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1、第二节 等差数列及其前n项和第二节 等差数列及其前n项和 考纲传真 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能 在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了 解等差数列与一次函数的关系 1等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列用符号表示为an1and(nN N*，d为常数) (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等 ab 2 差中项 2等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：ana1(n
2、1)d. (2)前n项和公式：Snna1. nn1d 2 na1an 2 3等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN N*) (2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN N*)，则akalaman. (3)若an是等差数列，公差为d，则a2n和a2n1也是等差数列，公差为 2d. (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列 (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN N*)是公差为md的等差 数列 (6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列 (7)等差数列的前n项和公式与函数的关系 Snn2n. d
3、2(a 1d 2) 常用结论 1等差数列前n项和的最值 在等差数列an中， 若a10，d0， 则Sn有最大值， 即所有正项之和最大， 若a10，d0， 则Sn有最小值，即所有负项之和最小 2两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则有. an bn S2n1 T2n1 3等差数列an的前n项和为Sn，则数列也是等差数列 Sn n 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN N*，都有 2an1anan2. ( ) (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的( ) (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项
4、公式为n的一次函数( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为 0 的二次函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)等差数列 11,8,5，中49 是它的第几项( ) A第 19 项 B第 20 项 C第 21 项 D第 22 项 C C 由题意知an11(n1)(3)3n14， 令3n1449 得n21， 故选 C. 3在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于( ) A1 B0 C1 D6 B B a2，a4，a6成等差数列，则a60，故选 B. 4小于 20 的所有正奇数的和为_ 100100 小于 20 的正奇数组成首项为 1，末项为 19 的等差数列，共有
5、 10 项，因此它们的 和S10100. 10119 2 5(教材改编)设Sn为等差数列an的前n项和，S2S6，a41，则a5_. 1 1 由S2S6得a3a4a5a60，即a4a50，又a41，则a51. 等差数列基本量的运算 1已知等差数列an的前n项和为Sn，a6a1854，S19437，则a2 018的值是( ) A4 039 B4 038 C2 019 D2 038 A A 设等差数列an的公差为d，由题意可知 Error!解得Error! 所以a2 0185201724 039，故选 A. 2 (2019武汉模拟)已知数列an是等差数列，a1a78，a22， 则数列an的公差d
6、等于( ) A1 B2 C3 D4 C C 由题意知Error! 解得Error!故选 C. 3 张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织 九匹三丈”其意思为今有一女子擅长织布，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布， 若第一天织 5 尺布，现在一个月(按 30 天计)共织 390 尺布则该女子最后一天织布的尺数为 ( ) A18 B20 C21 D25 C C 用an表示第n天织布的尺数，由题意知， 数列an是首项为 5，项数为 30 的等差数列 所以390， 30a1a30 2 即390，解得a3021，故选 C. 305a30 2 4设Sn为等差数
7、列an的前n项和，a128，S99，则S16_. 7272 设等差数列an的首项为a1，公差为d， 由已知，得Error! 解得Error! S16163(1)72. 16 15 2 规律方法 等差数列运算问题的通性通法 1等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d， 然后由通项公式或前n项和 公式转化为方程组求解. 2等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三 个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题. 等差数列的判定与证明 【例 1】 已知数列an中，a1 ，an2(n2，nN N*)，数列bn满足bn 3 5 1 an1 1 an1 (nN
8、 N*) (1)求证：数列bn是等差数列； (2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由 解 (1)证明：因为an2(n2，nN N*)，bn(nN N*)， 1 an1 1 an1 所以bn1bn 1 an11 1 an1 1 (2 1 an)1 1 an1 1. an an1 1 an1 又b1 . 1 a11 5 2 所以数列bn是以 为首项，1 为公差的等差数列 5 2 (2)由(1)知bnn ， 7 2 则an11. 1 bn 2 2n7 设f(x)1， 2 2x7 则f(x)在区间和上为减函数 (， 7 2) ( 7 2，) 所以当n3 时，an取得最小值1， 当n4 时，an取
9、得最大值 3. 拓展探究 本例中， 若将条件变为a1 ，nan1(n1)ann(n1)， 试求数列an 3 5 的通项公式 解 由已知可得 1， an1 n1 an n 即1，又a1 ， an1 n1 an n 3 5 是以 为首项，1 为公差的等差数列， an n a1 1 3 5 (n1)1n ， an n 3 5 2 5 ann2n. 2 5 规律方法 等差数列的四个判定方法 1定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数. 2等差中项法 ： 证明对任意正整数n都有2an1anan2后， 可递推得出an2an1 an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等
10、差数列. 3通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定 义判定数列an为等差数列. 4前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义 法证明数列an为等差数列. (2019贵州模拟)已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n. (1)求a2，a3； (2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式 an n 解 (1)由已知，得a22a14， 则a22a14，又a11，所以a26. 由 2a33a212， 得 2a3123a2，所以a315. (2)由已知nan1(n1)an2n(n1)，得 2，即2， nan1n1an
