《2020版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案含解析.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四节 数系的扩充与复数的引入第四节 数系的扩充与复数的引入 考纲传真 1.理解复数的概念， 理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及 其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义 1复数的有关概念 (1)复数的概念：形如abi(a，bR R)的数叫复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复 数z的虚部(i 为虚数单位) (2)分类： 满足条件(a，b为实数) abi 为实数b0 abi 为虚数b0复数的分类 abi 为纯虚数a0 且b0 (3)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR R) (4)共轭复数：abi 与cdi 共轭ac，bd(
2、a，b，c，dR R) (5)复数的模 ： 向量的模叫做复数zabi的模， 记作|z|或|abi|， 即|z|abi|OZ (a，bR R)a2b2 2复数的几何意义 复数zabi复平面内的点Z(a，b) 平面向量(a，b)OZ 3复数的运算 (1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR R. (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四 边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.OZ OZ1 OZ2 Z1Z2 OZ2 OZ1 常用结论 1(1i)22i，i，i. 1i 1i 1i 1i 2baii(abi) 3i4n1，i4n
3、1i，i4n21，i4n3i(nN N*)；i4ni4n1i4n2i4n3 0(nN N*) 4z |z|2| |2，|z1z2|z1|z2|，|zn|z|n.zz | z1 z2| |z1| |z2| 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)复数zabi(a，bR R)中，虚部为bi. ( ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数 ( ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离， 也就是复数对应的向量的 模. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(教
4、材改编)如图所示，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点 是( ) AA BB CC DD B B 共轭复数对应的点关于实轴对称 3(教材改编)设mR R，复数zm21(m1)i 表示纯虚数，则m的值为( ) A1 B1 C1 D0 A A 由题意得Error!，解得m1，故选 A. 4复数( ) 12i 2i Ai B1i Ci D1i A A i. 12i 2i 12i2i 2i2i 5i 5 5 (教材改编)设x，yR R， 若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i， 则复数zxyi 在复平面上对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 D D
5、 由题意知Error!解得Error! 则复数z42i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选 D. 复数的有关概念 1(2018全国卷)设z2i，则|z|( ) 1i 1i A0 B. C1 D. 1 2 2 C C z2i2ii，所以|z|1. 1i 1i 1i2 1i1i 2(2018浙江高考)复数(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) 2 1i A1i B1i C1i D1i B B 1i， 2 1i 21i 1i1i 所以复数的共轭复数为 1i，故选 B. 2 1i 3(2017天津高考)已知aR R，i 为虚数单位，若为实数，则a的值为_ ai 2i 2 2 aR R，i 为实数， a
6、i 2i ai2i 2i2i 2a1a2i 5 2a1 5 a2 5 0，a2. a2 5 规律方法 解决复数概念问题的策略 1复数的分类、 复数的相等、 复数的模， 共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abia，bR R 的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程组即可. 2求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义 求解. 复数的运算 考法 1 复数的乘法运算 【例 1】 (1)(2018全国卷)(1i)(2i)( ) A3i B3i C3i D3i (2)(2016全国卷)设(12i)(a
7、i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a ( ) A3 B2 C2 D3 (3)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a( ) A1 B0 C1 D2 (1 1)D D (2 2)A A (3 3)B B (1)(1i)(2i)2i2ii23i.故选 D. (2)(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3，故选 A. (3)因为(2ai)(a2i)4i， 所以 4a(a24)i4i. 所以Error!解得a0.故选 B. 考法 2 复数的除法运算 【例 2】 (1)(2018天津高考)i 是虚数单位，复数_. 67i 12i (2)(2018江苏高考)若复数z满足 i
