7、锥高 PO，则其体积是 V2 2 2 Sh 12 1 3 1 3 2 2 2 6 12 如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 ABAD，ABAD1，BCCD5， 以直线 AB 为轴，将四边形 ABCD 旋转一周，则所得旋转体的体积为_ 答案 12 解析 由题意，该旋转体是一圆台内部挖去一个圆锥，如图 1 所示： 如图 2，过点 C 作 CEAB，连接 BD在等腰直角三角形 ABD 中，BD AD2AB22 在BDC 中，CD2BD2BC22BDBCcosDBC， 所以 2522510cosDBC，所以 cosDBC，所以 sinDBC2 2 10 1cos2DBC 7 2 10 因为CBE1
8、80ABDDBC135DBC，所以 sinCBE sin(135DBC)cosDBCsinDBC 在 RtBCE 中，CEBCsin 2 2 2 2 4 5 CBE4， 所以 BE3， AE4 所以圆台上、 下底面圆的面积分别为 SBC2CE2 上，S下16，圆台体积 V1 (S上S下 )AE28，圆锥体积 V2 1 3 S上S下 1 3 16316，所以旋转体体积 VV1V212 二、高考小题 13(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的 体积为( ) A90 B63 C42 D36 答案
9、B 解析 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为 6，高为 14 的圆柱，所以该几何体的体积 V 321463故选 B 1 2 14(2018浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位 ： cm)，则该几何体的体 积(单位：cm3)是( ) A2 B4 C6 D8 答案 C 解析 由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形 上、下底边的长分别为 1 cm,2 cm，高为 2 cm，直四棱柱的高为 2 cm故直四棱柱 的体积 V226 cm3 12 2 15 (2018全国卷)已知圆柱的上、 下底面的中心分别为 O1， O2， 过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截
10、面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A12 B12 C8 D1022 答案 B 解析 根据题意，可得截面是边长为 2的正方形，结合圆柱的特征，可知2 该圆柱的底面为半径是的圆，且高为 2，所以其表面积为 S2()222222 212故选 B2 16(2018全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为( ) A8 B6 C8 D8223 答案 C 解析 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，连接 BC1，根据线面角的定义可知 AC1B30， 因为 AB2，tan30， 所以 BC12， 从而求得 CC
11、1 AB BC1 3BC2 1BC2 2，所以该长方体的体积为 V2228故选 C222 17 (2018全国卷)设 A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )3 A12 B18 C24 D543333 答案 B 解析 如图所示，点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 的中点，当 DM平 面 ABC 时，三棱锥 DABC 体积最大，此时，ODOBR4 SABCAB29， 3 4 3 AB6， 点 M 为三角形 ABC 的重心，BM BE2， 2 3 3 在 RtOMB 中，有 OM2OB2B
12、M2 DMODOM426， (V三棱锥 DABC)max 9618故选 B 1 3 33 18(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥 底面所成角为 30，若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_ 答案 8 解析 如图所示，SAO30，ASB90，又 SSAB SASB SA28， 1 2 1 2 解得 SA4， 所以 SO SA2， AO2， 所以该圆锥的体积为 V 1 2 SA2SO23 OA2SO8 3 19 (2018天津高考)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外， 该正方体其余各面的中心分别为点 E， F， G
13、， H， M(如图)， 则四棱锥 MEFGH 的体积为_ 答案 1 12 解析 由题意知四棱锥的底面 EFGH 为正方形， 其边长为， 即底面面积为 ， 2 2 1 2 由正方体的性质知， 四棱锥的高为 故四棱锥 MEFGH 的体积 V 1 2 1 3 1 2 1 2 1 12 20 (2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶 点的多面体的体积为_ 答案 4 3 解析 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边 长为，高为 1，其体积为 ()21 ，多面体的体积为 2 1 3 2 2 3 4 3 三、模拟小题 21(2018邯郸摸底)如图，网格纸上
14、小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几 何体的三视图，已知该几何体的各个面中有 n 个面是矩形，体积为 V，则( ) An4，V10 Bn5，V12 Cn4，V12 Dn5，V10 答案 D 解析 由三视图可知，该几何体为直五棱柱，其直观图如图所示，故 n5， 体积 V222 2110故选 D 1 2 22(2018福州模拟)已知圆柱的高为 2，底面半径为，若该圆柱的两个底面3 的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( ) A4 B C D16 16 3 32 3 答案 D 解析 如图，可知球的半径 R 2，进而这个球的OH2AH212 32 表面积为 4R216故选 D 23(2018
