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1、第八节 函数与方程第八节 函数与方程 考纲传真 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方 程根的存在性与根的个数 1函数的零点 (1)定义 ： 对于函数yf(x)(xD)， 把使f(x)0 成立的实数x叫做函数yf(x)(xD) 的零点 (2)函数零点与方程根的关系 ： 方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点 函数yf(x)有零点 (3)零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有f(a)f(b)0， 那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点， 即存在x0(a，b)， 使得f(x0) 0. 2二次函数yax2bxc
2、(a0)的图象与零点的关系 b24ac000 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)， (x2,0) (x1,0) (或(x2,0) 无交点 零点个数210 3.二分法 (1)定义 对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0 的函数yf(x)， 通过不断地把函数f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法 叫做二分法 (2)二分法求函数零点近似值的步骤 常用结论 1 函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线， 则 “f(a)f(b)0” 是函数f(x) 在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件 2 若函数f
3、(x)在区间a，b上是单调函数， 且f(a)f(b)0， 则函数f(x)在区间(a，b) 内只有一个零点 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点( ) (2)函数yf(x)，xD在区间(a，b)D内有零点(函数图象连续不断)， 则f(a)f(b)0. ( ) (3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一 个零点( ) (4)二次函数yax2bxc在b24ac0 时没有零点( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)函数f(x)ex3x的零点个数是(
4、) A0 B1 C2 D3 B B f(1) 30，f(0)10， 1 e f(x)在(1,0)内有零点， 又f(x)为增函数，函数f(x)有且只有一个零点 3下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) Aycos x Bysin x Cyln x Dyx21 A A 由于ysin x是奇函数，yln x是非奇非偶函数，yx21 是偶函数但没有零点， 只有ycos x是偶函数又有零点 4函数f(x)3xx2的零点所在区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2，1) D(1,0) D D f(2)，f(1) ， 35 9 2 3 f(0)1，f(1)2，f(2)5， f(0)f(1)0，f
5、(1)f(2)0， f(2)f(1)0，f(1)f(0)0，故选 D. 5函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是 _ 函数f(x)的图象为直线， ( 1 3，1) 由题意可得f(1)f(1)0， (3a1)(1a)0，解得 a1， 1 3 实数a的取值范围是. ( 1 3，1) 判断函数零点所在的区间 1若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点 分别位于区间( ) A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内 A A abc，f(a)(ab)(ac)0， f(
6、b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二 次函数， 最多有两个零点， 因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内， 故选 A. 2设x0是方程的解，则x0所在的范围是( ) ( 1 3) x x A. B. (0， 1 3)( 1 3， 1 2) C. D. ( 1 2， 2 3)( 2 3，1) B B 构造函数f(x)， ( 1 3) x x 因为f(0)10， ( 1 3) 0 0 f0，f0.所以由零点存在性定理可 ( 1 3) ( 1 3) 1 3 1 3( 1
7、3) 1 3 ( 1 3) 1 2 ( 1 2) ( 1 3) 1 2 1 2( 1 3) 1 2 ( 1 2) 1 2 得函数f(x)在上存在零点，即x0，故选 B. ( 1 3) x x ( 1 3， 1 2)( 1 3， 1 2) 3设函数y1x3与y2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN N，则x0 ( 1 2) x2 所在的区间是_ (1,21,2) 设f(x)x3，则f(x)在 R R 上是增函数， ( 1 2) x2 又f(1)1210，f(2)8170， 则x0(1,2) 4已知x表示不超过实数x的最大整数，g(x)x为取整函数，x0是函数f(x)ln x 的
8、零点，则g(x0)_. 2 x 2 2 f(2)ln 210，f(3)ln 3 0，则x0(2,3)，故g(x0)2. 2 3 规律方法 判断函数零点所在区间的 3 种方法 1解方程法：当对应方程fx0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落 在给定区间上. 2定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数yfx在区间a，b上的图 象是否连续，再看是否有fafb0.若有，则函数yfx在区间a，b内必 有零点. 3图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 判断函数零点(或方程根)的个数 【例 1】 (1)函数f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为( ) A1
