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1、第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲传真 1.理解空间直线、 平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和 定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 1平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 (2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线 (4)公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线，有且
2、只有一个平面 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 2空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 Error! (2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a 与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围：. (0， 2 (3)平行公理(公理 4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系图形表示符号表示公共点 直线a在平面内a有无数个公共点 直线a平面
3、 平行 a没有公共点 直线a与平面 斜交 aA 直线在平面 外 直线a与平面 垂直 a 有且只有一个公共点 (2)空间中两个平面的位置关系 位置关系图形表示符号表示公共点 两平面平行没有公共点 斜交l 两平面相 交 垂直 且 a 有一条公共直线 常用结论 1异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 2等角定理的引申 (1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等 (2)在等角定理中， 若两角的两边平行且方向一个边相同， 一个边相反， 则这两个角互补 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)两个平
4、面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线 ( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( ) (4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异 面直线B1C与EF所成的角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 C C 连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角，又B1D1B1CD1C， D1B1C60. 3(教材改编)下列命题正确的是(
5、 ) A经过三点确定一个平面 B经过一条直线和一个点确定一个平面 C四边形确定一个平面 D两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D D 根据确定平面的公理和推论知选项 D 正确 4已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形 一定是( ) A空间四边形 B矩形 C菱形 D正方形 B B 四边形的相邻两边分别平行于空间四边形的两角对角线，故选 B. 5已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平 面和平面相交”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A A 由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，
6、有公共点， 可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异 面因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件故选 A. 平面的基本性质 【例 1】 (1)以下命题中，正确命题的个数是( ) 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 A0 B1 C2 D3 B B 正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四 点矛盾 ； 中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共
7、面，故错误 ； 中， 直线b，c可能是异面直线，故错误；中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共 面，故错误 (2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证： E，C，D1，F四点共面； CE，D1F，DA三线共点 解 如图，连接EF，CD1，A1B. E，F分别是AB，AA1的中点， EFBA1. 又A1BD1C，EFCD1， E，C，D1，F四点共面 EFCD1，EFCD1， CE与D1F必相交，设交点为P， 则由P直线CE，CE平面ABCD， 得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直线DA，CE，D1F
8、，DA三线共点 规律方法 共点、共线、共面问题的证明方法 1证明点共线问题：公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的 公共点，再根据基本公理 3 证明这些点都在交线上；同一法：选择其中两点确定一条直线， 然后证明其余点也在该直线上. 2证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点. 3证明点、直线共面问题：纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此 平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最 后证明平面，重合. (1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点 不共面的一个图是 ( ) A B C D
9、 D D 根据异面直线的判定定理，选项 D 中PS与QR是异面直线，则四点P，Q，R，S不共 面故选 D. (2)如图， 在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1 的交点求证：D1，H，O三点共线 证明 如图，连接BD，B1D1， 则BDACO， 因为BB1綊DD1， 所以四边形BB1D1D为平行四边形， 又HB1D， B1D平面BB1D1D， 则H平面BB1D1D， 因为平面ACD1平面BB1D1DOD1， 所以HOD1. 即D1，H，O三点共线 空间两条直线的位置关系 【例 2】 (1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c，
10、 给出下列命题： 若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交； 若a不垂直于c，则a与b一定不垂直； 若ab，则必有ac. 其中真命题有_(填序号) (2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是 异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) (1 1) (2 2) (1)对于，若c与a，b都不相交，则ca，cb，从而ab， 这与a与b是异面直线矛盾，故正确 对于，a与b可能异面垂直，故错误 对于，由ab可知a，又c，从而ac，故正确 (2)图中，直线GHMN； 图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN 异面；图中，连接MG(图
11、略)，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H 平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图中，GH与MN异面 规律方法 异面直线的判定方法 (1)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( ) A一定是异面直线 B一定是相交直线 C不可能是平行直线 D不可能是相交直线 (2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结 论： 直线AM与CC1是相交直线； 直线AM与BN是平行直线； 直线BN与MB1是异面直线； 直线AM与DD1是异面直线 其中正确的结论为_(把你认为正确的结论的序号都填上) (1 1)C C (2 2
12、) (1)c与b可能相交，也可能异面，但可不能平行，故选 C. (2)根据两条异面直线的判定定理知，正确 异面直线所成的角 【例 3】 (1)(2018全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面 直线AE与CD所成角的正切值为( ) A. B. 2 2 3 2 C. D. 5 2 7 2 (2)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，BB11，P是AB的中点，则异面 直线BC1与PD所成的角等于( ) A30 B45 C60 D90 (1 1)C C (2 2)C C (1)如图，连接BE，因为ABCD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相 交直线
13、AE与AB所成的角，即EAB.不妨设正方体的棱长为 2，则CE1，BC2，由勾股定 理得BE.又由AB平面BCC1B1可得ABBE，所以 tanEAB.故选 C.5 BE AB 5 2 (2)取CD的中点Q，连接BQ，C1Q P是AB的中点， BQPD C1BQ是异面直线BC1与PD所成的角 在C1BQ中，C1BBQC1Q，2 C1BQ60， 即异面直线BC1与PD所成的角等于 60，故选 C. 规律方法 用平移法求异面直线所成的角的步骤 1一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； 2二证：证明作出的角是异面直线所成的角； 3三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就
14、是要求的角； 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. (1)已知P是ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB、PC的中点， 若MNBC 4，PA4，则异面直线PA与MN所成角的大小是( )3 A30 B45 C60 D90 (2)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱 上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_ (1 1)A A (2 2) (1)取AC的中点O，连接OM，ON，则2 2 OM綊BC，ON綊PA. 1 2 1 2 ONM就是异面直线PA与MN所成的角 在OMN中，MN4，OM2，ON2，3 cosONM，
15、 ON2MN2OM2 2ONMN 12164 2 2 3 4 3 2 ONM30 即异面直线PA与MN所成角的大小为 30，故选 A. (2)取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD， 因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC， 所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1 的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切2 值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.22 1(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，
16、BCCC11， 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A. B. 3 2 15 5 C. D. 10 5 3 3 C C 将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1， 如图所示， 连接AD1，B1D1，BD. 由题意知ABC120，AB2，BCCC11， 所以AD1BC1，AB1，DAB60.25 在ABD中， 由余弦定理知BD22212221cos 603， 所以BD， 所以3 B1D1.3 又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角， 所以 cos . AB2 1AD2 1B1D2 1 2 AB1AD1 523 2 5 2 10 5 故选 C. 2
17、(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平 面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 3 2 2 2 3 3 1 3 A A 根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线 及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角 设平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m. 又平面ABCD平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1， B1D1m1.B1D1m. 平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角 在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为 60，其正弦值为. 3 2 自我感悟：_ _ _