《2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数教学案含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数教学案含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 考纲传真 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解 任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 1角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形 (2)分类Error! (3)终边相同的角 ： 所有与角终边相同的角， 连同角在内， 可构成一个集合S| k360，kZ Z 2弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作 弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数
2、，零角的弧度数是 0. (2)公式 角的弧度数公式 | (弧长用l表示) l r 角度与弧度的换算 1 rad； 180 1 rad ( 180 ) 弧长公式弧长l|r 扇形面积公式 Slr |r2 1 2 1 2 3.任意角的三角函数 三角函数正弦余弦正切 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 定义 y叫做的正弦，记作 sin x叫做的余 弦 ， 记 作 cos 叫做的正 y x 切 ， 记 作 tan 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为 余弦线 有向线段AT为 正切线 4.三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦 5
3、任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点， 其到原点O的距离为r， 则 sin ， y r cos ，tan (x0) x r y x 常用结论 若分别为、象限角，则所在象限如图： 2 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)小于 90的角是锐角( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然( ) (3)角的三角函数值与终边上点P的位置无关( ) (4)若为第一象限角，则 sin cos 1. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)角870的终边所在的象限是( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第
4、四象限 C C 8702360150，870和150的终边相同，故870的终边在 第三象限 3若角同时满足 sin 0 且 tan 0，则角的终边一定位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 D D 由 sin 0 知角的终边在三、四象限或y轴负半轴上，由 tan 0 知角的 终边在二、四象限，故角的终边在第四象限，故选 D. 4(教材改编)已知角的终边与单位圆的交点为M，则 sin ( ) ( 1 2，y) A. B C. D 3 2 3 2 2 2 2 2 B B 由题意知|r|2 2y21，所以y .由三角函数定义知 sin y. ( 1 2) 3 2 3 2 5在单位
5、圆中，200的圆心角所对的弧长为( ) A10 B9 C. D. 9 10 10 9 D D 单位圆的半径r1,200的弧度数是 200，由弧长公式得l. 180 10 9 10 9 象限角与终边相同的角 1若ak18045(kZ Z)，则在( ) A第一或第三象限 B第一或第二象限 C第二或第四象限 D第三或第四象限 A A 当k2n(nN N)时，2n18045n36045，为第一象限角； 当k2n1(nZ Z)时，(2n1)18045n360225，为第三象限 角，所以为第一或第三象限角故选 A. 2若角是第二象限角，则是( ) 2 A第一象限角 B第二象限角 C第一或第三象限角 D第二
6、或第四象限角 C C 是第二象限角，2k2k，kZ Z， 2 kk，kZ Z. 4 2 2 当k为偶数时，是第一象限角； 2 当k为奇数时，是第三象限角 2 综上，是第一或第三象限角，故选 C. 2 3与2 015终边相同的最小正角是_ 145145 2 0156(360)145，因此与2 015终边相同的最小正角是 145. 4终边在直线yx上的角的集合是_3 |60k180，kZ Z 如图，直线yx过原点，倾斜角为 60，3 在 0360范围内， 终边落在射线OA上的角是 60，终边落在射线OB上的角是 240，所以以射线OA，OB 为终边的角的集合为： S1|60k360，kZ Z， S
7、2|240k360，kZ Z， 所以角的集合SS1S2 |60k360，kZ Z|60180k360，kZ Z |602k180，kZ Z|60(2k1)180，kZ Z |60k180，kZ Z 规律方法 1.象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第 几象限角 (2)转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ Z)的形式，即找出与 已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角 2终边在某直线上角的求法四步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线 (2)按逆时针方向写出0,2)内的角 (3)再由终边相同