9、 B2 C3 D4 (2)(2019兰州模拟)已知函数f(x)满足： 定义域为 R R； xR R，都有f(x2)f(x)； 当x1,1时，f(x)|x|1. 则方程f(x) log2|x|在区间3,5内解的个数是( ) 1 2 A5 B6 C7 D8 (3)函数f(x)Error!的零点个数是_ (1)B B (2 2)A A (3)3 (1)令f(x)2x|log0.5x|10， 可得|log0.5x| x. ( 1 2) 设g(x)|log0.5x|，h(x) x，在同一直角坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象， ( 1 2) 可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函数f(
10、x)有 2 个零点 (2)由f(x2)f(x)知函数f(x)是周期为2的函数， 在同一直角坐标系中， 画出y1f(x) 与y2 log2|x|的图象，如图所示 1 2 由图象可得方程解的个数为 5，故选 A. (3)当x0 时，作函数yln x和yx22x的图象， 由图知，当x0 时，f(x)有 2 个零点； 当x0 时，令x220，解得x(正根舍去)2 所以在(，0上有一个零点，综上知f(x)有 3 个零点 规律方法 判断函数零点个数的 3 种方法 1方程法：令fx0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点. 2零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线， 且fafb
11、0， 还必须结合函数的图象与性质如单调性、 奇偶性、 周期性、 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质. 3数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看 其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (1)函数f(x)Error!的零点个数为( ) A3 B2 C1 D0 (2)(2019泰安模拟)已知函数f(x)Error!若关于x的方程f(x)xa0 有且只有一 个实根，则实数a的取值范围是_ (1 1)B B (2 2)(1 1，) (1)法一：由f(x)0 得Error!或Error!解得x2 或xe. 因此函数f(x)共
12、有 2 个零点 法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有 2 个零点 (2)问题等价于函数yf(x)与yxa的图象有且只有一个交点， 作出函数f(x)的图 象(如图所示)，结合函数图象可知a1. 函数零点的应用 考法 1 根据零点的范围求参数 【例 2】 若函数f(x)log2xxk(kZ Z)在区间(2,3)上有零点，则k_. 4 4 函数f(x)log2xxk在(2,3)上单调递增，所以f(2)f(3)0，即(log222 k)(log233k)0， 整理得(3k)(log233k)0， 解得3k3log23， 而43log23 5，因为kZ Z，故k4. 考法 2 已知
13、函数零点或方程根的个数求参数 【例 3】 (2019青岛模拟)已知函数f(x)Error!其中m0.若存在实数b，使得关于x 的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_ (3 3，) 作出f(x)的图象如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2， 要使方程f(x)b有三个不同的根，则有 4mm20.又m0，解得m3. 规律方法 已知函数的零点或方程根，求参数问题的三种方法 1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围. 2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. 3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然
14、后数 形结合求解. (1)函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内， 则实数a的取值范围是( 2 x ) A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2) (2)已知函数f(x)Error!则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是 ( ) A0,1) B(，1) C(，1(2，) D(，0(1，) (1 1)C C (2 2)D D (1)函数f(x)2x a在区间(1,2)上单调递增， 又函数f(x)2x 2 x 2 x a的一个零点在区间(1,2)内， 则有f(1)f(2)0， (a)(41a)0， 即a(a3)0， 0a3，故选 C. (2)函数g(x)f(x
15、)xm的零点就是方程f(x)mx的根， 在同一坐标系中画出函数 f(x)和ymx的图象，如图所示， 由图象知，当m0 或m1 时方程f(x)mx有根，即函数g(x)f(x)xm有零点， 故选 D. 1(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a ( ) A B. 1 2 1 3 C. D1 1 2 C C 法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1， 令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1. g(t)(t)2a(etet)1g(t)， 函数g(t)为偶函数 f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点 又g(t)为偶函数，由偶
16、函数的性质知g(0)0， 2a10，解得a . 1 2 故选 C. 法二：f(x)0a(ex1ex1)x22x. ex1ex122，当且仅当x1 时取“” ex1ex1 x22x(x1)211，当且仅当x1 时取“” 若a0， 则a(ex1ex1)2a， 要使f(x)有唯一零点， 则必有 2a1， 即a .若a0， 1 2 则f(x)的零点不唯一 故选 C. 2 (2014全国卷)已知函数f(x)ax33x21， 若f(x)存在唯一的零点x0， 且x00， 则a的取值范围是( ) A(2，) B(，2) C(1，) D(，1) B B f(x)3ax26x， 当a3 时，f(x)9x26x3x(3x2)， 则当x(，0)时，f(x)0； x时，f(x)0，注意f(0)1，f 0，则f(x)的大致图象如图(1)所示 ( 2 3，)( 2 3) 5 9 图(1) 不符合题意，排除A、C. 当a 时，f(x)4x26x2x(2x3)， 则当x时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f ，则f(x)的 ( 3 2，0)( 3 2) 5 4 大致图象如图(2)所示 图(2) 不符合题意，排除 D. 自我感悟：_ _ _