《2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第1节空间几何体的结构特征直观图及表面积与体积教学案含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第1节空间几何体的结构特征直观图及表面积与体积教学案含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一节 空间几何体的结构特征、直观图及表面积与体积第一节 空间几何体的结构特征、直观图及表面积与体积 考纲传真 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描 述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出它们的直观图.3.了解球、棱柱、棱锥、 台体的表面积和体积的计算公式 1简单多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形； (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形； (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形 2旋转体的形成 几何体旋转图形旋转轴 圆柱矩形任一边所在的直线 圆锥直角三角形任一直角边
2、所在的直线 圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线 球半圆直径所在的直线 3.直观图 斜二测画法： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直， 直观图中x轴、y轴的夹角为 45(或 135)， z轴与x轴和y轴所在平面垂直 (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴， 平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半 4圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r1 r2)l 5柱体、锥体、台体和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积体积 柱体(棱柱和圆柱)S
3、表面积S侧2S底VSh 锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh 1 3 台体(棱台和圆台) S表面积S侧 S上S下 V (S上S下 1 3 )hS上S下 球S4R2V R3 4 3 常用结论 1按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系： S直观图S原图形，S原图形2S直观图 2 4 2 2多面体的内切球与外接球常用的结论 (1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r ，外接球半径Ra. a 2 3 2 (2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R. a2b2c2 2 (3)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径ra，外接球半径Ra. 6 3
4、6 12 6 4 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 ( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 ( ) (3)菱形的直观图仍是菱形( ) 答案 (1) (2) (3) 2下列说法正确的是( ) A相等的角在直观图中仍然相等 B相等的线段在直观图中仍然相等 C正方形的直观图是正方形 D若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 D D 根据斜二测画法的规则知，A，B，C 均不正确，故选 D. 3 (教材改编)如图所示， 长方体ABCDABCD中被截去一部分， 其中EH
5、AD， 则剩下的几何体是( ) A棱台 B四棱柱 C五棱柱 D简单组合体 C C 由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱 4(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的 半径为( ) A1 cm B2 cm C3 cm D. cm 3 2 B B S表r2rlr2r2r3r212，r24， r2(cm) 5一个六棱锥的体积为 2，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱3 锥的侧面积为_ 12 设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h. 由题意，得 6 2h2， 1 3 1 2 33 h1， 斜高h2，12 32 S侧6 2212. 1 2 空
6、间几何体的结构特征、直观图 1给出下列命题： (1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； (2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； (3)在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； (4)存在每个面都是直角三角形的四面体； (5)棱台的侧棱延长后交于一点 其中正确命题的个数为( ) A2 B3 C4 D5 C C (1)不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等 ； (2) 正确， 若三棱锥的三条侧棱两两垂直， 则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角 ； (3) 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，
7、又垂直于底面；(4)正确，如图，正方 体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形 ； (5)正确，由棱台的概念可知 2以下命题： (1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； (2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； (3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； (4)一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 B B 命题(1)错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题(2)错，因为 这条腰必须是垂直于两底的腰；命题(3)对；命题(4)错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆 锥才可以 3下列结
8、论正确的是 ( ) A各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥 C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 D D A错误如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都 是三角形，但它不是棱锥 图 图 B 错误如图 2，若ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直 线，所得的几何体都不是圆锥 C 错误由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长D 正确 4如图所示，四边形OABC是上底为 2，下底为 6，底角
9、为 45的等腰梯形用斜二测 画法，画出这个梯形的直观图OABC，则在直观图中，梯形的高为_ 因为OA6，CB2，所以OD2. 2 2 2 2 又因为COD45，所以CD2. 梯形的直观图如图，则CD1. 所以梯形的高为CE. 2 2 规律方法 1.解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 1关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念， 要善于通过举 反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可. 2圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元 素的关系. 3棱圆台是由棱圆锥截得的，所以在解决棱圆台问题时，要注意“还台 为锥”的解题策