11、 nn1 an1 n1 an n 所以数列是首项为1，公差d2 的等差数列 an n a1 1 则12(n1)2n1，所以an2n2n. an n 等差数列性质的应用 考法 1 等差数列项的性质的应用 【例 2】 (1)(2019长沙模拟)数列an满足 2anan1an1(n2)，且a2a4a6 12，则a3a4a5等于( ) A9 B10 C11 D12 (2)(2019银川模拟)已知等差数列an的公差为d(d0)， 且a3a6a10a1332， 若am 8，则m的值为( ) A8 B12 C6 D4 (1 1)D D (2 2)A A (1)数列an满足 2anan1an1(n2)，则数列
12、an是等差数列，利用 等差数列的性质可知，a3a4a5a2a4a612. (2)由a3a6a10a1332 得 4a832，即a88. 又d0，所以等差数列an是单调数列，由am8，知m8，故选 A. 考法 2 等差数列前n项和的性质 【例 3】 (1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于 ( ) A63 B45 C36 D27 (2)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 019 S2 014 2 014 S2 008 2 008 _. (1 1)B B (2 2)8 0768 076 (1)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S
13、6为等差数列 即 2(S6S3)S3(S9S6)， 得到S9S62S63S345，即a7a8a945，故选 B. (2)由等差数列的性质可得也为等差数列 Sn n 设其公差为d，则6d6，d1. S2 014 2 014 S2 008 2 008 故2 018d2 0142 0184， S2 019 2 019 S1 1 S2 0198 076. 规律方法 应用等差数列的性质应注意两点 1在等差数列an中， 若mnpq2km、n、p、q、kN N*， 则amanapaq2ak 是常用的性质. 2掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、 序号、项的值的特征，这是解
14、题的突破口. (1)已知等差数列an的前n项和为Sn， 且S1010，S2030， 则S30 _. (2)等差数列an的前n项和为Sn，若am10，S2m1110，则m_. (3)等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则_. Sn Tn 3n2 2n1 a7 b7 (1 1)6060 (2 2)6 6 (3 3) (1)由题意知，S10，S20S10，S30S20成等差数列 3 37 7 2 27 7 则 2(S20S10)S10(S30S20)， 即 4010(S3030)， 解得S3060. (2)S2m1110，解得m6. 2m1a1a2m1 2 22m1am 2 (3) a
15、7 b7 2a7 2b7 a1a13 b1b13 13 2 a1a13 13 2 b1b13 . S13 T13 3 132 2 131 37 27 等差数列的前n项和及其最值 【例 4】 (1)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的 值是( ) A5 B6 C7 D8 C C (1)法一 ： 由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80. 根据首项等于 13 可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，故n7 时，Sn最大 法二 ： 由S3S11， 可得 3a13d11a155d， 把a113 代入， 得d2， 故Sn13nn(n
16、1)n214n.根据二次函数的性质，知当n7 时Sn最大 法三：根据a113，S3S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后 递减根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对 称性，可得只有当n7 时，Sn取得最大值 311 2 (2)已知等差数列an的前三项和为3，前三项的积为 8. 求等差数列an的通项公式； 若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和Tn. 解 设等差数列an的公差为d， 则a2a1d，a3a12d. 由题意得Error! 解得Error!或Error! 所以由等差数列通项公式可得 an23(n1)3n5 或an4
17、3(n1)3n7. 故an3n5 或an3n7. 当an3n5 时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列； 当an3n7 时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件 故|an|3n7|Error! 记数列3n7的前n项和为Sn，则Snn2n. n43n7 2 3 2 11 2 当n2 时，Tn|a1|a2|an|(a1a2an)n2n， 3 2 11 2 当n3 时，Tn|a1|a2|a3|an|(a1a2)(a3a4an)Sn2S2 n2n10， 3 2 11 2 综上知：TnError! 规律方法 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前
18、n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求 二次函数最值的方法求解 (2)邻项变号法： 当a10，d0 时，满足Error!的项数m使得Sn取得最小值为Sm. (1)在等差数列an中，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的 前n项和，则使Sn达到最大值的n是( ) A21 B20 C19 D18 (2)设数列an的通项公式为an2n10(nN N*)，则|a1|a2|a15|_. (1 1)B B (2 2)130130 (1)因为a1a3a53a3105，a2a4a63a499， 所以a335，a4 33，所以d2，a139.由ana1(n1)d392(n1)41
19、2n0，解得n，所以 41 2 当n20 时Sn达到最大值，故选 B. (2)由an2n10(nN N*)知an是以8为首项， 2为公差的等差数列， 又由an2n100 得n5， 所以n5时，an0， 当n5时，an0， 所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4 a5)(a6a15)S152S5130. 1(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an 的公差为( ) A1 B2 C4 D8 C C 设an的公差为d，则 由Error! 得Error!解得d4. 故选 C. 2 (2015全国卷)已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前n项和， 若
20、S84S4， 则a10( ) A. B. C10 D12 17 2 19 2 B B 公差为 1， S88a118a128，S44a16. 8 81 2 S84S4，8a1284(4a16)，解得a1 ， 1 2 a10a19d 9.故选 B. 1 2 19 2 3(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5 ( ) A5 B7 C9 D11 A A a1a3a53a33a31，S55a35. 5a1a5 2 4(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315. (1)求an的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值 解 (1)设an的公差为d，由题意得 3a13d15.由a17 得d2. 所以an的通项公式为an2n9. (2)由(1)得Snn28n(n4)216. 所以当n4 时，Sn取得最小值，最小值为16. 自我感悟：_ _ _