2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理教学案含解析.pdf

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1、第六节 正弦定理和余弦定理第六节 正弦定理和余弦定理 考纲传真 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 1正弦定理和余弦定理 定理正弦定理余弦定理 公式 2R.(R为ABC外接 a sin A b sin B c sin C 圆半径) a2b2c22bccos_A； b2c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C 公式 变形 (1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； (2)abcsin Asin Bsin C； (3)sin A，sin B，sin C a 2R b 2R c 2R cos A； b2c2a2 2bc cos B； c2a2b

2、2 2ca cos Ca 2b2c2 2ab 2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角A为钝角或直角 图形 关系式absin Absin Aababab 解的个数一解两解一解一解 3.三角形常用面积公式 (1)Saha(ha表示边a上的高)； 1 2 (2)Sabsin Cacsin Bbcsin A； 1 2 1 2 1 2 (3)Sr(abc)(r为内切圆半径) 1 2 常用结论 1三角形内角和定理 在ABC中，ABC； 变形： . AB 2 2 C 2 2三角形中的三角函数关系 (1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C； (2)sincos ；(4

3、)cossin . AB 2 C 2 AB 2 C 2 3在ABC中，sin Asin BABab， cosAcos BABab. 4三角形射影定理 abcos cccos B bacos Cccos A cacos Bbcos A 5三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)在ABC中，若AB，则必有 sin Asin B( ) (2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形( ) (3)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或 135.( )32 (4)在ABC中，.( ) a si

4、n A abc sin Asin Bsin C 解析 (1)正确ABabsin Asin B. (2)错误由 cos A0 知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形 b2c2a2 2bc (3)错误由ba知，BA. (4)正确利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知结论正确 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)在ABC中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 C C 由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余弦定 a 2R b 2R c 2R 理得

5、 cos C0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形 a2b2c2 2ab 3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A ，则b5 2 3 ( ) A. B. C2 D323 D D 由余弦定理得 5b242b2 ， 2 3 解得b3 或b (舍去)，故选 D. 1 3 4在ABC中，A45，C30，c6，则a等于( ) A3 B6 C2 D32266 B B 由正弦定理得，所以a6. a sin A c sin C csin A sin C 6 sin 45 sin 30 2 5(教材改编)在非钝角ABC中，2bsin Aa，则角B为( )3 A. B. C.

6、D. 6 4 3 2 C C 由 2bsin Aa得 2sin Bsin Asin A.33 sin B，又B是锐角或直角 3 2 B. 3 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB C 2 5 5 ( ) A4 B. C. D2230295 (2)(2019青岛模拟)在ABC中， 角A，B，C的对边分别是a，b，c， 已知bc，a22b2(1 sin A)，则A等于( ) A. B. C. D. 3 4 3 4 6 (1 1)A A (2 2)C C (1)因为 cos ， 所以 cos C2cos2 12 21 .于是， 在

7、 C 2 5 5 C 2 5 5 3 5 ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C5212251 32，所以AB 3 5 4.故选 A.2 (2)在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A. 又a22b2(1sin A)，所以 sin Acos A，即 tan A1， 又A是三角形内角，则A，故选 C. 4 规律方法 应用正弦、余弦定理的解题技巧 1求边：利用公式或其他相应变形公式求 解 .,2求 角 ： 先 求 出 正 弦 值 ， 再 求 角 ， 即 利 用 公 式sin A 或其他相应变形公式求解. 3已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定

8、理求解. 4灵活利用式子的特点转化：如出现a2b2c2ab形式用余弦定理，等式两边是 关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. (1)(2019郑州模拟)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小为( )3 A30 B45 C60 D120 (2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则 sin 7 B_，c_. (1 1)A A (2 2) 3 3 (1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C) 2 21 1 7 7 a sin A b sin B c sin C (ac)sin A

9、得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2ac.又3333 cos B，cos B，B30. a2c2b2 2ac 3 2 (2)因为a，b2，A60，所以由正弦定理得 sin B.由余7 bsin A a 2 3 2 7 21 7 弦定理a2b2c22bccos A可得c22c30，所以c3. 与三角形面积有关的问题 【例 2】 (1)(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_ 由bsin Ccsin B4asin Bsin C得 sinBsin Csin Csi

10、n B4sin Asin Bsin 2 3 3 C， 因为 sin Bsin C0， 所以 sin A .因为b2c2a28， cos A， 所以bc， 1 2 b2c2a2 2bc 8 3 3 所以SABCbcsin A . 1 2 1 2 8 3 3 1 2 2 3 3 (2)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 sin(AC)8sin2 . B 2 求 cos B； 若ac6，ABC的面积为 2，求 b. 解 由题设及ABC 得 sin B8sin2， B 2 故 sin B4(1cos B) 上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150，

11、解得 cos B1(舍去)，或 cos B. 15 17 故 cos B. 15 17 )由 cos B得 sin B， 15 17 8 17 故SABCacsin Bac. 1 2 4 17 又SABC2，则ac. 17 2 由余弦定理及ac6 得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)36217 2 4. (1 15 17) 所以b2. 规律方法 三角形面积公式的应用方法： (1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A， 一般是已知哪一个角就使用哪一个 1 2 1 2 1 2 公式 (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化

12、(1)(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ABC的面积为，则C( ) a2b2c2 4 A. B. C. D. 2 3 4 6 C C 因为SABCabsin C， 所以absin C 由余弦定理a2b2c22abcos 1 2 a2b2c2 4 1 2 C，得 2abcos C2absin C，即 cos Csin C，所以在ABC中，C.故选 C. 4 (2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2acos B. 证明：A2B； 若ABC的面积S，求角A的大小 a2 4 解 证明：由bc2acos B得 sin Bsin C2sin A