10、略. 2.直观图的还原技巧,由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或 线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相 应线段长的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 空间几何体的表面积与体积 【例 1】 (1)(2018全国卷)已知圆柱的上、 下底面的中心分别为O1，O2， 过直线O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A12 B12 C8 D1022 (2)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为 1，且AA1底面ABC，则三棱锥 B1ABC1的体积为( ) A. B. 3 12
11、 3 4 C. D. 6 12 6 4 (1 1)B B (2 2)A A (1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所 以圆柱的高为 2， 底面圆的直径为 2， 所以该圆柱的表面积为 2()22222222 12. (2)三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积 3 2 为 ，故其体积为 . 1 2 1 3 1 2 3 2 3 12 规律方法 求空间几何体的体积的常用方法 1公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解. 2割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的 几何体
12、补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积. 3等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面 面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形， 它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是 三棱锥的体积. (2018天津高考)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥A1BB1D1D的体 积为_ 法一 ： 连接A1C1交B1D1于点E(图略)，则A1EB1D1，A1EBB1，则A1E平面BB1D1D， 1 1 3 3 所以A1E为四棱锥A1BB1D1D的高
13、， 且A1E， 矩形BB1D1D的长和宽分别为， 1， 故VA1BB1D1D 2 2 2 1 . 1 3 2 2 2 1 3 法二 ： 连接BD1(图略)， 则四棱锥A1BB1D1D分成两个三棱锥BA1DD1与BA1B1D1，VA1BB1D1D VBA1DD1VBA1B1D1 111 111 . 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 球与空间几何体的切、接问题 考法 1 外接球 【例 2】 (1)(2017全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的 同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A B. C. D. 3 4 2 4 (2)(2018全国卷)设A，B，C，D是同
14、一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等 边三角形且其面积为 9，则三棱锥DABC体积的最大值为( )3 A12 B18 C24 D543333 (1 1)B B (2 2)B B (1)设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的 圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形 r.1(1 2) 3 2 圆柱的体积为Vr2h 1. 3 4 3 4 故选 B. (2)如图，E是AC中点，M是ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为SABC AB29， 所以AB6，BMBE2.易知OM平面ABC， 所以在 RtOBM中，OM 3 4 3 2
15、3 2 3 AB2AE23 2， 所以当D，O，M三点共线且DMODOM时， 三棱锥DABC的体积取得最大值，OB2BM2 且最大值VmaxSABC(4OM) 9618.故选 B. 1 3 1 3 33 考法 2 内切球 【例 3】 已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2 的比值为_ 正四面体的表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的 ， 6 6 3 3 3 4 3 1 4 即r aa，因此内切球表面积为S24r2，则. 1 4 6 3 6 12 a2 6 S1 S2 3a2 a2 6 6 3 规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法 1求解球与
16、棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题 转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. 2若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直， 且PAa，PBb，PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2求解. 正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长都等于 2，则它的外接球的表面积是2 ( ) A16 B12 C8 D4 A A 设正四棱锥的外接球半径为R，顶点P在底面上的射影为O(图略)，因为OAAC 1 2 2，所以PO2.又OAOB 1 2 AB2BC2 1 2 2 222 22P
17、A2OA22 2222 OCOD2，由此可知R2，于是S球4R216. 1(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内 墙角处堆放米(如图， 米堆为一个圆锥的四分之一)， 米堆底部的弧长为 8 尺， 米堆的高为 5 尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3， 估算出堆放的米约有( ) A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 B B 设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r，所以米堆的体积为V 2 16 1 4 1 3 r25
18、5(立方尺)故堆放的米约有1.6222(斛)故选 B. 12( 16 ) 2 320 9 320 9 2(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC 2，AC1与平面BB1C1C所成的角为 30，则该长方体的体积为( ) A8 B6 2 C8 D823 C C 连接BC1，AC1，AC.因为AB平面BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以ABC1 为直角三角形又AB2，所以BC12.又B1C12，所以BB12，故该长32 32222 方体的体积V2228.22 3(2017全国卷)长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则 球O的表面积为_ 14 长方体的顶点都在球O的球面上， 长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径 设球的半径为R， 则 2R.32221214 球O的表面积为S4R2414. ( 14 2) 2 自我感悟：_ _ _