《2020版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教学案含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教学案含解析.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一节 平面向量的概念及线性运算第一节 平面向量的概念及线性运算 考纲传真 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理 解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算 及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义 1向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模) (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的 (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0 与任一向 量平行 (5)相等向量
2、：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 2向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的 运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a ab bb ba a； (2)结合律： (a ab b)c ca a(b bc c) 减法 求a a与b b的相反向 量b b的和的运算 叫做a a与b b的差 三角形法则 a ab ba a(b b) 数乘 求实数与向量 a a的积的运算 (1)|a a|a a|； (2)当0 时，a a的方向 与a a的方向相同；当0 时，a a的方向与a a的方向 相反；当0 时，a a0 (a a)a
3、a； ()a aa aa a； (a ab b)a ab b 3.共线向量定理 向量a a(a a0)与b b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得b ba a. 常用结论 1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点 的向量，即An1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向A1A2 A2A3 A3A4 A1An 量和为零向量 2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则 ()OP 1 2 OA OB 3.xy(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则xy1.OA OB OC 4ABC中，0点P为ABC的重心PA PB PC 基础自测 1(思考辨析)判断下列结
4、论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( ) (2)若a ab b，b bc c，则a ac c.( ) (3)a ab b是a ab b(R R)的充要条件( ) (4)ABC中，D是BC的中点，则 ()( )AD 1 2 AC AB 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)如图，D，E，F分别是ABC各边的中点，则下列结论错误的是( ) A. B.与共线EF CD AB DE C.与是相反向量 D. |BD CD AE 1 2 AC D D 选项 D 中，故 D 错误AE 1 2AC 3对于非零向量a a，b b，“
5、a“ab b0”是“abab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A A 由a ab b0 得a ab b，根据向量共线定理知abab，但ababa ab b0，故选 A. 4(教材改编)如图，ABCD的对角线交于M，若a a，b b，用a a，b b表示为AB AD MD ( ) A.a ab b B.a ab b 1 2 1 2 1 2 1 2 Ca ab b Da ab b 1 2 1 2 1 2 1 2 D D a ab b，故选 D.MD 1 2BD 1 2(AD AB ) 1 2(b ba a) 1 2 1 2 5(教材改编)化简： (
6、1)()_.AB MB BO OM (2)_.NQ QP MN MP (1 1) (2)0 (1)原式.AB AB BO OM MB AB (2)原式0.NP PN 平面向量的有关概念 1给出下列命题： 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； 若A，B，C，D是不共线的四点，且，则ABCD为平行四边形；AB DC a ab b的充要条件是|a a|b b|且abab； 已知，为实数，若a ab b，则a a与b b共线 其中正确命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 A A 是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等， 不一定有相同的起点和终点 是正确的，因
7、为，所以|且；又A，B，C，D是不共线的四点，AB DC AB DC AB DC 所以四边形ABCD为平行四边形 是错误的，当abab且方向相反时，即使|a a|b b|，也不能得到a ab b，所以|a a|b b| 且abab不是a ab b的充要条件，而是必要不充分条件 是错误的，当0 时，a a与b b可以为任意向量，满足a ab b，但a a与b b不一 定共线 2 设a a0为单位向量， 若a a为平面内的某个向量， 则a a|a|aa|a0； 若a a与a a0 0平行， 则a a |a a|a a0；若a a与a a0 0平行且|a a|1，则a aa a0.上述命题中，假命题