13、cos B. 即 2sin Acos Bsin Bsin(AB) sin Bsin Acos Bcos Asin B； 所以 sin(AB)sin B. 又A，B(0，)，故 0AB， 所以B(AB) 或ABB， 所以A(舍去)或A2B， 所以A2B. 由S得absin C， a2 4 1 2 a2 4 则 sin Bsin C sin A sin 2Bsin Bcos B. 1 2 1 2 由 sin B0 得 sin Ccos B. 又B，C(0，)，所以CB. 2 当BC时，A， 2 2 当CB时，A， 2 4 综上知A或A. 2 4 正余弦定理的简单应用 考法 1 判断三角形的形状 【

14、例 3】 (1)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， 满足acos Abcos B， 则ABC 的形状为( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 (2)(2019广州模拟)在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且b2c2a2bc， 若 sin Bsin Csin2A，则ABC的形状是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 (1 1)D D (2 2)C C (1)因为acos Abcos B， 由正弦定理得 sin Acos Asin Bcos B， 即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B或 2

15、A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或 2 直角三角形，故选 D. (2)由b2c2a2bc得 cos A . b2c2a2 2bc bc 2bc 1 2 A(0，)，A. 3 由sin Bsin Csin2A得bca2， 代入b2c2a2bc得(bc)20， 即bc， 从而ABC 是等边三角形，故选 C. 考法 2 求解几何计算问题 【例4】 (2019哈尔滨模拟)如图， 在ABC中，B，AB8， 点D在边BC上， 且CD2， 3 cosADC . 1 7 (1)求 sinBAD； (2)求BD，AC的长 解 (1)在ADC中，cosADC ， 1 7 sinADC，则 sinBAD

16、sin(ADCB)1cos2ADC1(1 7) 4 3 7 sinADCcosBcosADCsinB . 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 (2)在ABD中，由正弦定理得BD3. ABsinBAD sinADB 8 3 3 14 4 3 7 在ABC中， 由余弦定理得AC2AB2CB22ABBCcos B8252285 49， 即AC 1 2 7. 考法 3 正、余弦定理与三角函数的交汇问题 【例 5】 (2018天津高考)在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知bsin Aacos(B 6) (1)求角B的大小； (2)设a2，c3，求b和 sin(2AB

17、)的值 解 (1)在ABC中， 由正弦定理， 可得bsin Aasin B， 又由bsin Aacos a sin A b sin B ， 得asin Bacos， 即 sin Bcos， 可得 tan B.又因为B(0， )， (B 6)(B 6)(B 6) 3 可得B. 3 (2)在ABC中， 由余弦定理及a2，c3，B， 有b2a2c22accos B7， 故b 3 .7 由bsin Aacos，可得 sin A. (B 6) 3 7 因为ac，故 cos A. 2 7 因此 sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1 . 4 3 7 1 7 所以，sin(2AB)s

18、in 2Acos Bcos 2Asin B . 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 规律方法 平面几何中解三角形问题的求解思路 1把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定 理求解； 2寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 易错警示：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、 平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题. 如图，在ABC中，D是BC边上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面 积的 2 倍 (1)求； sin B sin C (2)若AD1，DC，求BD和A

19、C的长 2 2 解 (1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD. 1 2 1 2 因为SABD2SADC，BADCAD， 所以AB2AC. 由正弦定理可得 . sin B sin C AC AB 1 2 (2)因为SABDSADCBDDC， 所以BD.2 在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB， AC2AD2DC22ADDCcosADC. 故AB22AC23AD2BD22DC26， 又由(1)知AB2AC，所以解得AC1. 1 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 sin Bsin A(sin Ccos

20、C)0，a2，c，则C( )2 A. B. C. D. 12 6 4 3 B B 因为a2，c，2 所以由正弦定理可知， 2 sin A 2 sin C 故 sin Asin C.2 又B(AC)， 故 sin Bsin A(sin Ccos C) sin(AC)sin Asin Csin Acos C sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C (sin Acos A)sin C 0. 又C为ABC的内角， 故 sin C0， 则 sin Acos A0，即 tan A1. 又A(0，)，所以A. 3 4 从而 sin Csin A . 1 2 2 2

21、2 2 1 2 由A知C为锐角，故C，故选 B. 3 4 6 2(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2bcos Bacos Cccos A，则B_. 由 2bcos Bacos Cccos A及正弦定理， 3 得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A. 2sin Bcos Bsin(AC) 又ABC，ACB. 2sin Bcos Bsin(B)sin B. 又 sin B0，cos B .B. 1 2 3 3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos A ，cos 4 5 C，a1，则b_. 5 13 在

22、ABC中，cos A ，cos C， 2 21 1 1 13 3 4 5 5 13 sin A ，sin C，sin Bsin(AC) 3 5 12 13 sin Acos Ccos Asin C . 3 5 5 13 4 5 12 13 63 65 又，b. a sin A b sin B asin B sin A 1 63 65 3 5 21 13 4 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，6 则A_. 7575 如图，由正弦定理，得，sin B. 3 sin 60 6 sin B 2 2 又cb，B45， A180604575. 5(201

23、6全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c. (1)求C； (2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长7 3 3 2 解 (1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C， 即 2cos Csin(AB)sin C， 故 2sin Ccos Csin C. 可得 cos C ，所以C. 1 2 3 (2)由已知得absin C. 1 2 3 3 2 又C，所以ab6. 3 由已知及余弦定理得a2b22abcos C7， 故a2b213，从而(ab)225. 所以ABC的周长为 5.7 自我感悟：_ _ _