15、合肥质检一)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某 几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A518 B618 C86 D106 答案 C 解析 该几何体的表面积是由球的表面积、球的大圆面积、半个圆柱的侧面 积以及圆柱的纵切面面积组成从而该几何体的表面积为 412121 2 233286故选 C 24(2018石家庄质检二)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚 线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( ) A B3 C8 D 8 3 5 3 答案 A 解析 根据三视图还原该几何体的直观图，如图中四棱锥 PABCD 所示， 则 VPABCDVPAFGD(VAF
16、BDECVGECD) 1 122 1 3 12 2 2 1 2 1 3 121 故选 A 1 2 8 3 25(2018合肥质检三)我国古代的九章算术中将上、下两面为平行矩形 的六面体称为“刍童” 如图所示为一个“刍童”的三视图，其中正视图及侧视图 均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 4，高为 2，则该“刍童”的表面积为( ) A12 B405 C1612 D161235 答案 D 解析 易得侧面梯形的高为，所以一个侧面梯形的面积为 (222125 1 2 4)3故所求为 432(24)1216故选 D5555 26 (2018福建质检)已知底面边长为 4， 侧棱长为 2的正四棱锥 SABC
17、D25 内接于球 O1若球 O2在球 O1内且与平面 ABCD 相切，则球 O2的直径的最大值为 _ 答案 8 解析 如图，正四棱锥 SABCD 内接于球 O1，SO1与平面 ABCD 交于点 O 在正方形 ABCD 中，AB4，AO4在 RtSAO 中，SO2SA2OA2 2 设球O1的半径为R， 则在RtOAO1中， (R2)242R2， 解得R5， 2 5 242 所以球 O1的直径为 10 当球 O2与平面 ABCD 相切于点 O 且与球 O1相切时， 球 O2 的直径最大又因为 SO2，所以球 O2的直径的最大值为 1028 一、高考大题 1(2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它
18、由上下两部分组成，上部的形状 是正四棱锥 PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图所示)， 并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍 (1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由 PO12 知，O1O4PO18 因为 A1B1AB6， 所以正四棱锥 PA1B1C1D1的体积 V锥 A1B PO1 62224(m3) 1 3 2 1 1 3 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O628288(m3) 所以仓库的容积 VV锥V
19、柱24288312(m3) (2)设 A1B1a m，PO1h m， 则 00，V 是单调增函数；3 当 2h6 时，V0，V 是单调减函数3 故 h2时，V 取得极大值，也是最大值3 因此，当 PO12 m 时，仓库的容积最大3 2 (2018全国卷)如图， 在平行四边形 ABCM 中， ABAC3， ACM90， 以 AC 为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA (1)证明：平面 ACD平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点， 且 BPDQ DA， 求三棱锥 Q 2 3 ABP 的体积 解 (1)证明：由已知可得BAC90，即
20、ABAC 又 ABDA，且 ACDAA，所以 AB平面 ACD 又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC (2)由已知可得，DCCMABAC3，DA32 又 BPDQ DA，所以 BP2 2 3 2 作 QEAC，垂足为 E，则 QE 綊 DC 1 3 由已知及(1)可得 DC平面 ABC， 所以 QE平面 ABC，QE1 因此，三棱锥 QABP 的体积为 V三棱锥 QABP QESABP 1 32sin451 1 3 1 3 1 2 2 二、模拟大题 3(2018武昌调研)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm) (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何
21、体的表面积及体积 解 (1)这个几何体的直观图如图所示 (2)这个几何体可看成是正方体 AC1及直三棱柱 B1C1QA1D1P 的组合体 由 PA1PD1，A1D1AD2，可得 PA1PD12 故所求几何体的表面积 S522222 ()22 1 2 2 224(cm2)，2 所求几何体的体积 V23 ()2210(cm3) 1 2 2 4 (2018浙江杭州一模)已知一个三棱台的上、 下底面分别是边长为20 cm和30 cm 的正三角形，各侧面是全等的等腰梯形，且各侧面的面积之和等于两底面面积 之和，求棱台的体积 解 如图所示，在三棱台 ABCABC中，O，O 分别为上、下底面的 中心，D，D
22、分别是 BC，BC的中点，则 DD是等腰梯形 BCCB的高， 又 CB20 cm，CB30 cm， 所以 S侧3 (2030)DD75DD 1 2 S上S下(202302)325(cm2) 3 4 3 由 S侧S上S下，得 75DD325，3 所以 DD(cm)， 13 3 3 又因为 OD20(cm)， 3 6 10 3 3 OD305(cm)， 3 6 3 所以棱台的高 hOO DD2ODOD2 4(cm)， ( 13 3 3) 2(5 310 3 3) 2 3 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V (S上S下) h 3 S上S下 4 3 3(325 3 3 4 20 30) 1900(cm3) 故棱台的体积为 1900 cm3