8、的个数是( ) A0 B1 C2 D3 D D 向量是既有大小又有方向的量，a a与|a|a|a|a0 0的模相同，但方向不一定相同，故是假 命题 ； 若a a与a a0 0平行， 则a a与a a0 0的方向有两种情况 ： 一是同向， 二是反向， 反向时a a|a|aa|a0 0， 故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3. 规律方法 辨析向量有关概念的五个关键点 1向量定义的关键是方向和长度. 2非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. 3相等向量的关键是方向相同且长度相等. 4单位向量是长度都是一个单位长度的向量. 5零向量的关键是方向没有限制，长度是 0，规定零向量与任何向量
9、共线. 平面向量的线性运算 【例 1】 (1)在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AEBC AD 的延长线与CD交于点F，则( ) A. B.AF 1 3AC 2 3BD AF 2 3AC 1 3BD C. D.AF 1 4AC 2 3BD AF 2 3AC 1 4BD (2)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1、 1 2 2 3 DE AB AC 2为实数)，则12的值为_ (1 1)B B (2 2) (1)在四边形ABCD中，如图所示，因为，所以四边形ABCD为平行 1 1 2 2 BC AD 四边形由已知得，由题意知DEFBE
10、A，则，所以DE 1 3EB DF 1 3AB CF 2 3CD 2 3(OD OC ) ，所以，故选 B. 2 3 BD AC 2 BD AC 3 AF AC CF AC BD AC 3 2 3AC 1 3BD (2) ()，所以1 ，2 ，即DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3 BA AC 1 6AB 2 3AC 1 6 2 3 12 . 1 2 规律方法 向量的线性运算的求解方法 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基 本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解 (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段
11、的比例关系外，有时还需要利用三角形中位 线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系 的向量来求解 (1)设D为ABC所在平面内一点，3，则( )BC CD A. B.AD 1 3AB 4 3AC AD 1 3AB 4 3AC C. D.AD 4 3AB 1 3AC AD 4 3AB 1 3AC (2)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；yAM MC BN NC MN AB AC _. (1 1)A A (2 2) (1)因为3， 1 1 2 2 1 1 6 6 BC CD 所以，CD 1 3BC 所以 ().故选 A.AD AC CD AC 1
12、3BC AC 1 3 AC AB 1 3AB 4 3AC (2)由题中条件得， ()xy， 所MN MC CN 1 3AC 1 2CB 1 3AC 1 2 AB AC 1 2AB 1 6AC AB AC 以x ，y . 1 2 1 6 共线向量定理的应用 【例 2】 设两个非零向量a a与b b不共线， (1)若a ab b，2a a8b b，3(a ab b)，求证：A，B，D三点共线；AB BC CD (2)试确定实数k，使ka ab b和a akb b共线 解 (1)证明：a ab b，2a a8b b，3(a ab b)，AB BC CD 2a a8b b3(a ab b)BD BC
13、CD 2a a8b b3a a3b b5(a ab b)5.AB ，共线，又它们有公共点B，AB BD A，B，D三点共线 (2)ka ab b和a akb b共线， 存在实数，使ka ab b(a akb b)， 即ka ab ba akb b，(k)a a(k1)b b. a a，b b是两个不共线的非零向量， kk10，k210，k1. 规律方法 共线向量定理的 3 个应用 (1)证明向量共线：对于向量a a，b b，若存在实数，使a ab b(b b0)，则a a与b b共线 (2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线AB AC (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相
14、等的条件列方程(组)求参数的值 易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点 (1)已知向量a a3b b，5a a3b b，3a a3b b，则( )AB BC CD AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线 CA，C，D三点共线 DB，C，D三点共线 (2)(2019黄山模拟)已知向量a a，b b是两个不共线的向量， 若向量m m4a ab b与n na ab b 共线，则实数的值为( ) A4 B C. D4 1 4 1 4 (1 1)B B (2 2)B B (1)2a a6b b2(a a3b b)2，共线，又有公共点BD BC CD AB BD AB B， A，B，D三点
15、共线故选 B. (2)由题意知m mkn n，即 4a ab bk(a ab b) Error!解得Error!故选 B. 1(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB ( ) A. B. 3 4AB 1 4AC 1 4AB 3 4AC C. D. 3 4AB 1 4AC 1 4AB 3 4AC A A 由题可得 ()，故选 A.EB EA AB 1 4 AB AC AB 3 4AB 1 4AC 2(2014全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB FC ( ) A. B.BC 1 2AD C. D.AD 1 2BC C C 如图，EB FC EC CB FB BC ()EC FB 1 2 AC AB 2. 1 2 AD AD 3 (2015全国卷)设向量a a，b b不平行， 向量a ab b与a a2b b平行， 则实数_. a ab b与a a2b2b平行，a ab bt(a a2b b)， 1 1 2 2 即a ab bta a2tb b，Error!解得Error! 自我感悟：_ _ _