8、z12i，其中 i 是虚数单位，则z的实部为 _ (1 1)4 4i (2)2 (1)4i. 67i 12i 67i12i 12i12i 6147i12i 5 (2)z2i 12i i 12ii ii 故z的实部为 2. 考法 3 复数的综合运算 【例 3】 (1)(2019太原模拟)设复数z满足i，则z的共轭复数为( ) 1z 1z Ai Bi C2i D2i (2)(2016全国卷)若z43i，则( ) z |z| A1 B1 C. i D. i 4 5 3 5 4 5 3 5 (3)若复数z满足 2z 32i，其中 i 为虚数单位，则z等于( )z A12i B12i C12i D12i
9、 (1 1)A A (2 2)D D (3 3)B B (1)由i 得 1zizi. 1z 1z 即(1i)z1i，则zi， 1i 1i 因此 i，故选 A.z (2)z43i， 43i，|z|5，z4232 i. z |z| 43i 5 4 5 3 5 (3)设zabi(a，bR R)， 则 abi， 所以 2(abi)(abi)32i， 整理得 3abiz 32i，所以Error!解得Error! 所以z12i，故选 B. 规律方法 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 1复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一 类同类项，不含 i 的看作另一类同类
10、项，分别合并即可. 2复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把 i 的 幂写成最简形式. 3复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简， 一般化为abia， bR R的形式，再结合相关定义解答. (1)(2019合肥模拟)已知 i 为虚数单位，则( ) 2i34i 2i A5 B5i C i D i 7 5 12 5 7 5 12 5 (2)(2019惠州模拟)已知复数z的共轭复数为 ， 若 (1i)2i(i 为虚数单位)， 则zzz ( ) Ai Bi1 Ci1 Di (3)(2019南昌模拟)设z的共轭复数是 ，若z 2，z22i，则z( )zz A
11、. i B. i 1 2 1 2 1 2 1 2 C1i D1i (1 1)A A (2 2)C C (3 3)D D (1)法一：5，故选 A. 2i34i 2i 105i 2i 法二：5，故选 A. 2i34i 2i 2i234i 2i2i 34i34i 5 (2)由已知可得 1i，则z1i，故选 C.z 2i 1i 2i1i 1i1i (3)对四个选项逐一验证可知，当z1i 时，符合题意，故选 D. 复数的几何意义 【例 4】 (1)(2018北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 1 1i ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2)(2019郑州模拟)若复
12、数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限， 则实数a的 取值范围是( ) A(，1) B(，1) C(1，) D(1，) (1 1)D D (2 2)B B (1) i， 所以的共轭复数为 1 1i 1i 1i1i 1i 2 1 2 1 2 1 1i 1 2 1 2 i，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选 D. ( 1 2， 1 2) (2)复数(1i)(ai)a1(1a)i，其在复平面内对应的点(a1,1a)在第二象 限，故Error!解得a1，故选 B. 规律方法 与复数几何意义相关的问题的一般解法 第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式； 第二步，把复数问题转化
13、为复平面的点之间的关系，依据是复数abi 与复平面上的点 a，b一一对应. (1)(2019广州模拟)设z1i(i 是虚数单位)， 则复数 z2在复平面内对 2 z 应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2)在复平面内与复数z所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为 5i 12i ( ) A12i B12i C2i D2i (1 1)A A (2 2)C C (1)因为z1i，所以 z2(1i)21 2 z 2 1i 21i 1i1i 2ii22i1i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象 21i 2 限，故选 A. (2)依题意得，
14、复数zi(12i)2i，其对应的点的坐标是 5i12i 12i12i (2,1)，因此点A(2,1)对应的复数为2i. 1(2017全国卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) Ai(1i)2 Bi2(1i) C(1i)2 Di(1i) C C A项，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是纯虚数 B 项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数 C 项，(1i)212ii22i，是纯虚数 D 项，i(1i)ii21i，不是纯虚数 故选 C. 2(2017全国卷)复平面内表示复数zi(2i)的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 C C zi(2i)12i， 复数z12i 所对应的复平面内的点为Z(1， 2)，位于第三象限 故选 C. 3(2016全国卷)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|( ) A1 B. C. D223 B B (1i)x1yi，xxi1yi. 又x，yR R，x1，yx1. |xyi|1i|，故选 B.2 4(2015全国卷)已知复数z满足(z1)i1i，则z( ) A2i B2i C2i D2i C C (z1)ii1，z11i， i1 i z2i，故选 C. 自我感悟：_ _ _