8、角的表示方法写出满足条件角的集合 (4)求并集化简集合 扇形的弧长、面积公式 【例 1】 (1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角； (2)已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 解 (1)设圆心角是，半径是r，则 Error!解得Error!(舍去)或Error! 扇形的圆心角为 . 1 2 (2)设圆心角是，半径是r，则 2rr40. 又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100. 1 2 1 2 当且仅当r10 时，Smax100，此时 2101040，2，当r10，2 时， 扇形的面积最大 规律方法 解决有关扇形的弧长和面积问
9、题的常用方法及注意事项 1解决有关扇形的弧长和面积问题时，要注意角的单位，一般将角度化为弧度. 2求解扇形面积的最值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得 到解决. 3在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. (1)若扇形的圆心角120，弦长AB12 cm，则弧长l_cm. 设扇形的半径为r cm，如图 8 3 3 由 sin 60 ，得r4 cm， 6 r 3 l|r4 cm. 2 3 3 8 3 3 (2)已知扇形AOB的周长为C，当圆心角为多少时，扇形的面积最大？ 解 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，由题意可知 Error!lC2r，代
10、入可得：S (C2r)rrr2， 1 2 C 2(0r C 2) S，0r ，当r 时，S最大，此时lC ， 2. (r C 4) 2 C2 16 C 2 C 4 C 2 C 2 l r 三角函数的定义 考法 1 利用三角函数的定义求值 【例 2】 (1)已知点P在角的终边上，且|OP|4，则点P的坐标为( ) 4 3 A(2，2) B.3 ( 1 2， 3 2) C(2，2) D.3 ( 3 2 ，1 2) (2)已知角的终边经过点P(x， 6)， 且cos ， 则 5 13 1 sin 1 tan _. (1 1)A A (2 2) (1)设P(x，y)， 由三角函数的定义知， sin ，
11、 cos， 即y 2 2 3 3 y 4 4 3 x 4 4 3 4sin2，x4cos2，即点P的坐标为(2，2)，故选 A. 4 3 3 4 3 3 (2)r，由 cos 得x236 5 13 x x236 5 13 解得x 或x (舍去) 5 2 5 2 所以P， ( 5 2，6) 所以 sin ，所以 tan ， 12 13 sin cos 12 5 则 . 1 sin 1 tan 13 12 5 12 2 3 考法 2 三角函数值的符号判定 【例 3】 (1)若 sin tan 0，且0，则角是( ) cos tan A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 (2)si
12、n 2cos 3tan 4 的值( ) A小于 0 B大于 0 C等于 0 D不确定 (1 1)C C (2 2)A A (1)由 sin tan 0 可知 sin ，tan 异号，从而可判断角为第 二或第三象限角 由0 可知 cos ，tan 异号，从而可判断角为第三或第四象限角 cos tan 综上可知，角为第三象限角 (2)sin 20，cos 30，tan 40，则 sin 2cos 3tan 40，故选 A. 考法 3 三角函数线的应用 【例 4】 函数y的定义域为_2cos x1 (kZ Z) 2k 3 ，2k 3 2cos x10， cos x . 1 2 由三角函数线画出x满足
13、条件的终边范围(如图阴影所示) x(kZ Z) 2k 3 ，2k 3 规律方法 1.利用三角函数定义求三角函数值的方法 (1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数 的定义求解 (2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点 的距离，然后用三角函数的定义求解 2利用三角函数线求解三角不等式的方法 对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临 界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集 (1)点P从(1,0)出发， 沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点， 则Q点的
14、2 3 坐标为( ) A. B. ( 1 2， 3 2)( 3 2 ，1 2) C. D. ( 1 2， 3 2)( 3 2 ，1 2) (2)若角的终边经过点P(，m)(m0)且 sin m， 则 cos 的值为_3 2 4 (3)函数ylg(2sin x1)的定义域为_ (1 1)A A (2 2) (3 3)kZ Z (1)由三角函数定义可知Q点的坐标 6 6 4 4(2 2k 6 ，2k5 6) (x，y)满足xcos ，ysin . 2 3 1 2 2 3 3 2 Q点的坐标为，故选 A. ( 1 2， 3 2) (2)由题意知r，3m2 sin m， m 3m2 2 4 m0，m，
15、r2，53m22 cos . 3 2 2 6 4 (3)由题意知 2sin x10，即 sin x ， 1 2 根据三角函数线，画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示) Error!. 1(2014全国卷)若 tan 0，则( ) Asin 20 Bcos 0 Csin 0 Dcos 20 A A tan 0，(kZ Z)是第一、三象限角 (k，k 2) sin ，cos 都可正、可负，排除B，C. 而 2(2k，2k)(kZ Z)， 结合正、余弦函数图象可知，A正确 取，则 tan 10，而 cos 20，故 D 不正确 4 2(2014大纲全国卷)已知角的终边经过点(4,3)，则 cos ( ) A. B. 4 5 3 5 C D 3 5 4 5 D D 因为角的终边经过点(4,3)， 所以x4，y3，r5， 所以 cos x r . 4 5 自我感悟：_ _ _